函数的奇偶性（一）

一、课题引入

幂函数(1) f (x)=x3 (x∈R)，(2) f (x)=x2 (x∈R)的图像特点、单调区间，并列下表

函数 f (x)=x3 f (x)=x2

定义域 (－∞，+∞)关于原点对称 (－∞，+∞)关于原点对称

函数值 f (－x)=－f (x) f (－x)= f (x)

对称性 图像关于原点对称 图像关于y轴对称

单调性 在原点两侧单调性相同 在原点两侧单调性相反

图 像

前者曰“奇函数”、后者曰“偶函数”．

二、知识讲解

1．奇函数和偶函数的概念

设函数y=f (x)的定义域为D，且D关于原点对称．

(1) 如果对于函数f (x)的定义域D内任意一个x，都有f (－x)=－f (x)，那么函数f (x)就叫做奇函数．

(2) 如果对于函数f (x)的定义域D内任意一个x，都有f (－x)=－f (x)，那么函数f (x)就叫做偶函数．

定义还可以表达为：

(1) 如果对于函数f (x)的定义域D内任意一个x，都有f (x)+f (－x)=0，那么函数f (x)就叫做奇函数．

(2) 如果对于函数f (x)的定义域D内任意一个x，都有f (x)－f (－x)=0，那么函数f (x)就叫做偶函数．

第二种表述形式能比较方便地判断函数的奇偶性，如判断函数xxy1lg2的奇偶性．这种形式能使学生从方程的角度看待函数的奇偶性，例如，若函数是奇函数，且定义域为D；则方程f

(x)+f (－x)=0的解集为D；另一方面，若方程f (x)+f (－x)=0的解集D关于原点对称，则函数y=f (x)在D上是奇函数．对偶函数也可以得出类似的结论．

2．奇函数和偶函数的图像特征 (1) 奇函数的图像关于原点对称，反过来，图像关于原点对称的函数，必是奇函数．

(2) 偶函数的图像关于y轴对称，反过来，图像关于y轴对称函数，必是偶函数．

3．判断函数的奇偶性

对于函数f (x)先求其定义域D；并判别D是否关于原点对称，然后再验证f (－x)=±f (x) (或f (x)±f (x)=0，或1xfxf等)是否成立，最后作出正确结论．

4．判断函数的奇偶性也可以用下列性质

在公共定义域内，

(1) 两个奇函数的和为奇函数；两个奇函数的积为偶函数．

(2) 两个偶函数的和为偶函数；两个偶函数的积为偶函数．

(3) 一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．

(4) 函数f (x)与xf1同奇或同偶．

以上结论，可在讲完出上一例：判断下列函数是否具有奇偶性：(1) f (x)=x3；(2) f (x)=2x4+3x2；(3) 313xxxf；(4) f (x)=x+1后，结合函数运算引出．直观引入后，可让学生在课后加以证明，这对学生加深对奇偶性的理解和用这一结论解题都是有帮助的．

5．函数的奇偶性与单调性相结合，有以下两个结论：

(1) 奇函数在原点两侧的对称区间上有相同的单调性．

(2) 偶函数在原点两侧的对称区间上有相反的单调性．

三、例题分析

1．判断函数的奇偶性易犯的错误

(1) 因忽视定义域的特征致错

例1．①11xxxxf；②f (x)=x2+(x+1)0

错解：①xxxxxf11，∴ f (x)是奇函数

②∵ f (－x)=(－x)2+(－x+1)0=x2+(x+1)0=f (x)

∴ f (x)是偶函数．

分析：一个函数是奇函数或偶函数的必要条件是定义域关于原点对称．

正解：①定义域(－∞，1)∪(1，+∞)关于原点不对称，f (x)是非奇非偶函数．

②定义域(－∞，－1)∪(－1，+∞)，∴ f (x)非奇非偶函数．

(2) 因缺乏变形意识或方法致错．

例2．判断21151xxf的奇偶性．

错解：∵ 5x－1≠0，∴ x≠0．f (x)的定义域为(－∞，0)∪(0，+∞)，关于原点对称．

∵ 2151521151xxxxf，

∴ f (－x)≠f (x)，f (－x)≠－f (x)，

∴ f (x)是非奇非偶函数． 分析：因演变过程不到位导致错误，所以要注意进行恒等变形．

正解：1521521151xxxxf，定义域为(－∞，0)∪(0，+∞)关于原点对称．

xfxfxxxxxx152155125115215

∴ f (x)是奇函数．

(3) 因忽视f (x)=0致错．

例3．判断函数2244xxxf的奇偶性．

错解：由040422xx得x=±2，∴ f (x)的定义域为{－2，2}，关于原点对称．

xfxxxxxf22224444，

∴ f (x)为偶函数

正解：f (x)的定义域为{－2，2}，此时，f (x)≡0，∴ f (x)既是奇函数又是偶函数．

点评：函数f (x)=0 (x≠0)是f (x)既是奇函数又是偶函数的一个必要条件，任何一个关于原点对称的区间都可以作为解析式为f (x)=0 (x≠0)函数的定义域．

