精锐教育学科教师辅导讲义
讲义编号____________________
学员编号： 年 级： 课时数及课时进度：3（3/60）
学员姓名： 辅导科目： 学科教师：
学科组长/带头人签名及日期
课 题
利用导数学求函数单调区间、极值和最值 授课时间：
备课时间：
教学目标
1、能熟练运用导数求函数单调区间、判定函数单调性；
2、能用导数求函数的极值和最值。

重点、难点
考点及考试要求
教学内容
一、利用导数判定函数的单调性并求函数的单调区间
1.定义：一般地，设函数)(x f y =在某个区间内有导数，如果在这个区间内
0)('>x f ，那么函数)(x f y = 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内
0)('<x f ，那么函数)(x f y =在为这个区间内的减函数. 2.用导数求函数单调区间的步骤：
①求函数f (x )的导数
)('x f . ②令
0)('>x f 解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令0)('
<x f 解不等式，得x 的范围，就是递减区间. 例14、.x ＞0时，证明不等式：e x x 221<
+.
二、利用导数求函数的极值
1、极大值
一般地，设函数)(x f 在点
x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有)()(0x f x f <，就说)(0x f 是函数的一个极大值，记作
()x y f 0=极大值，x 0是极大值点 2、极小值
一般地，设函数)(x f 在
x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有)()(0x f x f >就说)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值，记作()x y f 0=极小值，x 0
是极小值点 3、极大值与极小值统称为极值
在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点：
（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.
（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.
（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，x 1
是极大值点，x 4是极小值点，而)()(1
4x x f f >. （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点
f(x 2)
f(x 4)
f(x 5)
f(x 3)
f(x 1)
f(b)
f(a)x 5x 4x 3x 2x 1b a x
O
y
4、判别()x f
0是极大、极小值的方法: 若x 0满足0)(0'=x f ，且在x 0的两侧)(x f 的导数异号，则x 0是)(x f 的极值点，()x f 0是极值，并且如果)('x f 在
x 0
两侧满足“左正右负”，则x 0是)(x f 的极大值点，()x f 0是极大值；如果)('x f 在x 0两侧满足“左负右正”，则x 0是)(x f 的极小值点，()x f 0是极小值
5、求可导函数)(x f 的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数)('x f
(2)求方程0)('=x f 的根
(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查)('x f 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么)(x f 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么)(x f 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么)(x f 在这个根处无极值
例16、求443
13+-=
x y x 的极值.
例17、函数x x a x f 3sin 31sin )(+
=在3π=x 处具有极值，求a 的值.
例18、 x b
x a y x ++=2ln 在1=x 和2=x 处有极值，求b a 、的值
例10、已知函数a a x x x a x f 3
22393)(+--= （1） 设1=a ，求函数)(x f 的极值；
（2）41>
a ，且当[]a a 4,1∈时，a x f 12)('≤恒成立，试确定a 的取值范围。

例11、已知函数)(2)(234R x b a x f x x x ∈+++=
，其中R b a ∈,。

（1）当3
10-=a 时，讨论函数)(x f 的单调性； （2）若函数)(x f 在10=x 处有极值，求a 的取值范围；
（3）若对于任意的[]2,2-∈a ，不等式1)(≤x f 在[]1,1-上恒成立，求b 的取值范围。

例19、确定函数12+=
x x y 的单调区间，并求函数的极大、极小值.
例20、求函数x x y 25431++=
的极值与极值点.
例21、求函数x y x ln 2
=
的极值.
三、利用导数求函数的最大值与最小值
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与)(3x f 是极小值，)(2
x f 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是)(1x f ．
一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．
说明：⑴在开区间()b a ,内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．如函数x
x f 1)(=在()+∞,0内连续，但没有最大值与最小值；
⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
⑶函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤:
由上面函数)(x f 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，则求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：
⑴求)(x f 在()b a ,内的极值；
⑵将)(x f 的各极值与)()(b f a f 、比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值.
例22、.求函数5224+-=
x x y 在区间[]2,2-上的最大值与最小值
例23、. 已知x b ax x f x
++=23log )(,),0(+∞∈x .是否存在实数b a 、,使)(x f 同时满足下列两个条件：（1）)(x f 在
)1,0(上是减函数，在[)+∞,1上是增函数；
（2）)(x f 的最小值是1，若存在，求出b a 、，若不存在，说明理由.
例24、若函数()112
131)(23+-+-=
x a a x f x x 在区间)4,1(内为减函数，在区间),6(+∞上为增函数，试求实数a 的取值范围．
例25、已知函数)0()(3
≠++=a d cx a x f x 是R 上的奇函数，当1=x 时)(x f 取得极值2-， （1）求)(x f 的单调区间和极大值；
（2）证明对任意
)1,1(,21-∈x x ，不等式()()421<-x x f f 恒成立．
例26、设函数)0,,(5213)(23>∈++-+=
a R
b a x b a x f x x 的定义域为R ，当x x 1=时，取得极大值；当x x 2=时取得极小值，
21<x 且421=-x x ． （1）求证：
021>x x ； （2）求证：a a b 41622)1(+=-；
（3）求实数b 的取值范围．
例27、已知0,1>->c b ，函数b x x f +=)(的图象与函数c bx x g x ++=
2)(的图象相切，
（1）求c b ,的关系式（用c 表示b ）； （2）设函数)()()(x g x f x F =在()+∞∞-,内有极值点，求c 的取值范围。