第二章
行列式
利用性质4和推论4即知。 a + x1 例2.4.1 计算行列式 D3 = a + x2 a + x3
b + x1 b + x2 b + x3
c + x1 c + x2 c + x3
a + x1 解: D3 = a + x2 a + x3
b−a c−a b−a c−a b−a c−a
=0
§2.4 行列式的基本性质
直接用定义计算行列式是很麻烦的事，本节要导出行列 式运算的一些性质，利用这些性质，将使行列式的计算大为 简化。
a11 a21 转置行列式：把n阶行列式 D = L an1
a21 L an1 a22 L an 2 L L L a2 n L ann
a12 L a1n a22 L a2 n L L L an 2 L ann
第二章
行列式
a11 L
a12 L
L L
a1n L
D = ai1 + bi1 ai 2 + bi 2 L ain + bin L L L L an1 an 2 L ann
a11 a12 L L = ai1 ai 2 L L an1 an 2
L L L L L
a1n a11 a12 L L L ain + bi1 bi 2 L L L ann an1 an 2
L L
b 0
L 0 L L L a −b
a + ( n − 1) b = 0 0 L 0
b
b
L
b
a −b 0 0 a −b L L 0 0
L 0 n −1 L 0 = [ a + (n − 1)b ] (a − b) L L L a −b
第二章
行列式
在一个n阶行列式 Dn 中，若有 aij = a ji , i, j = 1, 2,L , n ， 则称 Dn 为n阶对称行列式；若有 aij = − a ji , i, j = 1, 2,L , n 则称 Dn 为反对称行列式。 例2.4.4 奇数阶的反对称行列式等于0。 证明：设 Dn 为奇数阶的反对称行列式。 由于aij = − a ji , 得 aii = 0, i = 1, 2,L , n
0 −a12 于是 D = −a n 13 L −a1n a12 0 −a23 L −a 2 n a13 a23 0 L −a3n
0 L a1n L a 2 n 转置 a12 L a3n = a13 L L L a1n L 0 −a12 0 a23 L a 2n −a13 L −a1n
−a23 L −a 2 n 0 L −a3n L a3n L L L 0
1 −1 = 0 0 0 1 0 0
1 −1 0 0 0 1 0 0
−2 −20
−2 −20
= −22
第二章 行列式
定理2.4.1： 任一个n阶行列式都可以利用性质5中的行或列变 换化为一个与其相等的上（下）三角行列式。
a11 a D = 21 L an1 a12 a22 L an 2 L L L L a1n a2 n L ann
第二章
行列式
0
性质 2 推论1
a12 0 − a23 L −a 2 n
a13 a23 0 L
L
a1n
n为奇数
= ( −1)
n
−a12 −a13 L − a1n
L a 2n L a3n L L 0
= − Dn
−a3n L
∴ Dn = 0
0
1
1
L
1
例2.4.5(思考题) 计算n阶行列式
1 0 1 L 1 Dn = 1 1 0 L 1 L L L L L 1 1 1 L 0
b b a
L L L
b b b
解
法一： Dn = b
L L L L L b b b L a
a + ( n − 1) b a + ( n − 1) b a + ( n − 1) b L a + ( n − 1) b b = b L b a b L b b a L b L L L L b b L a
1 b = a + ( n − 1) b b b
a11 a12 L a1n
a11
a12
L
a1n
即
L ai1 L a j1 L an1
L L L L ai 2 L ain ai1 + ka j1 L L L = L a j 2 L a jn a j1 L L L L an 2 L ann an1
L L L ai 2 + ka j 2 L ain + ka jn L a j2 L an 2 L L L L L a jn L ann
a11 L ai1 D L a j1 L an1
a12 L ai 2 L a j2 L an 2
L L L L L L L
a1n L ain L, a jn L ann
