2014-2015学年福建省泉州市南安一中高一（上）期末数学试卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．（5.00分）已知直线经过点A（0，4）和点B（1，2），则直线AB的斜率为（）A．3 B．﹣2 C．2 D．不存在2．（5.00分）圆x2+y2﹣2x=0和x2+y2+4y=0的位置关系是（）A．相离B．外切C．相交D．内切3．（5.00分）设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ③若m∥α，n∥α，则m∥n④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β其中正确命题的序号是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④4．（5.00分）如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A、B、C为其上的三个点，则在正方体盒子中，∠ABC等于（）A．45°B．60°C．90°D．120°5．（5.00分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A．2 B．C．D．36．（5.00分）已知a、b是两条异面直线，c∥a，那么c与b的位置关系（）A．一定是异面B．一定是相交C．不可能平行D．不可能垂直7．（5.00分）自点A（3，5）作圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1的切线，则切线的方程为（）A．3x+4y﹣29=0B．3x﹣4y+11=0C．x=3或3x﹣4y+11=0 D．y=3或3x﹣4y+11=08．（5.00分）如图中O′A′B′C′为四边形OABC的斜二测直观图，则原平面图形OABC是（）A．直角梯形B．等腰梯形C．非直角且非等腰的梯形D．不可能是梯形9．（5.00分）k是直线l的斜率，θ是直线l的倾斜角，若30°＜θ＜90°，则k的取值范围是（）A．0＜k＜B．＜k＜1 C．k＞D．k＜10．（5.00分）两圆相交于点A（1，3）、B（m，﹣1），两圆的圆心均在直线x ﹣y+c=0上，则m+c的值为（）A．﹣1 B．2 C．3 D．011．（5.00分）在体积为15的斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，S是C1C上的一点，S ﹣ABC的体积为3，则三棱锥S﹣A1B1C1的体积为（）A．1 B．C．2 D．312．（5.00分）若动点A（x1，y1），B（x2，y2）分别在直线l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0上移动，点N在圆C：x2+y2=8上移动，则AB中点M到点N距离|MN|的最小值为（）A．B．C．D．二．填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分．13．（4.00分）在空间直角坐标系o﹣xyz中，已知点A（1，﹣2，1），B（2，1，3），点P在z轴上，且|PA|=|PB|，则点P的坐标为．14．（4.00分）已知点A（1，2）、B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是．15．（4.00分）过点（3，1）作圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4的弦，其中最短的弦长为．16．（4.00分）如图，三棱柱A1B1C1﹣ABC中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列命题中：①CC1与B1E是异面直线；②AC⊥底面A1B1BA；③二面角A﹣B1E﹣B为钝角；④A1C∥平面AB1E．其中正确命题的序号为．（写出所有正确命题的序号）三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12.00分）求经过直线l1：3x+4y﹣5=0与直线l2：2x﹣3y+8=0的交点M，且满足下列条件的直线方程（1）与直线2x+y+5=0平行；（2）与直线2x+y+5=0垂直．18．（12.00分）如图，在底面是直角梯形的四棱锥S﹣ABCD中，∠ABC=90°，SA ⊥面ABCD，SA=AB=BC=2，AD=1．（1）求证：面SAB⊥面SBC；（2）求SC与底面ABCD所成角的正切值．19．（12.00分）如图中，图一的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在如图二画出（单位：cm），P为原长方体上底面A1B1C1D1的中心．