23.2 解直角三角形及其应用
第3课时方位角与方向角、坡度与坡角
2.坡度与斜率问题
【知识与技能】
1.了解测量中坡度、坡角的概念；
2.掌握坡度与坡角的关系,能利用解直角三角形的知识,解决与坡度有关的实际问题.
【过程与方法】
通过对例题的学习,使学生能够利用所学知识解决实际问题.
【情感态度】
进一步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.
【教学重点】
能利用解直角三角形的知识,解决与坡度、与弧长有关的实际问题.
【教学难点】
能利用解直角三角形的知识,解决与坡度的有关的实际问题.
一、情景导入,初步认知
在本章第一节的内容中,我们对坡度的有关知识有了一定的了解.本节课我们继续学习与坡度有关的计算.
【教学说明】
引入新课,告诉学生本节课所学习的内容.
二、思考探究,获取新知
如图:铁路路基的横断面是四边形ABCD,AD∥BC,路基顶宽BC=9.8m,路基高BE=5.8m,斜坡AB的坡度i=1∶1.6,斜坡CD的坡度i=1∶2.5,求铁路路基下底宽AD的值（精确到0.1m)与斜坡的坡角α和β（精确到1°）的值.
解:过点C作CF⊥AD于点F,得
CF=BE,EF=BC,∠A=α,∠D=β
∴AE=1.6×5.8=9.28m,
DF=2.5×5.8=14.5m,
∴AD=AE+EF+DF=9.28+9.8+14.5≈33.6m.
由tanα=1/1.6, tanβ=1/2.5,得
α≈32°,β=22°
答:铁路路基下底宽33.6m,斜坡的坡角分别为32°和22°.
【教学说明】
教师引导学生分析题目中的已知条件分别代表的是什么,将图形中的信息转化为图形中的已知条件,再分析图形求出问题.
三、运用新知,深化理解
1.教材P130例7.
2.如图,在山坡上种树,要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5m,测得斜坡的倾斜角是24°,求斜坡上相邻两树的坡面距离(精确到0.1m).
【分析】
引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形.已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5.5米,∠A=24°,求AB.
答:斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米.
3.同学们,如果你是修建三峡大坝的工程师,现在有这样一个问题请你解决:如图水库大坝的横断面是梯形,坝顶宽6m,坝高23m,斜坡AB的坡度i=1∶3,斜坡CD的坡度i=1∶2.5,求斜坡AB的坡面角α,坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m).
解:作BE⊥AD,CF⊥AD,在Rt△ABE和Rt△CDF中,
∴AE=3BE=3×23=69(m).
FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m).
∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m).
因为斜坡AB的坡度i＝tanα＝1/3
≈0.3333,
α≈18°26′
答:斜坡AB的坡角α约为18°26′,坝底宽AD为132.5米,斜坡AB的长约为72.7米.
4.庞亮和李强相约周六去登山,庞亮从北坡山脚C处出发,以24米/分钟的速度攀登,同时,李强从南坡山脚B处出发.如图,已知小山北坡的坡度,山坡长为240米,南坡的坡角是45°.问李强以什么速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A？（将山路AB、AC看成线段,结果保留根号）
解:过点A作AD⊥BC于点D,
在Rt△ABD中,∠B=45°
答:李强以122米/分钟的速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A.
5.某公园有一滑梯,横截面如图所示,AB表示楼梯,BC表示平台,CD表示滑道.若点E,F 均在线段AD上,四边形BCEF是矩形,且sin∠BAF=2/3,BF=3米,BC=1米,CD=6米.求:
(1)∠D的度数；
(2)线段AD的长.
解:（1）∵四边形BCEF是矩形,
∴∠BFE=∠CEF=90°,CE=BF,BC=FE,
∴∠BFA=∠CED=90°,
∵CE=BF,BF=3米,
∴CE=3米,
∵CD=6米,∠CED=90°,
∴∠D=30°.
（2）∵sin∠BAF=2/3,∴BFAB=2/3,
【教学说明】
通过练习,巩固本节课所学内容.
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
布置作业:教材“习题23.2”中第5、8题.
知道坡度、坡角的概念,能利用解直角三角形的知识解决与坡度、坡角有关的实际问题,特别是与梯形有关的实际问题,懂得通过添加辅助线把梯形问题转化为直角三角形来解决.。