2020年中考数学压轴题真题汇编(真题试卷+详细解析答案，值得下载)1.（2019年四川省攀枝花市）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象在第二象限交于点B，与x轴交于点C，点A在y轴上，满足条件：CA⊥CB，且CA＝CB，点C的坐标为（﹣3，0），cos∠ACO＝．（1）求反比例函数的表达式；（2）直接写出当x＜0时，kx+b＜的解集．【分析】（1）过点B作BD⊥x轴于点D，证明△AOC≌△CDB得到BD与CD的长度，便可求得B点的坐标，进而求得反比例函数解析式；（2）观察函数图象，当一次函数图象在反比例函数图象下方时的自变量x的取值范围便是结果．【解答】解：（1）过点B作BD⊥x轴于点D，∵CA⊥CB，∴∠BCD+∠ACO＝∠BCD+CBD＝90°，∴∠ACO＝∠CBD，∵∠BDC＝∠AOC＝90°，AC＝BC，∴△AOC≌△CDB（AAS），∴OC＝DB＝3，CD＝AO，∵cos∠ACO＝．∴AC＝，∴CD＝AO＝，∴OD＝OC+CD＝3+6＝9，∴B（﹣9，3），把B（﹣9，3）代入反比例函数y＝中，得m＝﹣27，∴反比例函数为；（2）当x＜0时，由图象可知一次函数y＝kx+b的图象在反比例函数y＝图象的下方时，自变量x的取值范围是﹣9＜x＜0，∴当x＜0时，kx+b＜的解集为﹣9＜x＜0．【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，熟练掌握函数解析式的求法以及利用数形结合根据函数图象的上下位置关系得出不等式的解集是重点．2.（2019年四川省成都市）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+5和y＝﹣2x的图象相交于点A，反比例函数y＝的图象经过点A．（1）求反比例函数的表达式；（2）设一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y＝的图象的另一个交点为B，连接OB，求△ABO的面积．【分析】（1）联立方程求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得；（2）联立方程求得交点B的坐标，进而求得直线与x轴的交点，然后利用三角形面积公式求得即可．【解答】解：（1）由得，∴A（﹣2，4），∵反比例函数y＝的图象经过点A，∴k＝﹣2×4＝﹣8，∴反比例函数的表达式是y＝﹣；（2）解得或，∴B（﹣8，1），由直线AB的解析式为y＝x+5得到直线与x轴的交点为（﹣10，0），∴S△AOB＝×10×4﹣×10×1＝15．【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，通过方程组求得交点坐标是解题的关键．3.（2019年四川省资阳市）如图，直线y＝x与双曲线y＝（x＞0）相交于点A，且OA＝，将直线向左平移一个单位后与双曲线相交于点B，与x轴、y轴分别交于C、D两点．（1）求直线BC的解析式及k的值；（2）连结OB、AB，求△OAB的面积．【分析】（1）根据平移的性质即可求得直线BC的解析式，由直线y＝x和OA＝即可求得A的坐标，然后代入双曲线y＝（x＞0）求得k的值；（2）作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，联立方程求得B点的坐标，然后根据S△AOB＝S梯+S△BOF﹣S△AOE＝S梯形AEFB，求得即可．形AEFB【解答】解：（1）根据平移的性质，将直线y＝x向左平移一个单位后得到y＝x+1，∴直线BC的解析式为y＝x+1，∵直线y＝x与双曲线y＝（x＞0）相交于点A，∴A点的横坐标和纵坐标相等，∵OA＝，∴A（1，1），k＝1×1＝1；（2）作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，解得或∴B（，），∵S△AOB＝S梯形AEFB+S△BOF﹣S△AOE＝S梯形AEFB，∴S△AOB＝S梯形AEFB＝（1+）（1﹣）＝2．