《实数》复习与回顾一、知识梳理1.平方根（1）算术平方根的定义：一个正数x的平方等于a,即_____，那么这个正数x就叫做a的________.0的算术平方根是_____。

（2）平方根的定义：如果一个数x的平方等于a，即_____，那么这个数x就叫做a的_______。

（3）平方根的性质：一个正数有_____个平方根，它们________；0只有_____个平方根，它是_____；负数_____平方根。

（4）开平方：求一个数a的________的运算，叫做开平方。

2.立方根（1）立方根的定义：如果一个数x的_____等于a，即_____，那么这个数x就叫做a的立方根。

（2）立方根的性质：每个数a都只有_____个立方根。

正数的立方根是_____；0的立方根是_____；负数的立方根是_____。

（3）开立方：求一个数a的________的运算叫做开立方。

3.实数（1）无理数的定义：无限不循环小数叫做_____。

（2）实数的定义：_____和_____统称实数。

（3）实数的分类：①按定义分：________________________；②按性质分：________________________。

（4）实数与数轴上的点的对应关系：_____与数轴上的点是_____对应的。

（5）有关概念：在实数围，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数围的意义_____。

4.实数的运算：（1）实数的加、减、乘、除、乘方运算和_______一样，而且有理数的运算律对__________仍然适用。

（2）两个非负数的算术平方根的积等于这两个数积的算术平方根，算术平方根的商等于这两个数商的算术平方根，用式子表示为__________；__________。

二、考点例析考点1 平方根、立方根的定义与性质例1 （1）下列各数是否有平方根？若有，求出其平方根；若没有，说明理由。

①625 ②（－2）2 ③（－1）3（2）下列各数是否有立方根？若有，求出其立方根。

①271 ②－343 ③－22 分析：（1）要判断一个对象有无平方根，首先要对这个对象进行转化，直到能看出它的符号，然后依据平方根的性质进行判断。

（2）因为正数、0、负数均有立方根，所以所给各数都有立方根。

解：（1）①因为625>0，故其平方根有两个，即±625=±25；②因为（－2）2=4>0，故其平方根有两个，即±2)2( =±2；③因为（－1）3=－1<0, 故其不存在平方根。

（2）由立方根的性质可知，所给各数均有立方根。

①312713=； ②73433-=- ； ③－22的立方根34-。

说明：只有非负数才有平方根，这一点同学们一定要牢固掌握。

考点2 实数的分类与性质例2 下列各数中： －41，7，3.14159, －π,310,－34,0,0.⋅3,38,16,2.2… 其中有理数有__________________________；无理数有__________________________。

分析：对于38、16等应先化简再判断。

解：有理数：－41，3.14159,0,0.3,38,16 无理数有：7,－π,310,－34,2.…… 说明：本题考查有理数和无理数的概念，要正确判断一个数属于哪一类，理解各数的意义是关键。

例3 12-的相反数是；11-的绝对值是 ；－12181的倒数是 。

分析：如果a 表示一个正实数，那么－a 就表示一个负实数，a 与－a 互为相反数；0的相反数依然是0。

一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。

非零实数a 的倒数是a1。

解：12-的相反数是1－2；11-的绝对值是11；－12181=－119，所以－12181的倒数是－911。

说明：解决此问题要牢记实数的性质，实数围一个数的相反数、倒数、绝对值的意义和在有理数围的意义是一样的。

考点3 实数的运算例4 （1 （2）化简)22(28+-得（ ）（A ）－2 （B ）22- （C ）2 （D ）224- 分析：有理数的运算法则、性质、运算律等在实数围仍然适用，本例根据运算顺序直接计算即可。

（1）=0.2×)51(22545-÷-=41757541)5(154551=+=-⨯-⨯；（2）)22(28+-2=-2=-=－2。

故选（A ）。

说明：在实数围进行加、减、乘、除、乘方和开方运算，运算顺序依然是从高级到低级。

值得注意的是，在进行开方运算时，正实数和零可以开任何次方，负实数能开奇次方，但不能开偶次方。

考点4 非负数例 5 已知x ，y 23(2)0y -=，则x y -的值为（ ）.（A ）3 （B ）－3 （C ）1 （D ）－1分析：本题主要考查非负数的性质及其应用，非负数，即不是负数，也即正数和零，常见的非负数主要有三种：实数的绝对值、实数的算术平方根、实数的偶次方。

