平稳随机过程及其数字特征
平稳随机过程
粗略的说——随机过程的统计特征不随时间的推移而变化。

一.严平稳随机过程
1. 定义设有随机过程{ X(t) , t ∈T}，若对于任意n 和任意t1<t2<…<tn ，（ti ∈T ）时刻的n 个状态的n 维概率密度，不随时间平移Δt 而变化。

(Δt 为任意值)
12121212(,,...,;,,...,)
(,,...,;,,...,)
X n n X n n f x x x t t t f x x x t t t t t t =+Δ+Δ+Δ则称该过程为严平稳随机过程（或狭义平稳过程）。

因此：严平稳过程的二维数字特征仅是（时间差τ）的函数
综上所述：要按上述严平稳过程的定义来判断一个过程是否平稳?是很困难的。

a)：一般在实用中，只要产生随机过程的主要物理条件，在时间
进程中不变化。

则此过程就可以认为是平稳的。

例如：在电子管中由器件的颗粒效应引起的“散弹噪声”，由于产生此噪声的主要物理条件与时间无关，所以此噪声可以认为是平稳过程。

12121212
12
1
21212
2
2
2
(,)(,;)()
(,)()()(,;)()()(0)(0)[()]
X X X X X
X X X X X
X X X X R t t x x f x x dx dx R C t t x m
x m f x x dx dx C R m C R m D X t τττττσ=⋅==−−==−=−==∫∫∫∫
∞<)]([2
t X E b)：另一方面，对有些非平稳过程，可以根据需要，如果它在所观测的时间段内是平稳的，就可以视作这一时间段上的平稳过程来处理。

即在观测的有限时间段内，认为是平稳过程。

因此，工程中平稳过程的定义如下：
二、宽平稳过程1、定义
若二阶矩过程( )X(t) 满足: E[X(t)]=m x ←常数
R x (t 1,t 2)=R x (τ) ←只与时间间隔(τ=t 2-t 1)有关
则称过程X(t)为“宽平稳随机过程”（广义平稳过程）。

可见：一个均方值有限的严平稳过程，一定是宽平稳过程。

反之：一个宽平稳过程，则不一定是严平稳过程。

c)：一般在工程中，通常只在相关理论的范围内讨论过程的平稳问题。

即：讨论与过程的一、二阶矩有关的问题。

对于随机过程X(t)=αcos(ωot+ϕ)而言，当ϕ在(0，2 π)或(-π，π) 上均匀分布时，X( t )是平稳的。

当ϕ在(0，π)上或ϕ在(0，π/2) 上均匀分布时，X(t) 是非平稳过程。

因为当ϕ在(0，π)上均匀分布时，E[X(t)]=(-2 α/ π)sin ωot≠常数
当ϕ在(0,π/2) 上均匀分布时，E[X(t)]=2 α/ π(sin ωo t-cosωo t) ≠常数τ。