【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建方程组确定交点坐标，属于中考常考题型．4.（2019年甘肃省天水市）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象交于A（m，4）、B（2，n）两点，与坐标轴分别交于M、N两点．（1）求一次函数的解析式；（2）根据图象直接写出kx+b﹣＞0中x的取值范围；（3）求△AOB的面积．【分析】（1）将点A、点B的坐标分别代入解析式即可求出m、n的值，从而求出两点坐标；（2）根据题意，结合图象确定出x的范围即可；（3）将△AOB的面积转化为S△AON﹣S△BON的面积即可．【解答】解：（1）∵点A在反比例函数y＝上，∴＝4，解得m＝1，∴点A的坐标为（1，4），又∵点B也在反比例函数y＝上，∴＝n，解得n＝2，∴点B的坐标为（2，2），又∵点A、B在y＝kx+b的图象上，∴，解得，∴一次函数的解析式为y＝﹣2x+6．（2）根据图象得：kx+b﹣＞0时，x的取值范围为x＜0或1＜x＜2；（3）∵直线y＝﹣2x+6与x轴的交点为N，∴点N的坐标为（3，0），S△AOB＝S△AON﹣S△BON＝×3×4﹣×3×2＝3．【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．5.（2019年四川省宜宾市）如图，已知反比例函数y＝（k＞0）的图象和一次函数y＝﹣x+b的图象都过点P（1，m），过点P作y轴的垂线，垂足为A，O为坐标原点，△OAP 的面积为1．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）设反比例函数图象与一次函数图象的另一交点为M，过M作x轴的垂线，垂足为B，求五边形OAPMB的面积．【分析】（1）根据系数k的几何意义即可求得k，进而求得P（1，2），然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；（2）设直线y＝﹣x+3交x轴、y轴于C、D两点，求出点C、D的坐标，然后联立方程求得P、M的坐标，最后根据S五边形＝S△COD﹣S△APD﹣S△BCM，根据三角形的面积公式列式计算即可得解；【解答】解：（1）∵过点P作y轴的垂线，垂足为A，O为坐标原点，△OAP的面积为1．∴S△OP A＝|k|＝1，∴|k|＝2，∵在第一象限，∴k＝2，∴反比例函数的解析式为y＝；∵反比例函数y＝（k＞0）的图象过点P（1，m），∴m＝＝2，∴P（1，2），∵次函数y＝﹣x+b的图象过点P（1，2），∴2＝﹣1+b，解得b＝3，∴一次函数的解析式为y＝﹣x+3；（2）设直线y＝﹣x+3交x轴、y轴于C、D两点，∴C（3，0），D（0，3），解得或，∴P（1，2），M（2，1），∴P A＝1，AD＝3﹣2＝1，BM＝1，BC＝3﹣2＝1，∴五边形OAPMB的面积为：S△COD﹣S△BCM﹣S△ADP＝×3×3﹣×1×1﹣×1×1＝．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积以及反比例函数系数k的几何意义，求得交点坐标是解题的关键．6.（2019年四川省巴中市）如图，一次函数y1＝k1x+b（k1、b为常数，k1≠0）的图象与反比例函数y2＝（k2≠0，x＞0）的图象交于点A（m，8）与点B（4，2）．①求一次函数与反比例函数的解析式．②根据图象说明，当x为何值时，k1x+b﹣＜0．【分析】①把B点坐标代入反比例函数解析式可求得k2的值，把点A（m，8）代入求得的反比例函数的解析式求得m，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；②直接由A、B的坐标可求得答案．【解答】解：①把点B（4，2）代入反比例函数y2＝（k2≠0，x＞0）得，k2＝4×2＝8，∴反比例函数的解析式为y2＝，将点A（m，8）代入y2得，8＝，解得m＝1，∴A（1，8），将A、B的坐标代入y1＝k1x+b（k1、b为常数，k1≠0）得，解得，∴一次函数的解析式为y1＝﹣2x+10；②由图象可知：当0＜x＜1或x＞4时，y1＜y2，即k1x+b﹣＜0．