课时分层作业(三) 集合间的基本关系
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．已知集合A ＝{－1,0,1}，则含有元素0的A 的子集的个数为( ) A ．2 B ．4 C ．6
D ．8
B [根据题意，含有元素0的A 的子集为{0}，{0,1}，{0，－1}，{－1,0,1}，共4个．]
2．已知集合A ＝{2，－1}，集合B ＝{m 2－m ，－1}，且A ＝B ，则实数m 等于( )
A ．2
B ．－1
C ．2或－1
D ．4 C [∵A ＝B ，∴m 2－m ＝2，∴m ＝2或m ＝－1.] 3．若
x ，y ∈R ，A ＝{(x ，y )|y ＝x }，B ＝⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫(x ，y )⎪⎪⎪
y
x ＝1
，则集合A ，B 间的
关系为( )
A ．A
B B ．A B
C ．A ＝B
D ．A ⊆B
B
[∵B ＝
⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫(x ，y )⎪⎪⎪
y
x ＝1
＝{(x ，y )|y ＝x ，且x ≠0}，∴B A .]
4．已知集合B ＝{－1,1,4}，满足条件∅M ⊆B 的集合M 的个数为( ) A ．3 B ．6 C ．7 D ．8
C [由题意可知集合M 是集合B 的非空子集，集合B 中有3个元素，因此非空子集有7个，选C.]
5．①0∈{0}；②∅{0}；③{0,1}⊆{(0,1)}；④{(a ，b )}＝{(b ，a )}．上面关系中正确的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
B[①正确，0是集合{0}的元素；②正确，∅是任何非空集合的真子集；③错误，集合{0,1}含两个元素0,1，而{(0,1)}含一个元素点(0,1)，所以这两个集合没关系；④错误，集合{(a，b)}含一个元素点(a，b)，集合{(b，a)}含一个元素点(b，
a)，这两个元素不同，所以集合不相等．故选B.]
二、填空题
6．设A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A B，则实数a的取值范围是________．
{a|a≥2}[如图，因为A B，所以a≥2，即a的取值范围是{a|a≥2}．
]
7．集合{(1,2)，(－3,4)}的所有非空真子集是________．
{(1,2)}，{(－3,4)}[{(1,2)，(－3,4)}的所有真子集有∅，{(1,2)}，{(－3,4)}，其非空真子集是{(1,2)}，{(－3,4)}．]
8．设a，b∈R，集合A＝{1，a}，B＝{x|x(x－a)(x－b)＝0}，若A＝B，则a ＝________，b＝________.
01[A＝{1，a}，解方程x(x－a)(x－b)＝0，
得x＝0或a或b，若A＝B，则a＝0，b＝1.]
三、解答题
9．设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．
(1)若a＝1
5，试判定集合A与B的关系；
(2)若B⊆A，求实数a组成的集合C.
[解](1)A＝{x|x2－8x＋15＝0}＝{5,3}，a＝1
5时，B＝{5}，元素5是集合A ＝{5,3}中的元素，
集合A＝{5,3}中除元素5外，还有元素3,3在集合B中没有，所以B A.
(2)当a＝0时，由题意B＝∅，又A＝{3,5}，故B⊆A；
当a ≠0
时，B ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a ，又
A ＝{3,5}，
B ⊆A ，
此时1a ＝3或5，则有a ＝13或a ＝15. 所以
C ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫0，13，15. 10．已知集合A ＝{x |x <－1，或x >4}，B ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．
[解] (1)当B ＝∅时，2a >a ＋3，即a >3.显然满足题意． (2)当B ≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，
可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋3≥2a ，a ＋3<－1或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋3≥2a ，
2a >4，
解得a <－4或2<a ≤3.
综上可得，实数a 的取值范围为{a |a <－4，或a >2}．
[等级过关练]
1．集合⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
1，a ，b a ＝{0，a 2，a ＋b }，则a 2 017＋b 2 018的值为( )
A ．0
B ．1
C ．－1
D ．±1 C
[∵⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1，a ，b a ＝{0，a 2，a ＋b }，又a ≠0，
∴b
a ＝0，∴
b ＝0.∴a 2＝1，∴a ＝±1.
又a ≠1，∴a ＝－1，∴a 2 017＋b 2 018＝(－1)2 017＋02 018＝－1.] 2．若集合
M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
x ＝k 2＋1
4，k ∈Z
，集合N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
x ＝k 4＋1
2，k ∈Z
，则( )
A ．M ＝N
B ．N ⊆M
C ．M N
D ．以上均不对
C [M ＝x ⎪⎪⎪
x ＝k
2＋14，k ∈Z ＝x ⎪
⎪⎪
x ＝2k ＋14，k ∈Z .
N ＝⎩
⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪
x ＝k 4＋12，k ∈Z ＝⎩⎪⎨⎪⎧
⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
x ＝k ＋24，k ∈Z . 又2k ＋1，k ∈Z 为奇数，k ＋2，k ∈Z 为整数，所以M N .]
3．已知集合P ＝{x |x 2＝1}，集合Q ＝{x |ax ＝1}，若Q ⊆P ，那么a 的取值是________．
0或±1 [由题意得P ＝{－1,1}， 又因为Q ⊆P ，
①若Q ＝∅，则a ＝0，此时满足Q ⊆P ； ②若Q ≠∅，则
Q ＝⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪
x ＝1
a
，由题意知，1
a ＝1
或1
a ＝－1，解得a ＝±1.
综上可知，a 的取值是0或±1.]
4．集合A ＝{x |(a －1)x 2＋3x －2＝0}有且仅有两个子集，则a 的取值为________．
1或－1
8 [由集合有两个子集可知，该集合是单元素集，当a ＝1时，满足题
意．当a ≠1时，由Δ＝9＋8(a －1)＝0可得a ＝－1
8.]
5．设集合A ＝{x |－1≤x ＋1≤6}，B ＝{x |m －1<x <2m ＋1}． (1)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数； (2)若A ⊇B ，求m 的取值范围．
[解] 化简集合A 得A ＝{x |－2≤x ≤5}． (1)∵x ∈Z ，
∴A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}， 即A 中含有8个元素，
∴A 的非空真子集个数为28－2＝254(个)．
(2)①当m －1≥2m ＋1，即m ≤－2时，B ＝∅⊆A ； ②当m >－2时， B ＝{x |m －1<x <2m ＋1}， 因此，要B ⊆A ，
则只要⎩⎪⎨⎪⎧
m －1≥－2，
2m ＋1≤5，即－1≤m ≤2.
综上所述，知m 的取值范围是 {m |－1≤m ≤2或m ≤－2}．。