它有一个非常重要的性质：若干个非负数的和为0，这几个非负数均为零。

利用这个性质可解本题，解：由题意，得10x -=，20y -=，即1x =，2y =，所以1x y -=-。

故选（D ）。

说明：非负数是中考常考的知识点，同学们应从其意义入手，理解并掌握它。

考点5 数形结合题例6 已知实数 a 、b 在数轴上的位置如图所示：试化简：｜a －b ｜－｜a ＋b ｜分析：要化简｜a －b ｜－｜a ＋b ｜，需根据数轴上a 、b 的位置判断a －b 和a+b 的符号。

解：因为a>0，b<0，且∣a ∣<∣b ∣，所以a －b>0，a+b<0，所以原式=（a －b ）+（a+b ）=a －b+a+b=2a说明：数形结合是解决数学问题常用的思想方法，解题时必须通过所给图形抓住相关数的信息。

考点6 探究题例7 阅读下列解题过程：()()221⨯===-()()221⨯===-请回答下列问题：（1）、观察上面的解题过程，请直接写出式子：=()2n≥（2）、利用上面所提供的解法，请化简：10++++分析：通过阅读解题过程不难发现，每个式子的结果都等于分母中两个式子的差。

解：（1=nn-+1。

=91045342312-+⋅⋅⋅+-+-+-+-=110-。

说明：这类题目需要我们细心观察及思考，探究其中的规律，寻找解决问题的途径。

三、易错点例析1、对平方根、算术平方根、立方根的概念与性质理解不透理解不透平方根、算术平方根、立方根的概念与性质，往往出现以下错误：求一个正数的平方根时，漏掉其中一个，而求立方根时，又多写一个；求算术平方根时前面加上“±”成了平方根等等。

例1 （1）求641的平方根（2）求81的算术平方根错解：（1）25425416==；（2）81的算术平方根是9 错解分析：错解（1）中混淆了平方根和算术平方根；错解（2）中81=9，81的算术平方根其实是9的算术平方根，而9的算术平方根是3。

正确解法：（1）25425416±=±=±；（2）81的算术平方根是3。

例2 求64与－27的立方根。

错解：64的立方根是±4，－27没有立方根。

错解分析：64的立方根是4，只有一个，认为64的立方根有两个且互为相反数，是与正数的平方根相混淆；－27的立方根是－3，错误地认为－27没有立方根是与负数没有平方根相混淆。

正确解法：因为43=64，所以64的立方根是4。

因为（－3）3=－27，所以－27的立方根是－3。

2、忽略平方根成立的条件只有非负数才能开平方，这一条件解题时往往被我们忽略。

例3 当m 取何值时，2m -有意义？错解：不论m 取何值时，2m -都无意义。

错解分析：考虑不全，漏掉了m=0时的情况。

正确解法：当m=0时，－m 2=0，此时2m -有意义。

3、实数分类时只看表面形式对实数进行分类不能只看表面形式，应先化简，再根据结果去判断。

例4 下列各数－2、3π、3.14159）2、51、38中无理数有．错解：无理数有3π）2、38。

错解分析：这种错误认为带根号的数都是无理数。

其实能化简的应先－3）2=7，38=2，所以它们是有理数。

正确解法：无理数有3π 4、运算错误在进行实数的运算时要注意运算法则与公式的正确应用，千万不要忽略公式的应用条件。

例5 化简（1）5a a 9- （2）)25()9(-⨯-错解：（1）5a a 9-=5a a 3-=2；（2）)25()9(-⨯-=)25()9(-⨯-=（－3）×（－5）=15 错解分析：（1）中合并同类二次根式时丢掉了a 从而出错；（2）中忽略了公式b a b a ⋅=⋅的应用条件，即a ≥0，b ≥0，因为负数没有平方根，虽然最后结果正确，但解法是错误的。

（2）)25()9(-⨯-=259⨯=259⨯=3×5=15。

正确解法：（1）5a a 9-=5a a 3-=2a ；。