【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．7.（2019年江苏省宿迁市）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝﹣的图象相交于点A（﹣1，m）、B（n，﹣1）两点．（1）求一次函数表达式；（2）求△AOB的面积．【分析】（1）先利用反比例函数解析式确定A点和B点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；（2）先求OD的长，根据面积和可得结论．【解答】解：（1）把A（﹣1．m），B（n，﹣1）代入y＝﹣，得m＝5，n＝5，∴A（﹣1，5），B（5，﹣1），把A（﹣1，5），B（5，﹣1）代入y＝kx+b得，解得，∴一次函数解析式为y＝﹣x+4；（2）x＝0时，y＝4，∴OD＝4，∴△AOB的面积＝S△AOD+S△BOD＝×4×1+＝12．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，也考查了待定系数法求函数解析式．8.（2019年浙江省丽水市）如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的对称中心P在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，边CD在x轴上，点B在y轴上，已知CD＝2．（1）点A是否在该反比例函数的图象上？请说明理由；（2）若该反比例函数图象与DE交于点Q，求点Q的横坐标；（3）平移正六边形ABCDEF，使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图象上，试描述平移过程．【分析】（1过点P作x轴垂线PG，连接BP，可得BP＝2，G是CD的中点，所以P（2，）；（2）易求D（3，0），E（4，），待定系数法求出DE的解析式为x﹣3，联立反比例函数与一次函数即可求点Q；（3）E（4，），F（3，2），将正六边形向左平移两个单位后，E（2，），F（1，2），则点E与F都在反比例函数图象上；【解答】解：（1）过点P作x轴垂线PG，连接BP，∵P是正六边形ABCDEF的对称中心，CD＝2，∴BP＝2，G是CD的中点，∴PG＝，∴P（2，），∵P在反比例函数y＝上，∴k＝2，∴y＝，由正六边形的性质，A（1，2），∴点A在反比例函数图象上；（2）D（3，0），E（4，），设DE的解析式为y＝mx+b，∴，∴，∴y＝x﹣3，联立方程解得x＝，∴Q点横坐标为；（3）E（4，），F（3，2），将正六边形向左平移两个单位后，E（2，），F（1，2），则点E与F都在反比例函数图象上；【点评】本题考查反比例函数的图象及性质，正六边形的性质；将正六边形的边角关系与反比例函数上点的坐标将结合是解题的关系．9.（2019年四川省南充市）双曲线y＝（k为常数，且k≠0）与直线y＝﹣2x+b，交于A（﹣m，m﹣2），B（1，n）两点．（1）求k与b的值；（2）如图，直线AB交x轴于点C，交y轴于点D，若点E为CD的中点，求△BOE的面积．【分析】（1）将A、B两点的坐标代入一次函数解析式可得b和n的值，则求出点B（1，﹣2），代入反比例函数解析式可求出k的值．（2）先求出点C、D两点的坐标，再求出E点坐标，则S△BOE＝S△ODE+S△ODB＝，可求出△BOE的面积．【解答】解：（1）∵点A（﹣m，m﹣2），B（1，n）在直线y＝﹣2x+b上，∴，解得：，∴B（1，﹣2），代入反比例函数解析式，∴，∴k＝﹣2．（2）∵直线AB的解析式为y＝﹣2x﹣2，令x＝0，解得y＝﹣2，令y＝0，解得x＝﹣1，∴C（﹣1，0），D（0，﹣2），∵点E为CD的中点，∴E（），∴S△BOE＝S△ODE+S△ODB＝＝＝．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键．