高二理科数学下学期训练四函数的极值与最值姓名学号分数1．已知函数y＝f(x)在定义域内可导，则函数y＝f(x)在某点处的导数值为0是函数y＝f(x)在这点处取得极值的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件2．已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是()A．(2,3) B．(3，＋∞)C．(2，＋∞) D．(－∞，3)3．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是()4．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为()A．1，－3B．1,3C．－1,3 D．－1，－35．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是()A．(－1,2) B．(－3,6)C．(－∞，－3)∪(6，＋∞) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)6．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分别是()A．12，－8 B．1，－8C．12，－15 D．5，－167．函数y＝ln xx的最大值为()A．e－1B．e C．e2D．108．若函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为() A．－10 B．－71C．－15 D．－229．函数f(x)＝x3＋ax－2在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是() A．[3，＋∞) B．[－3，＋∞)C．(－3，＋∞) D．(－∞，－3)10．已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是()A．(－∞，－1)B．(0，＋∞) C．(0,1) D．(－1,0)11．函数f(x)＝ax2＋bx在x＝1a处有极值，则b的值为________．12．设函数f(x)＝12x2e x，若当x∈[－2,2]时，不等式f(x)＞m恒成立，则实数m的取值范围是________．13．已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是________．二、解答题1．已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．(1)求f(x)的表达式；(2)求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．2．设函数f(x)＝e x－k2x2－x.(1)若k＝0，求f(x)的最小值；(2)若k＝1，讨论函数f(x)的单调性．3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5，曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线方程为y＝3x ＋1.(1)求a，b的值；(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值．4、已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，问是否存在实数a，b，使f(x)在[－1,2]上取得最大值3，最小值－29，若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．5．已知f (x )＝2ln(x ＋a )－x 2－x 在x ＝0处取得极值． (1)求实数a 的值．(2)若关于x 的方程f (x )＋b ＝0的区间[－1,1]上恰有两个不同的实数根，求实数b 的取值范围．6．已知函数f (x )＝ln x ＋ax .(1)当a <0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在[1，e]上的最小值是32，求a 的值．7．已知函数f (x )＝－12x 2＋2x －a e x .(1)若a ＝1，求f (x )在x ＝1处的切线方程； (2)若f (x )在R 上是增函数，求实数a 的取值范围．1、解析：选B 根据导数的性质可知，若函数y ＝f (x )在这点处取得极值，则f ′(x )＝0，即必要性成立；反之不一定成立，如函数f (x )＝x 3在R 上是增函数，f ′(x )＝3x 2，则f ′(0)＝0，但在x ＝0处函数不是极值，即充分性不成立．故函数y ＝f (x )在某点处的导数值为0是函数y ＝f (x )在这点处取得极值的必要不充分条件，故选B.2、解析：选B 因为函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋36x －24在x ＝2处有极值，又f ′(x )＝6x 2＋2ax ＋36，所以f ′(2)＝0解得a ＝－15.令f ′(x )＞0，解得x ＞3或x ＜2，所以函数的一个递增区间是(3，＋∞)．