（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图（直尺作图）；（2）以D为原点建立适当的空间直角坐标系（右手系），在图中标出坐标轴，并按照给出的尺寸写出点E，P的坐标；（3）连接AP，证明：AP∥面EFG．20．（12.00分）已知圆C：x2+y2+4x+4y+m=0，直线l：x+y+2=0．（1）若圆C与直线l相离，求m的取值范围；（2）若圆D过点P（1，1），且与圆C关于直线l对称，求圆D的方程．21．（12.00分）如图1，在长方形ABCD中，AB=2，AD=1，E为CD的中点，以AE为折痕，把△DAE折起为△D′AE，且平面D′AE⊥平面ABCE（如图2）．（1）求证：AD′⊥BE（2）求四棱锥D′﹣ABCE的体积；（3）在棱D′E上是否存在一点P，使得D′B∥平面PAC，若存在，求出点P的位置，不存在，说明理由．22．（14.00分）已知直线l：y=kx﹣2，M（﹣2，0），N（﹣1，0），O为坐标原点，动点Q满足，动点Q的轨迹为曲线C（1）求曲线C的方程；（2）若直线l与圆O：x2+y2=2交于不同的两点A，B，当∠AOB=时，求k的值；（3）若k=，P是直线l上的动点，过点P作曲线C的两条切线PC、PD，切点为C、D，探究：直线CD是否过定点．2014-2015学年福建省泉州市南安一中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．（5.00分）已知直线经过点A（0，4）和点B（1，2），则直线AB的斜率为（）A．3 B．﹣2 C．2 D．不存在【解答】解：由直线的斜率公式得直线AB的斜率为k==﹣2，故选：B．2．（5.00分）圆x2+y2﹣2x=0和x2+y2+4y=0的位置关系是（）A．相离B．外切C．相交D．内切【解答】解：把圆x2+y2﹣2x=0与圆x2+y2+4y=0分别化为标准方程得：（x﹣1）2+y2=1，x2+（y+2）2=4，故圆心坐标分别为（1，0）和（0，﹣2），半径分别为R=2和r=1，∵圆心之间的距离d=，R+r=3，R﹣r=1，∴R﹣r＜d＜R+r，则两圆的位置关系是相交．故选：C．3．（5.00分）设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ③若m∥α，n∥α，则m∥n④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β其中正确命题的序号是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④【解答】解：对于①，因为n∥α，所以经过n作平面β，使β∩α=l，可得n∥l，又因为m⊥α，l⊂α，所以m⊥l，结合n∥l得m⊥n．由此可得①是真命题；对于②，因为α∥β且β∥γ，所以α∥γ，结合m⊥α，可得m⊥γ，故②是真命题；对于③，设直线m、n是位于正方体上底面所在平面内的相交直线，而平面α是正方体下底面所在的平面，则有m∥α且n∥α成立，但不能推出m∥n，故③不正确；对于④，设平面α、β、γ是位于正方体经过同一个顶点的三个面，则有α⊥γ且β⊥γ，但是α⊥β，推不出α∥β，故④不正确．综上所述，其中正确命题的序号是①和②故选：A．4．（5.00分）如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A、B、C为其上的三个点，则在正方体盒子中，∠ABC等于（）A．45°B．60°C．90°D．120°【解答】解：将展开图还原为正方体后，A、B、C是三个面上的相对顶点，即构成以面对角线为边的正三角形，故∠ABC=60°，故选：B．5．（5.00分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A．2 B．C．D．3【解答】解：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：V==3⇒x=3．故选：D．6．（5.00分）已知a、b是两条异面直线，c∥a，那么c与b的位置关系（）A．一定是异面B．一定是相交C．不可能平行D．不可能垂直【解答】解：a、b是两条异面直线，c∥a，那么c与b异面和相交均有可能，但不会平行．因为若c∥b，因为c∥a，由平行公理得a∥b，与a、b是两条异面直线矛盾．故选：C．7．（5.00分）自点A（3，5）作圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1的切线，则切线的方程为（）A．3x+4y﹣29=0B．3x﹣4y+11=0C．x=3或3x﹣4y+11=0 D．y=3或3x﹣4y+11=0【解答】解：圆心坐标为（2，3），半径R=1，若切线斜率k不存在，则切线方程为x=3，此时圆心到直线的距离d=3﹣2=1，满足条件．若切线斜率k存在，则对应的切线方程为y﹣5=k（x﹣3），即kx﹣y+5﹣3k=0，则由圆心到直线的距离d=，即|2﹣k|=，平方得k=，则对应的切线斜率为x=3或y﹣5=k（x﹣3），即x=3或3x﹣4y+11=0，故选：C．8．