10.（2019年四川省绵阳市）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0且m≠3）的图象在第一象限交于点A、B，且该一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，过A、B分别作y轴的垂线，垂足分别为E、D．已知A（4，1），CE＝4CD．（1）求m的值和反比例函数的解析式；（2）若点M为一次函数图象上的动点，求OM长度的最小值．【分析】（1）将点A（4，1）代入y＝，即可求出m的值，进一步可求出反比例函数解析式；（2）先证△CDB∽△CEA，由CE＝4CD可求出BD的长度，可进一步求出点B的坐标，以及直线AC的解析式，直线AC与坐标轴交点的坐标，可证直线AC与坐标轴所围成和三角形为等腰直角三角形，利用垂线段最短可求出OM长度的最小值．【解答】解：（1）将点A（4，1）代入y＝，得，m2﹣3m＝4，解得，m1＝4，m2＝﹣1，∴m的值为4或﹣1；反比例函数解析式为：y＝；（2）∵BD⊥y轴，AE⊥y轴，∴∠CDB＝∠CEA＝90°，∴△CDB∽△CEA，∴，∵CE＝4CD，∴AE＝4BD，∵A（4，1），∴AE＝4，∴BD＝1，∴x B＝1，∴y B＝＝4，∴B（1，4），将A（4，1），B（1，4）代入y＝kx+b，得，，解得，k＝﹣1，b＝5，∴y AB＝﹣x+5，设直线AB与x轴交点为F，当x＝0时，y＝5；当y＝0时x＝5，∴C（0，5），F（5，0），则OC＝OF＝5，∴△OCF为等腰直角三角形，∴CF＝OC＝5，则当OM垂直CF于M时，由垂线段最知可知，OM有最小值，即OM＝CF＝．【点评】本题考查了反比例函数的性质，相似三角形的性质，垂线段最短等定理，解题关键是能够熟练运用反比例函数的性质及相似三角形的性质．11.（2019年甘肃省）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（﹣1，n）、B（2，﹣1）两点，与y轴相交于点C．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积；（3）若M（x1，y1）、N（x2，y2）是反比例函数y＝上的两点，当x1＜x2＜0时，比较y2与y1的大小关系．【分析】（1）利用待定系数法即可解决求问题．（2）根据对称性求出点D坐标，发现BD∥x轴，利用三角形的面积公式计算即可．（3）利用反比例函数的增减性解决问题即可．【解答】解：（1）∵反比例函数y＝经过点B（2，﹣1），∴m＝﹣2，∵点A（﹣1，n）在y＝上，∴n＝2，∴A（﹣1，2），把A，B坐标代入y＝kx+b，则有，解得，∴一次函数的解析式为y＝﹣x+1，反比例函数的解析式为y＝﹣．（2）∵直线y＝﹣x+1交y轴于C，∴C（0，1），∵D，C关于x轴对称，∴D（0，﹣1），∵B（2，﹣1）∴BD∥x轴，∴S△ABD＝×2×3＝3．（3）∵M（x1，y1）、N（x2，y2）是反比例函数y＝﹣上的两点，且x1＜x2＜0，∴y1＜y2．【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，学会利用函数的增减性，比较函数值的大小．12.（2019年江苏省盐城市）如图，一次函数y＝x+1的图象交y轴于点A，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B（m，2）．（1）求反比例函数的表达式；（2）求△AOB的面积．【分析】（1）根据一次函数y＝x+1的图象交y轴于点A，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B（m，2），可以求得点B的坐标，进而求得反比例函数的解析式；（2）根据题目中一次函数的解析式可以求得点A的坐标，再根据（1）中求得的点B的坐标，即可求得△AOB的面积．