注意：分段函数奇偶性的判定应注意两点：

(1) 分段函数是一个函数，而不是几个函数；

(2) 确定分段函数的奇偶性，要注意分类讨论．

2．函数的奇偶性的应用

例4．已知f (x)是奇函数，且当x>0时，f (x)=x|x－2|，求f (x)<0时，f (x)的表达式．

答：当x<0时，f (x)=x|x+2|．

例5．已知f (x)=x5+ax3+bx－8，且f (－2)=10，则f (2)=_________

解：令g (x)=f (x)+8=x5+ax3+bx，则g (x)是奇函数∴ g (－2)+g (2)=0，

即f (－2)+8+f (2)+8=0，∴ f (2)=－f (－2)－16=－26．

例6．已知f (x)、g (x)的定义域均为R，f (x)为奇函数，g (x)为偶函数，且112xxxgxf，求f (x)的解析式．

答：124xxxxf．

例7．已知函数y=f (x)是奇函数，在(0，+∞)上是减函数，且f (x)<0，判断xfxF1在区间(－∞，0)上是增函数还是减函数？并证明你的结论．

答：F (x)在(－∞，0)是增函数．

例8．定义在(－1，1)上的奇函数f (x)是减函数，且f (1－a)+f (1－a2)<0，求实数a的取值范围．

答：a∈(0，1)．

点评：例8、9两题是函数的奇偶性与单调性的综合题．

例9．已知f (x)是定义在R上的奇函数，x>0时，f (x)=－x2+2x－3． (1) 求f (x)的解析式；

(2) 画出y=f (x)的图像；

(3) 求出f (x)的单调区间．

解：(1) 0320003222，，，，，xxxxxxxxf

(2) 画图略．

(3) 单调减区间为1，，，1；单调增区间为01，，10，．

点评：本题是函数奇偶性、单调性、图像特征，画图等有关概念、性质、方法的综合运用的一道函数综合题．此题主要是考查学生综合、灵活运用所学知识解题的能力．

四、习 题

1．已知f (x)是奇函数，且在x=0处有定义，你能确定f (0)的值吗？

2．已知f (x)是偶函数，且在x=0处有定义，你能确定f (0)的值吗？

3．函数0101，，，，xxxf是奇函数吗？

答 案1．f (0)=0 2．f (0)不定3．否

五、引伸和提高

定义域关于原点对称的任意一个函数f (x)都可以表示成一个偶函数与一个奇函数之和．即f

(x)=21(F (x)+G (x))其中F (x)= f (x)+f (－x)，G (x)=f (x)－f (－x)

(1) 利用这一结论可以很简捷地解决一些问题；

(2) 在教学中，可根据学生的基础情况，适时引入．

(3) 可以让学生自己证明，增强学生对抽象问题证明的能力，加深学生对奇、偶函数与一般函数关系的理解，使学生对构造法增加一次感性认识．

六、思 考 题

1．设，f (x)=kx+x6－4，(k∈R)当x=2+3时，f (x)=0，求231f的值．

答：32024231f．

2．已知函数y=f (x)满足f (x+y)+f (x－y)=2f (x) f (y) (x∈R，y∈R)，且f (0)≠0，那么f (x)是__________函数(填奇、偶)．

答：偶函数

函数的奇偶性（二）

一般地，对于函数)(xf，如果对于函数定义域内任意一个x，都有)()(xfxf， 那么函数)(xf就叫做偶函数。

再注意观察xxg1)(的图象，显然xxg1)(不是偶函数，那么它随自变量的改变函数值间存在怎样的变化规律呢？引入课件，加深印象。

引导学生利用类比的方法得出结论，并试述概念。（由教师板书概念）

一般地，对于函数)(xf，如果对于函数定义域内任意一个x，都有)()(xfxf,

那么函数)(xf就叫做奇函数。

图象具有这种特点的函数是奇（或偶）函数，函数图象的这种对称性就是函数的奇偶性。

前面我们得出了函数奇偶性的定义，那么通常为了正确理解和应用定义，就需要我们首先能够找到并把握定义中的关键词语，下面我们一起找找定义中的关键词：定义域内、任意…都、)()(xfxf及)()(xfxf。

分析：⑴ 定义域内：奇偶性是整个定义域上的性质，而不仅仅是某个区间上的

性质，与单调性区分开；

⑵ 任意…都：说明具有普遍性，是对所有的自变量都成立，而不是个别

的；

⑶ )()(xfxf及)()(xfxf：首先是函数值必须满足的关系即必要

条件，那么是不是充分条件呢？

例1 判断下列函数的奇偶性

8)( (1)31xxxf 1)( )2(2xxf

] 4 , ( 1)( )3(2xxxf 23)( )4(2xxxxf

1)( )5(xxf

解：

为奇函数即：31313131318)( )()( )( )8( 8 )(8)()( 8)()1(xxxfxfxfxfxxxxxxxfxxxf为偶函数即：312228)( )()( )( 1 1)()( 1)()2(xxxfxfxfxfxxxfxxf函数既不是奇函数也不是偶即：且无意义而 ] 4 , ( 1)( )()()()( )5( 2415)5()3(22xxxfxfxfxfxfff )( )2()2( 2 02 )4(函数既不是奇函数也不是偶无意义有意义即为使函数有意义，则xfffxx