第九章 重积分(A)1．填空题(1) 设()y x y x P 2,=，()23,y x y x Q =，定义于:D 10<<x ，10<<y ，则()σd y x P D⎰⎰, ()⎰⎰Dd y x Q σ,(2) 设曲顶柱体的顶面是()y x f z ,=，()D y x ∈,，侧面是母线平行于z 轴，准线为D的边界线的柱面，则此曲顶柱体的体积用重积分可表示为=V 。
(3) 在极坐标系中，面积元素为 。
2．利用二重积分的性质，比较下列积分大小(1) ()⎰⎰+Dd y x σ2与()⎰⎰+Dd y x σ3，其中积分区域D 由x 轴，y 轴以及直线1=+y x 所 围成。
(2) ()⎰⎰+D d y x σ2与()⎰⎰+Dd y x σ3，其中积分区域D 是由圆周()()21222=-+-y x 所围成。
3．利用二重积分性质，估计积分()⎰⎰++=Dd y x I σ92222的值，其中D 是圆形闭区域422≤+y x 。
4．交换积分()⎰⎰--a ax ax xa dy y x f dx 2222,的积分次序。
5．交换积分()⎰⎰-2120,ydx y x f dy 的积分次序。
6．交换二次积分()⎰⎰+-aa y y a y x f dy 022,的积分次序。
7．计算()⎰⎰+Dd y x σ23，其中D 是由两坐标轴及直线2=+y x 所围成的闭区域。
8．计算()⎰⎰+Dd y x x σcos ，其中D 是顶点分别为()0,0，()0,π和()ππ,的三角形区域。
9．计算()⎰⎰+Dyd x σsin 1，其中D 是顶点分别为()0,0，()0,1，()2,1和()1,0的梯形闭区域。
10．计算二重积分⎰⎰Ddxdy ，其中区域D 由曲线21x y -=与12-=x y 围成。
11．计算二重积分⎰⎰Dd xy σ2，其中D 是由圆周422=+y x 及y 轴所围成的右半闭区域。
12．计算⎰⎰+Dy x d 22σ，其中D 是圆环域4122≤+≤y x 。
13．计算()⎰⎰++Dd y x σ221ln ，D ：122≤+y x ，0≥x ，0≥y 。
14．计算二重积分⎰⎰+Ddxdy y x 22，其中D ：x y x 222≤+。
15．计算⎰⎰-1122xy dy e dx x 。
16．求区域()θcos 1+≤≤a r a 的面积。
17．求由x y 2=，2xy =，2=xy 围成的平面图形的面积。
18．求椭圆抛物面4422y x z --=与平面0=z 所围成的立体体积。
19．设平面上半径为a 的圆形薄片，其上任一点处的密度与该点到圆心的距离平方成正比，比例系数为k ，求该圆形薄片的质量。
20．由圆θcos 2=r ，θcos 4=r 所围成的均匀薄片，面密度ρ为常数，求它关于坐标原点O 的动惯量。
(B)1．选择题设空间区域1Ω：2222R z y x ≤++，0≥z ，2Ω：2222R z y x ≤++，0≥x ，0≥y ，0≥z ，则………………（ ）A ．⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=214dv zdv B ．⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=214dv dv C ．⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=212ydv ydv D ．⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=21zdv dv2．根据二重积分性质，比较下列积分大小： (1)()⎰⎰+Dd y x σln 与()[]⎰⎰+Dd y x σ2ln ，其中D 是三角形区域，三顶点分别为()0,1，()1,1，()0,2。
(2)()⎰⎰+Dd y x σln 与()[]⎰⎰+D d y x σ2ln ，其中D 是矩形闭区域：53≤≤x ，10≤≤y 。
3．估计积分值()⎰⎰++=Dd y x I σ10，其中D 是由圆周422=+y x 围成。
4．估计二重积分⎰⎰≤+++=10||||22sin cos 1001y x d yx I σ的值。
5．交换二次积分次序()⎰⎰--0112,y dx y x f dy 。
6．交换二次积分的次序：()⎰⎰-223211,y y dy y x f dy 。
7．改变积分次序()⎰⎰-x x x dy y x f dx 2,10。
8．计算二重积分⎰⎰Dxy dxdy ye ，其中D 是由直线1=x ，2=x ，2=y 及双曲线1=xy 所围成的区域。
9．计算二重积分⎰⎰-x y dy edx 02102。
10．计算积分⎰⎰+-xdy y x x dx 022101。
11．⎰⎰+σd e y x 其中D 是由1||||≤+y x 所确定的闭区域。
12．()⎰⎰-+Dd x y x σ22，其中D 是由直线2=y ，x y =及x y 2=所围成的闭区域。
13．计算⎰⎰Ddxdy xy 22，其中D 由抛物线x y =2及直线2-=x y 所围成。
14．计算dx xy x dy y⎰⎰1210sin 。
15．计算⎰⎰Dxy dxdy e ，D 是由曲线2x y =，0=y ，1=x 所围成的区域。
16．计算()⎰⎰-+-+-+a x a a xdydx yx a yx 0222222241。