（5.00分）如图中O′A′B′C′为四边形OABC的斜二测直观图，则原平面图形OABC是（）A．直角梯形B．等腰梯形C．非直角且非等腰的梯形D．不可能是梯形【解答】解：根据斜二测直观图，得；OC⊥OA，OA=O′A′，BC=B′C′，OC=2O′C′；∴原平面图形OABC是直角梯形，如图所示：故选：A．9．（5.00分）k是直线l的斜率，θ是直线l的倾斜角，若30°＜θ＜90°，则k的取值范围是（）A．0＜k＜B．＜k＜1 C．k＞D．k＜【解答】解：由于直线l的倾斜角为α，且30°＜θ＜90°，由正切函数在（0°，90°）是增函数可知：直线的斜率k=tanα＞．直线l斜率的取值范围是k＞故选：C．10．（5.00分）两圆相交于点A（1，3）、B（m，﹣1），两圆的圆心均在直线x ﹣y+c=0上，则m+c的值为（）A．﹣1 B．2 C．3 D．0【解答】解：由题意可知：直线x﹣y+c=0是线段AB的垂直平分线，又直线x﹣y+c=0 的斜率为1，则=﹣1①，且﹣+c=0②，由①解得m=5，把m=5代入②解得c=﹣2，则m+c=5﹣2=3．故选：C．11．（5.00分）在体积为15的斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，S是C1C上的一点，S ﹣ABC的体积为3，则三棱锥S﹣A1B1C1的体积为（）A．1 B．C．2 D．3【解答】解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=15，三棱锥S﹣ABC的体积与三棱锥S﹣A1B1C1的体积和为V=5∵三棱锥S﹣ABC的体积为3，∴三棱锥S﹣A1B1C1的体积2故选：C．12．（5.00分）若动点A（x1，y1），B（x2，y2）分别在直线l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0上移动，点N在圆C：x2+y2=8上移动，则AB中点M到点N距离|MN|的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：动点A（x1，y1），B（x2，y2）分别在直线l1：x+y﹣7=0和l2：x+y ﹣5=0上移动，AB中点M的轨迹方程为：x+y﹣6=0．圆C：x2+y2=8的圆心（0，0），半径为2，点N在圆C：x2+y2=8上移动，AB中点M到点N距离|MN|的最小值为圆心到直线的距离减去半径，所以=．故选：A．二．填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分．13．（4.00分）在空间直角坐标系o﹣xyz中，已知点A（1，﹣2，1），B（2，1，3），点P在z轴上，且|PA|=|PB|，则点P的坐标为（0，0，2）．【解答】解：设P（0，0，z），因为点A（1，﹣2，1），B（2，1，3），|PA|=|PB|，所以（1﹣0）2+（﹣2﹣0）2+（1﹣z）2=（2﹣0）2+（1﹣0）2+（3﹣z）2，解得：z=2．故答案为：（0，0，2）．14．（4.00分）已知点A（1，2）、B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是4x﹣2y﹣5=0．【解答】解：设M的坐标为（x，y），则x==2，y==，所以M（2，）因为直线AB的斜率为=﹣，所以线段AB垂直平分线的斜率k=2，则线段AB的垂直平分线的方程为y﹣=2（x﹣2）化简得4x﹣2y﹣5=0故答案为：4x﹣2y﹣5=015．（4.00分）过点（3，1）作圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4的弦，其中最短的弦长为2．【解答】解：根据题意得：圆心（2，2），半径r=2，∵=＜2，∴（3，1）在圆内，∵圆心到此点的距离d=，r=2，∴最短的弦长为2=2．故答案为：216．（4.00分）如图，三棱柱A1B1C1﹣ABC中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列命题中：①CC1与B1E是异面直线；②AC⊥底面A1B1BA；③二面角A﹣B1E﹣B为钝角；④A1C∥平面AB1E．其中正确命题的序号为④．（写出所有正确命题的序号）【解答】解：①CC1与B1E在同一个平面，不是异面直线，不正确；②AE⊥底面A1B1BA，因此不正确；③由AE⊥底面A1B1BA，因此二面角A﹣B1E﹣B为直角，因此不正确；④如图所示，连接A1B交AB1于点O，连接EO，则EO∥A1C，∵EO⊂平面AB1E，A1C⊄平面AB1E．∴A1C∥平面AB1E．综上可得：其中正确命题的序号为④．故答案为：④．三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12.00分）求经过直线l1：3x+4y﹣5=0与直线l2：2x﹣3y+8=0的交点M，且满足下列条件的直线方程（1）与直线2x+y+5=0平行；（2）与直线2x+y+5=0垂直．