/3、解析：选C 由题意可得f ′(－2)＝0，而且当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )＜0，此时xf ′(x )＞0；排除B 、D ，当x ∈(－2，＋∞)时，f ′(x )＞0，此时若x ∈(－2,0)，xf ′(x )＜0，若x ∈(0，＋∞)，xf ′(x )＞0，所以函数y ＝xf ′(x )的图象可能是C.4、解析：选A ∵f ′(x )＝3ax 2＋b ，由题意知f ′(1)＝0，f (1)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝0，a ＋b ＝－2，∴a ＝1，b ＝－3./5、解析：选C f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6，∵f (x )有极大值与极小值，∴f ′(x )＝0有两不等实根，∴Δ＝4a 2－12(a ＋6)>0，∴a <－3或a >6./6、解析：选A y ′＝6x 2－6x －12，由y ′＝0⇒x ＝－1或x ＝2(舍去)．x ＝－2时，y ＝1；x ＝－1时，y ＝12；x ＝1时，y ＝－8. ∴y max ＝12，y min ＝－8.故选A./7、解析：选A 令y ′＝(ln x )′x －ln x x 2＝1－ln xx 2＝0⇒x ＝e.当x ＞e 时，y ′＜0；当0＜x ＜e 时，y ′＞0，所以y 极大值＝f (e)＝e －1，在定义域内只有一个极值，所以y max ＝e －1.8、解析：选B f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x －3)(x ＋1)．由f ′(x )＝0，得x ＝3或x ＝－1.又f (－4)＝k －76，f (3)＝k －27，f (－1)＝k ＋5，f (4)＝k －20.由f (x )max ＝k ＋5＝10，得k ＝5，∴f (x )min ＝k －76＝－71./9、解析：选B ∵f (x )＝x 3＋ax －2在[1，＋∞)上是增函数，∴f ′(x )＝3x 2＋a ≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a ≥－3x 2在[1，＋∞)上恒成立，又∵在[1，＋∞)上(－3x 2)max ＝－3，∴a ≥－3./10、解析：选D 若a <－1，∵f ′(x )＝a (x ＋1)(x －a )，∴f (x )在(－∞，a )上单调递减，在(a ，－1)上单调递增，∴f (x )在x ＝a 处取得极小值，与题意不符；若－1<a <0，则f (x )在(－1，a )上单调递增，在(a ，＋∞)上单调递减，从而在x ＝a 处取得极大值．若a >0，则f (x )在(－1，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，与题意矛盾，∴选D. 11/解析：f ′(x )＝2ax ＋b ，∵函数f (x )在x ＝1a 处有极值，∴f ′⎝⎛⎭⎫1a ＝2a ·1a ＋b ＝0，即b ＝－2. 答案：－212/解析：f ′(x )＝x e x＋12x 2e x ＝e x 2·x (x ＋2)，由f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝－2.当x ∈[－2,2]时，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：∴当x ＝0时，f (x )min ＝f (0)＝0，要使f (x )＞m 对x ∈[－2,2]恒成立，只需m ＜f (x )min ，∴m ＜0.答案：(－∞，0)13/答案：(－4，－2)1.解：(1)∵f ′(x )＝3ax 2＋2x ＋b ，∴g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b . ∵g (x )是奇函数，∴g (－x )＝－g (x )，从而3a ＋1＝0，b ＝0，解得a ＝－13，b ＝0，因此f (x )的表达式为f (x )＝－13x 3＋x 2.(2)由(1)知g (x )＝－13x 3＋2x ，∴g ′(x )＝－x 2＋2，令g ′(x )＝0.解得x 1＝－2(舍去)，x 2＝2，而g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝43，因此g (x )在区间[1,2]上的最大值为g (2)＝423，最小值为g (2)＝432解：(1)k ＝0时，f (x )＝e x －x ，f ′(x )＝e x －1.当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故f (x )的最小值为f (0)＝1.(2)若k ＝1，则f (x )＝e x －12x 2－x ，定义域为R.∴f ′(x )＝e x －x －1，令g (x )＝e x －x －1，则g ′(x )＝e x －1， 由g ′(x )≥0得x ≥0，所以g (x )在[0，＋∞)上单调递增， 由g ′(x )<0得x <0，所以g (x )在(－∞，0)上单调递减， ∴g (x )min ＝g (0)＝0，即f ′(x )min ＝0，故f ′(x )≥0. 所以f (x )在R 上单调递增．3、解：(1)依题意可知点P (1，f (1))为切点，代入切线方程y ＝3x ＋1可得，f (1)＝3×1＋1＝4，∴f (1)＝1＋a ＋b ＋5＝4，即a ＋b ＝－2， 又由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5得， 又f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，而由切线y ＝3x ＋1的斜率可知f ′(1)＝3， ∴3＋2a ＋b ＝3，即2a ＋b ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝－2，2a ＋b ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－4，∴a ＝2，b ＝－4. (2)由(1)知f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5，f ′(x )＝3x 2＋4x －4＝(3x －2)(x ＋2)， 令f ′(x )＝0，得x ＝23或x ＝－2.