a11 L a j1 L ai1
a12 L a1n L L L a j 2 L a jn L L L D1 ai 2 L ain
第二章 行列式
1、先设D中第一列元素不全为零，若 a11 = 0, ai1 ≠ 0,
若D中第一列元素全为零，则D已经是（1）的形式。 现对（1）中第二列的 b22 ,L , bn 2 进行考虑，同上类似， 先设它们不全为零，不妨设 b22 ≠ 0 ，
a11 0 a12 b22 0 M 0
b b a b L L L L
性质1表明，在行列式中，行与列的地位是相同的。凡是对行 成立的性质，对列也同样成立。
第二章
行列式
性质2 ： 把行列式D中某一行（列）的所有元素同乘以常数k， 相当于用数k乘这个行列式，即 a11 a12 L a1n L L L L kai1 kai 2 L kain = kD （倍法变换） L L L L an1 an 2 L ann 证明： a11 a12 L L kai1 kai 2 L L an1 an 2
第二章
L L
a1n L
L kain L L L ann
= ∑ ( −1)
τ ( j1L jn )
a1 j1 a2 j2 L kaiji L anjn
(
)
行列式
= k ∑ ( −1)
a11 L = k ai1 L
τ ( j1L jn )
a1 j1 a2 j2 L aiji L anjn
a12 L a1n L L L ai 2 L ain L L L
第二章
行列式
an1 an 2 L ann
推论1：一个行列式中某一行（列）所有元素的公因式可以提 到行列式的符号外面。 推论2：如果行列式中某一行（列）所有元素都为零，则这个 行列式等于零。 在性质2中，取k=0，即知结论成立。 性质3：交换行列式D中的某两行（列），行列式变号。 （换法变换）
第二章 行列式
即设
a1 j1 L biji L anjn
行列式
a11 L
a12 L a1n L L L
a11 L
a12 L a1n L L L
= ai1 ai 2 L ain + bi1 bi 2 L bin L L L L L L L L an1 an 2 L ann an1 an 2 L ann
性质5： 把行列式中某一行（列）的所有元素同乘上一个数k 再加到另一行（列）的对应元素上，所得行列式与原 行列式相等。（消法变换）
第二章
行列式
1 −1
3
4
例2.4.2 计算行列式 D4 =
0 1 3
1 2 0
−1 3 0 2 4 1
1 −1 0 解: D4 = 1 3 1 2 0
3
4
1 −1 1 3 3
3 −1 −3
4 3 −2
0 −1 3 = 0 0 2 0 4 1
3 −1 0 4 3 −11
=−
−5 −11
3 −1 0 4 3 −11
的第i行
变为第i列（i=1，2，…，n）所得的行列式
a11 a12Biblioteka L a1n称为D的转置行列式，用 D′ 表示。
第二章
行列式
性质1：行列式D与它的转置行列式相等。（转置变换） 证：考察D的任意项 a1 j1 a2 j2 L anjn —（1） 它是取自D的不同行不同列的n个元素的乘积，因而 也是取自 D′ 的第 j1 , j2 ,L , jn 行，1，2，…，n列的 n个元素的乘积，因而也是 D′ 中的一项: a j11a j2 2 L a jn n —（2）。
第二章 行列式
它所带符号为：( −1)
τ ( k1Lk j Lki Lkn )
。由于对换改变排列的奇
偶性，故D中的任一项与 D1 中对应项刚好相差一个符号， 故 D = − D1 推论3： 如果行列式中有两行（列）的元素对应相同，则这 个行列式等于零。 （交换这两行（列）即知 D = − D ） 推论4： 如果行列式中有两行（列）的元素对应成比例，则 这个行列式等于零。 （利用性质2和推论3） 性质4：如果行列式中某一行（列）中的所有元素都可表成 两项之和，则该行列式可拆成两个行列式之和，即 （拆法变换）
τ (12Ln ) +τ ( j1 j2 L jn )
（1）项所带的符号是 ( −1) , (2)项所带 τ ( j1L jn ) +τ (12Ln ) 的符号也是 ( −1) 。因而D中的任一项均为 D′ 中的项而且所带的符号也相同。同理可知 D′ 中的 任一项也是D中的项且所带的符号相同。因此D= D′.
a13 L a1n b23 L b2 n c33 L c3n M M cn 3 L cnn