【解答】解：由，解得，所以，交点M（﹣1，2）．（1）∵斜率k=﹣2，由点斜式求得所求直线方程为y﹣2=﹣2（x+1），即2x+y=0．（2）∵斜率，由点斜式求得所求直线方程为y﹣2=（x+1），即x﹣2y+5=0．18．（12.00分）如图，在底面是直角梯形的四棱锥S﹣ABCD中，∠ABC=90°，SA ⊥面ABCD，SA=AB=BC=2，AD=1．（1）求证：面SAB⊥面SBC；（2）求SC与底面ABCD所成角的正切值．【解答】（1）证明：∵SA⊥面ABCD，BC⊂面ABCD，∴SA⊥BC又∵AB⊥BC，SA∩AB=A，∴BC⊥面SAB，∵BC⊂面SAB，∴面SAB⊥面SBC…（6分）（2）解：已知SA⊥面ABCD，连结AC，则∠SCA就是SC与底面ABCD所成的角，在直角三角形SCA中，SA=2，，…（12分）19．（12.00分）如图中，图一的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在如图二画出（单位：cm），P为原长方体上底面A1B1C1D1的中心．（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图（直尺作图）；（2）以D为原点建立适当的空间直角坐标系（右手系），在图中标出坐标轴，并按照给出的尺寸写出点E，P的坐标；（3）连接AP，证明：AP∥面EFG．【解答】（1）解：如图二（徒手作图不得分，尺寸不准确酌情给分）…（4分）（2）解：建立如图一直角坐标系E（4，0，2）P（2，3，4）…（8分）（3）证明：连接AB1，AD1，B1D1，依题意知：E，F，G分别为原长方体所在棱中点，∵GF∥B1D1，GF⊄面AB1D1∴GF∥面AB1D1∵EF∥AB1，EF⊄面AB1D1∴EF∥面AB1D1又GF∩EF=F∴面EFG∥面AB1D1又∵AP⊂面AB1D1∴AP∥面EFG…（12分）20．（12.00分）已知圆C：x2+y2+4x+4y+m=0，直线l：x+y+2=0．（1）若圆C与直线l相离，求m的取值范围；（2）若圆D过点P（1，1），且与圆C关于直线l对称，求圆D的方程．【解答】解：（1）圆C：x2+y2+4x+4y+m=0即（x+2）2+（y+2）2=8﹣m圆心C（﹣2，﹣2）到直线l的距离，…（2分）若圆C与直线l相离，则d＞r，∴r2=8﹣m＜2即m＞6…（4分）又r2=8﹣m＞0即m＜8，∴6＜m＜8…（6分）（2）设圆D的圆心D的坐标为（x0，y0），由于圆C的圆心C（﹣2，﹣2），依题意知：点D和点C关于直线l对称，…（7分）则有：，…（10分）∴圆C的方程为：x2+y2=r2，又因为圆C过点P（1，1），∴，∴圆D的方程为：x2+y2=2…（12分）21．（12.00分）如图1，在长方形ABCD中，AB=2，AD=1，E为CD的中点，以AE为折痕，把△DAE折起为△D′AE，且平面D′AE⊥平面ABCE（如图2）．（1）求证：AD′⊥BE（2）求四棱锥D′﹣ABCE的体积；（3）在棱D′E上是否存在一点P，使得D′B∥平面PAC，若存在，求出点P的位置，不存在，说明理由．【解答】解：（1）证明：在长方形ABCD中，△DAE和△CBE为等腰直角三角形，∴∠DEA=∠CEB=45°，∴∠AEB=90°，即BE⊥AE…（2分）∵平面D'AE⊥平面ABCE，且平面D'AE∩平面ABCE=AE，∴BE⊥平面D'AE，AD'⊂平面D'AE∴AD'⊥BE…（4分）（2）取AE中点F，连接D'F，则D'F⊥AE∵平面D'AE⊥平面ABCE，且平面D'AE∩平面ABCE=AE，D'F⊥平面ABCE，∴=…（8分）（3）解：如图，连接AC交BE于Q，连接PQ，若D'B∥平面PAC∵D'B⊂平面D'BE平面D'BE∩平面PAC=PQ∴D'B∥PQ…（10分）∴在△EBD'中，，∵在梯形ABCE中∴，即∴在棱D'E上存在一点P，且，使得D'B∥平面PAC…（12分）22．（14.00分）已知直线l：y=kx﹣2，M（﹣2，0），N（﹣1，0），O为坐标原点，动点Q满足，动点Q的轨迹为曲线C（1）求曲线C的方程；（2）若直线l与圆O：x2+y2=2交于不同的两点A，B，当∠AOB=时，求k的值；（3）若k=，P是直线l上的动点，过点P作曲线C的两条切线PC、PD，切点为C、D，探究：直线CD是否过定点．【解答】解：（1）设点Q（x，y），依题意知…（2分）整理得x2+y2=2，∴曲线C的方程为x2+y2=2…（4分）（2）∵点O为圆心，∠AOB=，∴点O到l的距离…（6分）∴=•⇒…（8分）（3）由题意可知：O、P、C、D四点共圆且在以OP为直径的圆上，…（9分）设，则圆心，半径得）即又C 、D 在圆O ：x 2+y 2=2上 ∴即…（12分）由得∴直线CD 过定点…（14分）赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O-=f (p) f(q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x第21页（共21页）。