E[ X 2 (t )] = RX (0) = 300
2.3 平稳随机过程
3 相关系数及相关时间 也称为归一化协 方差函数或标准 协方差函数。
相关系数： 相关系数：
rX (τ ) =
K X (τ )
σ
2 X
=
2 RX (τ ) − mX 2 σX
相关时间： 相关时间：
τ 0 = ∫ rX (τ )dτ
(4) 若随机过程含有周期分量，则自相关函数也含有周期分量， 若随机过程含有周期分量，则自相关函数也含有周期分量，
X (t ) = A cos( ω 0 t + Φ ) + N (t )
A2 R X (τ ) = cos ω 0τ + RN (τ ) 2
(5)
2 2 RX (0) = σ X + mX
3 2 3
E ( XY ) = E (YX ) = E ( X ) E (Y ) = 0
mZ (t ) = E[ Z (t )] = E[ X ]cos t + E[Y ]sin t = 0
RZ (t1 , t2 ) = E[ Z (t1 ) Z (t2 )] = E{[ X cos t1 + Y sin t1 ][ X cos t2 + Y sin t2 ]} = E[ X 2 ]cos t1 cos t2 + E[Y 2 ]sin t1 sin t2 + E[ XY ]cos t1 sin t2 + E[YX ]sin t1 cos t2 = 2 cos t1 cos t2 + 2 sin t1 sin t2 = 2 cos(t1 − t2 ) = 2 cos τ
RX (τ ) = 100 cos10τ + (100e −10|τ | + 100)
= R X 1 (τ ) + R X 2 (τ )
R X 1 (τ ) ⇔ 10 2 cos(10t + φ )
2 mX 2 = RX 2 (∞) = 100
2 2 σ X = RX (0) − m X = 200
解、
1 x(t ) = lim T →∞ 2T
∫
T
−T
a cos(ωt + ϕ )dt = 0 = m X
1 x(t ) x(t + T ) = lim T → ∞ 2T
∫
T
−T
a 2 cos(ωt + ϕ ) cos(ωt + ωτ + ϕ )dt
= a 2 cos(ω0τ ) / 2 = RX (τ )
2.3 平稳随机过程
1 平稳随机过程的定义 严格 平稳 随机 过程 如果随机过程的任意n 如果随机过程的任意n维分布不随时间起 点变化，即当时间平移时，其任意的n 点变化，即当时间平移时，其任意的n维 概率密度不变， 概率密度不变，则称是严格平稳的随机过 程或称为狭义平稳随机过程。 程或称为狭义平稳随机过程。
设随机过程Z(t)=Xcost+Ysint Z(t)=Xcost+Ysint， 其中X 例、 设随机过程Z(t)=Xcost+Ysint，-∞<t< ∞。其中X，Y为 相互独立的随机变量，且分别以概率2/3、1/3取值-1和2。试 相互独立的随机变量，且分别以概率2/3、1/3取值2/3 取值 讨论随机过程Z(t)的平稳性。 讨论随机过程Z(t)的平稳性。 Z(t)的平稳性 解、
f X ( x1 , ⋯ , x n , t1 + ∆t , ⋯ , t n + ∆t ) = f X ( x1 , ⋯ , x n , t1 , ⋯ , t n )
f X ( x, t ) = f X ( x )
f X ( x1 , x 2 , t1 , t 2 ) = f X ( x1 , x 2 ,τ )
2.3 平稳随机过程
对于严格平稳的随机过程， 对于严格平稳的随机过程，它的均值和方差是与时间 无关的常数，而自相关函数只与 和 的差值有关 的差值有关， 无关的常数，而自相关函数只与t1和t2的差值有关， 而与本身的取值是无关的。 而与本身的取值是无关的。 严平稳最基本的特征是时间起点的平移不影响它的统 计特性， 具有相同的统计特性。 计特性，即X(t)与X(t+∆t)具有相同的统计特性。 与 ∆ 具有相同的统计特性
0
∞
rX (τ )
1
rX (τ 0 ) ≤ 0.05
0
τ0
τ
相关时间示意图
2.3 平稳随机过程
4 2 0 -2 -4
10 5 0 -5 -10
0
50
100
0
50
100
τ0 =1
两个不同相关时间随机过程的样本函数
τ 0 = 100
相关时间越长， 相关时间越长，反映随机过程前后取值之间的依 赖性越强，变化越缓慢，相关时间越小， 赖性越强，变化越缓慢，相关时间越小，反映随 机过程前后取值之间的依赖性越弱， 机过程前后取值之间的依赖性越弱，变化越缓慢