【解答】解：（1）∵点B（m，2）在直线y＝x+1上，∴2＝m+1，得m＝1，∴点B的坐标为（1，2），∵点B（1，2）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴2＝，得k＝2，即反比例函数的表达式是y＝；（2）将x＝0代入y＝x+1，得y＝1，则点A的坐标为（0，1），∵点B的坐标为（1，2），∴△AOB的面积是；．【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．13.（2019年江苏省连云港市）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝﹣x+b的图象与函数y＝（x＜0）的图象相交于点A（﹣1，6），并与x轴交于点C．点D是线段AC上一点，△ODC与△OAC的面积比为2：3．（1）k＝﹣6，b＝5；（2）求点D的坐标；（3）若将△ODC绕点O逆时针旋转，得到△OD'C'，其中点D'落在x轴负半轴上，判断点C'是否落在函数y＝（x＜0）的图象上，并说明理由．【分析】（1）将A（﹣1，6）代入y＝﹣x+b可求出b的值；将A（﹣1，6）代入y＝可求出k的值；（2）过点D作DM⊥x轴，垂足为M，过点A作AN⊥x轴，垂足为N，由△ODC与△OAC的面积比为2：3，可推出，由点A的坐标可知AN＝6，进一步求出DM＝4，即为点D的纵坐标，把y＝4代入y＝﹣x+5中，可求出点D坐标；（3）过点C'作C'G⊥x轴，垂足为G，由题意可知，OD'＝OD＝＝，由旋转可知S△ODC＝S△OD'C'，可求出C'G＝，在Rt△OC'G中，通过勾股定理求出OG的长度，即可写出点C'的坐标，将其坐标代入y＝﹣可知没有落在函数y＝（x＜0）的图象上．【解答】解：（1）将A（﹣1，6）代入y＝﹣x+b，得，6＝1+b，∴b＝5，将A（﹣1，6）代入y＝，得，6＝，∴k＝﹣6，故答案为：﹣6，5；（2）如图1，过点D作DM⊥x轴，垂足为M，过点A作AN⊥x轴，垂足为N，∵，∴，又∵点A的坐标为（﹣1，6），∴AN＝6，∴DM＝4，即点D的纵坐标为4，把y＝4代入y＝﹣x+5中，得，x＝1，∴D（1，4）；（3）由题意可知，OD'＝OD＝＝，如图2，过点C'作C'G⊥x轴，垂足为G，∵S△ODC＝S△OD'C'，∴OC•DM＝OD'•C'G，即5×4＝C'G，∴C'G＝，在Rt△OC'G中，∵OG＝＝＝，∴C'的坐标为（﹣，），∵（﹣）×≠﹣6，∴点C'不在函数y＝﹣的图象上．【点评】本题考查了待定系数法求解析式，三角形的面积，反比例函数的性质，勾股定理等，解题关键是能够熟练运用反比例函数的性质．14.（2019年浙江省嘉兴市）如图，在直角坐标系中，已知点B（4，0），等边三角形OAB的顶点A在反比例函数y＝的图象上．（1）求反比例函数的表达式．（2）把△OAB向右平移a个单位长度，对应得到△O'A'B'当这个函数图象经过△O'A'B'一边的中点时，求a的值．【分析】（1）过点A作AC⊥OB于点C，根据等边三角形的性质得出点A坐标，用待定系数法求得反比例函数的解析式即可；（2）分两种情况讨论：①反比例函数图象过AB的中点；②反比例函数图象过AO的中点．分别过中点作x轴的垂线，再根据30°角所对的直角边是斜边的一半得出中点的纵坐标，代入反比例函数的解析式得出中点坐标，再根据平移的法则得出a的值即可．【解答】解：（1）过点A作AC⊥OB于点C，∵△OAB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，OC＝OB，∵B（4，0），∴OB＝OA＝4，∴OC＝2，AC＝2．把点A（2，2）代入y＝，得k＝4．∴反比例函数的解析式为y＝；（2）分两种情况讨论：①点D是A′B′的中点，过点D作DE⊥x轴于点E．由题意得A′B′＝4，∠A′B′E＝60°，在Rt△DEB′中，B′D＝2，DE＝，B′E＝1．∴O′E＝3，把y＝代入y＝，得x＝4，∴OE＝4，∴a＝OO′＝1；②如图3，点F是A′O′的中点，过点F作FH⊥x轴于点H．由题意得A′O′＝4，∠A′O′B′＝60°，在Rt△FO′H中，FH＝，O′H＝1．把y＝代入y＝，得x＝4，∴OH＝4，∴a＝OO′＝3，综上所述，a的值为1或3．。