17．计算⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++--D dxdy y x y x 21222211，其中D 为122≤+y x 在第一象限的部分。
18．计算()⎰⎰≤++122||||y x dxdy y x 。
19．计算⎰⎰≤+1||||||y x dxdy xy 。
20．计算dxdy x y y x ⎰⎰≤≤≤≤--10112|| 21．计算三重积分⎰⎰⎰Ωxdw ，其中Ω由三个坐标面与平面12=++z y x 所围成。
22．计算()⎰⎰⎰++Vdxdydz z y x sin ，其中V 是平面2π=++z y x 和三个坐标平面所围成的区域。
23．计算积分⎰⎰⎰=Vxdxdydt I 。
24．计算积分()⎰⎰⎰++Vdxdydz z y x 22，其中V 为第一象限中由旋转抛物面22y x z +=与圆柱面122=+y x 所围成的部分。
25．计算()⎰⎰⎰Ω+=dxdydz y x I 22，其中Ω是由曲线⎩⎨⎧==022x zy 绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面2=z ，8=z 所围的立体。
26．求由下列曲面所界的体积，y x z +=，xy z =，1=+y x ，0=x ，0=y 。
27．求由圆锥面224y x z +-=与旋转抛物面222y x z +=所围立体的体积。
28．求平面1=++czb y a x 被三坐标面所割出部分的面积。
29．求底圆半径相等的两个直交圆柱面222R y x =+及222R z x =+所围立体的表面积。
30．一个物体由旋转抛物面22y x z +=及平面1=z 所围成，已知其任一点处的体密度ρ与到z 轴的距离成正比，求其质量m 。
31．求由圆θcos a r =，θcos 2a r =所围成的均匀薄片的重心。
32．一均匀物体(密度ρ为常量)占有的闭区域Ω是由曲面22y x z +=和平面0=z ，a x =||，a y =||所围成的。
(1) 求其体积；(2) 求物体的重心；(3) 求物体关于z 轴的转动质量。
(C)1．将下面积分化为重积分，并求I 的值。
()()⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-+---+-ϕϕϕϕsin 0sin sin 2222222222a b a y b ycgt y x y b y a y x dy dx e dy dx e I ，其中b a <<0，20πϕ<<为常数。
2．设区域D 为图中斜线部分，试将二重积分()⎰⎰=Ddxdy y x f I ,化为两种次序的二次积分。
3．计算三重积分()⎰⎰⎰Ω+dv z x ，其中Ω是由曲面22y x z +=与221y x z --=所围成的区域。
4．计算⎰⎰+Ddxdy y x |43|，D ：122≤+y x 。
5．设()y x f ,连续，且()()⎰⎰+=Ddudv v u yf x y x f ,,，其中D 是由xy 1=，1=x ，2=y 所围区域，求()y x f ,。
6．(1) 计算⎰⎰--σσd ey x 22，其中(){}222|,R y x y x ≤+=σ；(2) 试证⎰∞+-=22πdx e x 。
7．求曲面Σ：122++=y x z 上任一点的切平面与曲面S ：22y x z +=所围立体Ω的体积。
8．设()()⎰⎰⎰≤++++=2222222t z y x dxdydz z y x f t F ，其中()u f 为连续函数，()0f '存在，且()00=f ，()10='f ，求()5limt t F t →。
第九章 重积分(A)1．填空题(1) 设()y x y x P 2,=，()23,y x y x Q =，定义于:D 10<<x ，10<<y ，则()σd y x P D⎰⎰, > ()⎰⎰Dd y x Q σ,(2) 设曲顶柱体的顶面是()y x f z ,=，()D y x ∈,，侧面是母线平行于z 轴，准线为D的边界线的柱面，则此曲顶柱体的体积用重积分可表示为=V ()⎰⎰Dd y x f σ|,|。
(3) 在极坐标系中，面积元素为θσrdrd d =。
2．利用二重积分的性质，比较下列积分大小(1) ()⎰⎰+Dd y x σ2与()⎰⎰+Dd y x σ3，其中积分区域D 由x 轴，y 轴以及直线1=+y x 所 围成。
解：在区域D 内，1≤+y x ，两边乘以()2y x +，得()()23y x y x +≤+，故由性质得：()()⎰⎰⎰⎰+≤+DDd y x d y x σσ23(2) ()⎰⎰+D d y x σ2与()⎰⎰+Dd y x σ3，其中积分区域D 是由圆周()()21222=-+-y x 所围成。
解：令两被积函数相等，得0=+y x 或1=+y x ，直线1=+y x 与圆周()()21222=-+-y x 交点为()0,1由图知：D 位于1≥+y x 的半平面内故()()32y x y x +≤+，因而()()⎰⎰⎰⎰+≤+DDd y x d y x σσ32。
3．利用二重积分性质，估计积分()⎰⎰++=Dd y x I σ92222的值，其中D 是圆形闭区域422≤+y x 。
解：因为4022≤+≤y x ，故17922922≤++≤y x ，故()⎰⎰⎰⎰⎰⎰=⨯=≤++≤=DDDd d y x d ππσσσπ10827417922936224．交换积分()⎰⎰--a ax ax xa dy y x f dx 2222,的积分次序。