高等数学下模拟试卷一
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）。

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1. 微分方程
x y dy
e dx
+=的通解是（ ） A 、y x e e C -+= B 、y x e e C -+= C 、y x e e C --= D 、y x e e C --=
2. 函数2
u xy z =在点(1,1,2)处沿l =（ A ）的方向导数最大
A. (2,4,1)
B. (4,2,1)
C. (2,4,1)-
D. (2,4,1)-
3. z
x y z e ++=，则
z z
x y
∂∂-=∂∂（ C ） A. 2 B. 1- C. 0 D. 2
4. 原点到平面326140x y z -++=的距离d = ( D )
A. 14
B. C. 7 D. 2
5. 曲线212x y z y ⎧-+=⎨=⎩
在xoz 面上的投影曲线为( A )
A. 直线
B. 抛物线
C. 圆
D. 点
6. 若级数
1
n n u ∞
=∑收敛(0,1,2,)n u n ≠=，则级数11
n n
u ∞
=∑
（ B ） A 、收敛 B 、发散 C 、收敛且
1
1
1
1
n n
n
n u
u
∞
∞
===
∑∑ D 、可能收敛可能发散
7. L 是抛物线2
y x =上从点(0,0)到点(1,1)的一段弧，则曲线积分L
xdy ⎰为（ C ）
A 、1/2
B 、3/2
C 、2/3
D 、1 8. D 为环形域：()()2
2
2
2
2
221214,,,D
D
x y I x
y d I x y
d σσ≤+≤=
+=+⎰⎰⎰⎰，则（ D ）
A ．11/2I <
B ．21I <
C ．12I I > D. 12I I <
9. 设∑是平面4x y z ++=被柱面221x y +=截出的有限部分，则yds ∑
=⎰⎰（ B ）
A 、π
B 、0 C
、
10. 设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[],ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 展开成傅里叶级数，其系数n b =（ D ）
A 、4n π
B 、2n π
C 、20
4
n n n π
⎧⎪⎨-⎪⎩为偶数为奇数
D 、0
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
11. 函数2x z y
=当2,1x y ==时的全微分dz =_______. 12. 极限
(,)(2,0)sin()
lim
x y xy y →＝ .
13. ),(2
2
xy y x f z -=，则
x
z
∂∂＝______. 14. 设2
sin z y x =，则
2z x y
∂∂∂＝______.
15．交换积分次序
13
03(,)y
dy f x y dx =⎰⎰
__________
16. 设345a i j k →
→
→
→
=-+，22b i j k →
→
→
→
=--+，则a →与b →
之间的夹角为____ 17.
(2,3)
22 (1,1)
xy dx x ydy +⎰
＝__________.
18. 函数1
()4f x x
=
-展开成x 的幂级数为()f x =__________ 19．幂级数
113
n
n
n x n ∞
=⋅∑的收敛半径是_______. 20．若过曲面2
2
4z x y =--上点P 处的切平面平行于平面2210x y z ++-=， 则点P 的坐标为_________
三、求解下列各题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）。

21．过点(2,1,1)A -作平面2390x y z ++-=的垂线，求该直线的方程及垂足的坐标。

. 22. 求函数z y x u 22--=在条件1222=++z y x 下可能的极值点。

23．计算
(24)(536)L
x y dx y x dy -+++-⎰，其中L 为圆周122=+y x ，取逆时针方向。

24. 求
()()(),x y dydz y z dzdx x y z dxdy ∑
++-+++⎰⎰其中∑是介于
0,1z z ==之间的圆柱体
229x y +≤的整个表面的外侧。

.
25. 求
Ω
，其中Ω是由1=z 和22y x z +=围成的区域。

26. 求微分方程234y y y x '''+-=的通解。

四、应用题（本题6分）
27. 设平面薄片所占的闭区域D 由直线2,x y y x +==和x 轴所围成，它的面密度xy μ=，求该薄片的
质量。

五、证明题（6分）
28. 用级数收敛的必要条件证明：40!lim n
n n →∞
=
参考答案与评分标准
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）。

A A C D A,
B
C
D B D
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
11. 44dx dy - 12. 2 13. 122xf yf ''+ 14. 2cos y x 15.
330
(,)x
dx f x y dy ⎰⎰
16. 4π 17. 352 18.
10(44)4
n
n n x x ∞
+=-<<∑ 19. 3 20. (1,1,2)
三、求解下列各题（本大题共6小题，每小题8分，共48分） 21. 解：直线方程为
211
213
x y z --+==
（4分） 即参数方程为22113x t
y t z t
=+⎧⎪
=+⎨⎪=-+⎩
代入平面方程得：12t = （6分）
故垂足为31
(3,
,)22
（8分） 22.解：拉格朗日函数为2
2
2
22(1)L x y z x y z λ=--+++- （3分）
122222x y z L x
L y L z
λλλ=+=-+=-+ （5分） 解方程组 222120220
220
1x y z x y z λλλ+=⎧⎪-+=⎪
⎨-+=⎪⎪++=⎩ 得：13322323x y z λ⎧=⎪⎪⎪=±⇒=±⎨⎪⎪=±⎪⎩
（7分）
故可能的极值点是122
(,,)333-及122(,,)333
-- （8分）
23. 解：24,536P x y Q y x =-+=+- （2分）
原式D
Q =
(
)44D
P
d d x y σσπ∂∂-==∂∂⎰⎰⎰⎰ （8分） 24. 解：,,P x y Q y z R x y z =+=-=++ （3分）
原式=
(
)327P Q R dv dv x y z πΩ
Ω
∂∂∂++==∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （8分）
25. 解：原式2211
220
=d d dz d d dz πρ
ρρϕϕρρΩ
=⎰⎰⎰⎰
⎰⎰ （6分）
415
π
=
（8分） 26. 解：特征方程为：2230r r +-=
123,1r r =-=
所以230y y y '''+-=的通解为312x x Y C e C e -=+ （4分）
设特解为*
y ax b =+ （6分）
代入原方程求得：48,39
a b =-=- 故通解为3124839
x x
y C e C e x -=+-- （8分）
四、应用题（本题6分）
27. 解：12013y
y D
M xyd dy xydx σ-===⎰⎰⎰⎰ （6分）
五、证明题（6分）
28、证明：对正项级数14!
n
n n ∞
=∑
114!
lim lim 01(1)!4n n n
n n n
a n a n ρ++→∞→∞==⋅=<+ （4分）
所以14!
n
n n ∞
=∑收敛
故：40!
lim n
n n →∞= （6分）。