课时分层作业(三) 集合间的基本关系
(建议用时：60分钟)
一、选择题
1．已知集合A ＝{－1,0,1}，则含有元素0的A 的子集的个数为( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
B [根据题意，含有元素0的A 的子集为{0}，{0,1}，{0，－1}，{－1,0,1}，共4个．]
2．已知集合B ＝{－1,1,4}，满足条件∅M ⊆B 的集合M 的个数为( )
A ．3
B ．6
C ．7
D ．8
C [由题意可知集合M 是集合B 的非空子集，集合B 中有3个元素，因此非空子集有7个，选C.]
3．①0∈{0}；②∅{0}；③{0,1}⊆{(0,1)}；④{(a ，b )}＝{(b ，a )}．上面关系中正确的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
B [①正确，0是集合{0}的元素；②正确，∅是任何非空集合的真子集；③错误，集合{0,1}含两个元素0,1，而{(0,1)}含一个元素(0,1)，所以这两个集合没关系；④错误，集合{(a ，b )}含一个元素(a ，b )，集合{(b ，a )}含一个元素(b ，a )，这两个元素不同，所以集合不相等．故选B.]
4．若x ，y ∈R ，A ＝{(x ，y )|y ＝x }，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪ y x ＝1，则集合A ，B 间的关
系为( )
A ．A B
B ．A B
C ．A ＝B
D ．A ⊆B B [∵B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪ y x ＝1＝{(x ，y )|y ＝x ，且x ≠0}，∴B A .]
5．已知A ＝{1,3，m ＋2}，B ＝{3，m 2}，若B ⊆A ，则m ＝( )
A ．±1
B ．－1或2
C ．1
D ．2
D [由B ⊆A 知，m 2＝1或m 2＝m ＋2.
当m 2＝1时，
m ＝±1，此时不满足集合元素的互异性；
当m 2＝m ＋2时，m ＝－1或m ＝2，
当m ＝－1时，不满足集合元素的互异性，验证知m ＝2时成立．]
二、填空题
6．设A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，若A B ，则实数a 的取值范围是________． {a |a ≥2} [如图，因为A B ，所以a ≥2，即a 的取值范围是{a |a ≥2}．
]
7．集合{(1,2)，(－3,4)}的所有非空真子集是________．
{(1,2)}，{(－3,4)} [{(1,2)，(－3,4)}的所有真子集有∅，{(1,2)}，{(－3,4)}，其非空真子集是{(1,2)}，{(－3,4)}．]
8．设a ，b ∈R ，集合A ＝{1，a }，B ＝{x |x (x －a )(x －b )＝0}，若A ＝B ，则a ＝________，b ＝________.
0 1 [A ＝{1，a }，解方程x (x －a )(x －b )＝0，
得x ＝0或a 或b ，若A ＝B ，则a ＝0，b ＝1.]
三、解答题
9．设A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}．
(1)若a ＝15，试判定集合A 与B 的关系；
(2)若B ⊆A ，求实数a 组成的集合C .
[解] (1)因为B ＝{5}，元素5是集合A ＝{5,3}中的元素，
集合A ＝{5,3}中除元素5外，还有元素3,3在集合B 中没有，所以B A .
(2)当a ＝0时，由题意B ＝∅，又A ＝{3,5}，故B ⊆A ；
当a ≠0时，B ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a ，又A ＝{3,5}，B ⊆A ，
此时1a ＝3或5，则有a ＝13或a ＝15.
所以C ＝⎩
⎨⎧⎭⎬⎫0，13，15. 10．已知集合A ＝{x |x <－1，或x >4}，B ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．
[解] (1)当B ＝∅时，2a >a ＋3，即a >3.显然满足题意．
(2)当B ≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，
可得⎩⎨⎧ a ＋3≥2a ，a ＋3<－1或⎩⎨⎧ a ＋3≥2a ，2a >4，
解得a <－4或2<a ≤3.
综上可得，实数a 的取值范围为{a |a <－4，或a >2}．
1．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，a ，b a ＝{0，a 2，a ＋b }，则a 2 017＋b 2 018的值为( )
A ．0
B ．1
C ．－1
D ．±1 C [∵⎩
⎨⎧⎭⎬⎫1，a ，b a ＝{0，a 2，a ＋b }，又a ≠0， ∴b a ＝0，∴b ＝0.∴a 2＝1，∴a ＝±1.
又a ≠1，∴a ＝－1，
∴a 2 017＋b 2 018＝(－1)2 017＋02 018＝－1.]
2．若集合M ＝{x |x ＝k 2＋14，k ∈Z }，集合N ＝{x |x ＝k 4＋12，k ∈Z }，则( )
A ．M ＝N
B ．N ⊆M
C ．M N
D ．以上均不对
C [M ＝{x |x ＝k 2＋14，k ∈Z }＝{x |x ＝2k ＋14，k ∈Z }．
N ＝{x |x ＝k 4＋12，k ∈Z }＝{x |x ＝k ＋24，k ∈Z }．
又2k ＋1，k ∈Z 为奇数，k ＋2，k ∈Z 为整数，所以M N .]
3．已知集合P ＝{x |x 2＝1}，集合Q ＝{x |ax ＝1}，若Q ⊆P ，那么a 的取值是________．
0或±1 [由题意得P ＝{－1,1}，
又因为Q ⊆P ，
①若Q ＝∅，则a ＝0，此时满足Q ⊆P ；
②若Q ≠∅，则Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＝1a ，由题意知，1a ＝1或1a ＝－1，解得a ＝±1. 综上可知，a 的取值是0或±1.]
4．集合A ＝{x |(a －1)x 2＋3x －2＝0}有且仅有两个子集，则a 的取值为________．
1或－18
[由集合有两个子集可知，该集合是单元素集，当a ＝1时，满足题意．当a ≠1时，由Δ＝9＋8(a －1)＝0可得a ＝－18.]
5．设集合A ＝{x |－1≤x ＋1≤6}，B ＝{x |m －1<x <2m ＋1}．
(1)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数；
(2)若A ⊇B ，求m 的取值范围．
[解] 化简集合A 得A ＝{x |－2≤x ≤5}．
(1)∵x ∈Z ，
∴A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，
即A 中含有8个元素，
∴A 的非空真子集个数为28－2＝254(个)．
(2)①当m －1≥2m ＋1，即m ≤－2时，B ＝∅⊆A ；
②当m >－2时，
B ＝{x |m －1<x <2m ＋1}，
因此，要B ⊆A ，
则只要⎩⎨⎧ m －1≥－2，2m ＋1≤5
⇒－1≤m ≤2. 综上所述，知m 的取值范围是
{m |－1≤m ≤2或m ≤－2}.。