当x 变化时，f (x )，f ′(x )的变化情况如下表：∴f (x )的极大值为f (－2)＝13，极小值为f ⎝⎛⎭⎫23＝9527， 又f (－3)＝8，f (1)＝4， ∴f (x )在[－3,1]上的最大值为13.4、解：存在．显然a ≠0.f ′(x )＝3ax 2－12ax ＝3ax (x －4)．令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝4(舍去)． (1)当a >0， x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表：单调递减所以当x ＝0时，f (x )取得最大值，所以f (0)＝b ＝3.又f (2)＝－16a ＋3，f (－1)＝－7a ＋3，f (－1)>f (2)．所以当x ＝2时，f (x )取得最小值， 即－16a ＋3＝－29，解得a ＝2.(2)当a <0，x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表：x [－1,0) 0 (0,2] f ′(x ) － 0 ＋ f (x )单调递减极小值单调递增所以当x ＝0又f (2)＝－16a －29，f (－1)＝－7a －29，f (2)>f (－1)．所以当x ＝2时，f (x )取得最大值，∴f (2)＝－16a －29＝3，解得a ＝－2， 综上可得，a ＝2，b ＝3或a ＝－2，b ＝－29.5、解：(1)f ′(x )＝2x ＋a－2x －1，当x ＝0时，f (x )取得极值，所以f ′(0)＝0，解得a ＝2，检验知a ＝2符合题意． (2)令g (x )＝f (x )＋b ＝2ln(x ＋2)－x 2－x ＋b ，则g ′(x )＝2x ＋2－2x －1＝－2x ⎝⎛⎭⎫x ＋52x ＋2(x ＞－2)． g (x )，g ′(x )在(－2，＋∞)上的变化状态如下表：x (－2,0) 0 (0，＋∞)g ′(x ) ＋ 0 －g (x )2ln 2＋b由上表可知函数在x ＝0处取得极大值，极大值为2ln 2＋b . 要使f (x )＋b ＝0在区间[－1,1]上恰有两个不同的实数根， 只需⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)≤0，g (0)＞0，g (1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧b ≤0，2ln 2＋b ＞0，2ln 3－2＋b ≤0，所以－2ln 2＜b ≤2－2ln 3.故实数b 的取值范围是(－2ln 2,2－2ln 3]．6解：函数f (x )＝ln x ＋a x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax 2，(1)∵a <0，∴f ′(x )>0，故函数在其定义域(0，＋∞)上单调递增．(2)x ∈[1，e]时，分如下情况讨论：①当a <1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，其最小值为f (1)＝a <1，这与函数在[1，e]上的最小值是32相矛盾；②当a ＝1时，函数f (x )在[1，e]上单调递增，其最小值为f (1)＝1，同样与最小值是32相矛盾；③当1<a <e 时，函数f (x )在[1，a )上有f ′(x )<0，f (x )单调递减，在(a ，e]上有f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以，函数f (x )的最小值为f (a )＝ln a ＋1，由ln a ＋1＝32，得a ＝ e.④当a ＝e 时，函数f (x )在[1，e]上有f ′(x )<0，f (x )单调递减，其最小值为f (e)＝2，这与最小值是32相矛盾；⑤当a >e 时，显然函数f (x )在[1，e]上单调递减，其最小值为f (e)＝1＋a e >2，仍与最小值是32相矛盾； 综上所述，a 的值为 e.7/解：(1)当a ＝1时，f (x )＝－12x 2＋2x －e x ，则f (1)＝－12×12＋2×1－e ＝32－e ，f ′(x )＝－x ＋2－e x ，f ′(1)＝－1＋2－e ＝1－e ，故曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y －⎝⎛⎭⎫32－e ＝(1－e)(x －1)，即y ＝(1－e)x ＋12. (2)∵f (x )在R 上是增函数，∴f ′(x )≥0在R 上恒成立， ∵f (x )＝－12x 2＋2x －a e x ，∴f ′(x )＝－x ＋2－a e x ，于是有不等式－x ＋2－a e x ≥0在R 上恒成立，即a ≤2－x e x 在R 上恒成立，令g (x )＝2－x e x ，则g ′(x )＝x －3e x ，令g ′(x )＝0，解得x ＝3，列表如下：故函数g (x )即g (x )min ＝－1e 3，所以a ≤－1e 3，即实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－1e 3.。