2.3 平稳随机过程
X(t)=At， 例2.7、 设随机过程X(t)=At，A为标准正态分布的 2.7、 设随机过程X(t)=At 随机变量。 随机变量。 试问X(t)是否平稳？ 试问X(t)是否平稳？ X(t)是否平稳 解、
E{X (t )} = E{tA} = tE{A} = 0
RX (t1, t2 ) = E{X (t1 ) X (t2 )} = t1t2 E{A2} = t1t2
Z(t)是广义平稳的 是广义平稳的
E [ Z 3 ( t )] = E {[ X cos t + Y sin t ]3 } = E [ X 3 cos 3 t + Y 3 sin 3 t + 3 X 2Y cos 2 t sin t + 3Y 2 X cos t sin t ] = 2 ⋅ ( cos 3 t + sin 3 t )
2 m X = RX (∞) = 36
mX = ±6
2 σ X = RX (0) − RX (∞) = 40 − 36 = 4
2.3 平稳随机过程
例、 已知平稳随机过程X(t)的自相关函数为
R X (τ ) = 100 e −10|τ | + 100 cos 10τ + 100
求X(t)的均值、均方值和方差。 解、
τ = t1 − t2
Z(t)不是严格平稳的 不是严格平稳的
2.3 平稳随机过程
由于在许多工程技术问题中，常常仅在相关理论( 由于在许多工程技术问题中，常常仅在相关理论(一、二阶矩) 二阶矩) 的范围内讨论问题，因此划分出广义平稳随机过程来。 的范围内讨论问题，因此划分出广义平稳随机过程来。而相 关理论之所以重要，是因为在实际中， 关理论之所以重要，是因为在实际中，一、二阶矩能给出有 关平稳随机过程平均功率的几个主要指标，比如， 关平稳随机过程平均功率的几个主要指标，比如，如果随机 过程如果代表噪声电压信号，那么在相关理论范围内就可以 过程如果代表噪声电压信号， 给出直流分量、交流分量， 给出直流分量、交流分量，平均功率及功率在频域上的分布 (我们将在后面讨论功率谱密度)等。另外，在电子系统中经 我们将在后面讨论功率谱密度) 另外， 常遇到最多的是正态随机过程，对于正态随机过程而言， 常遇到最多的是正态随机过程，对于正态随机过程而言，它 的任意维分布都只由它的一、二阶矩来确定， 的任意维分布都只由它的一、二阶矩来确定，广义平稳的正 态随机过程必定是严格平稳的。因此，在实际中， 态随机过程必定是严格平稳的。因此，在实际中，我们通常 只考虑广义平稳性，今后除特别声明外， 只考虑广义平稳性，今后除特别声明外，平稳性指的是广义 平稳。 平稳。
相关函数遍历性：
∫
2T
0
(1 −
τ
2T
2 )[ RΦ (τ ) − R X (τ )]dτ = 0
Φ (t ) = X (t + τ ) X (t )
零均值平稳正态随机信号：
∫
∞
0
R X (τ ) d τ < ∞
2.3 平稳随机过程
均值和自相关函数估计： 均值和自相关函数估计： 连续随机过程： 连续随机过程：
ˆ mX = 1 2T
∫
T
−T
x ( t ) dt
ˆ (τ ) = 1 RX 2T
∫
T
−T
x ( t + τ ) x ( t ) dt
随机序列： 随机序列：
ˆ mX
ˆ σ
2 X
1 = N
∑ x(n)
n=0
N −1
1 N −1 ˆ = ∑0 [ x ( n ) − m X N − 1 n=
]
2
N − m −1 1 ˆ RX (m ) = ∑0 x ( n ) x ( n + m ) N − m − 1 n=
2.3 平稳随机过程
X (t )
X (t )
t
t
(a)
(b)
各态历经过程与非各态历经过程示意图
2.3 平稳随机过程
遍历性判断： 遍历性判断：
1 2T τ 2 lim ∫ (1 − )[ RX (τ ) − m X ]dτ = 0 T →∞ T 0 2T
1 lim T →∞ T
均值遍历性： 均值遍历性：
2.3 平稳随机过程
随机过程的遍历性（ergodic） 4 随机过程的遍历性（ergodic） 定义：对于平稳随机过程X(t)， 定义：对于平稳随机过程X(t)，若有 X(t) 均值遍 历性 相关函数 遍历性
RX (τ ) = RX (τ )
P
遍历过程。 X(t)为遍历过程。
2.3 平稳随机过程
R X (0)
R X (τ )