vy 0
vy yh 0 vy y0 0
vx
vx x
vy
vx y
2vx x2
2vx y 2
1
p x
vx
vy x
vy
vy y
2vy x2
2vy y 2
1
p y
g
0 2vx 1 p y2 x
0 1 p g y
d 2vx dy2
1
p x
C
3.1.2.2层流流动下几种特殊情况的解析解
Xdxdydz p dxdydz
x
vxvx dxdydz
x
vxvy dxdydz y
vx dxdydz
vxvz dxdydz
z
X
p x
vx
x
vxvx
y
vxvy
z
vxvz
xx yx zx
x y z
N-S方程
vx vy vz 0
x
y
z
1
vx
v
Re
Re
c
时不稳定
• Re<2300为层流；
• Re>2300为湍流。
注意:对不同形状的物体绕流问题 ,雷诺数中的 定 性尺度是不一样的.如平板是长度L,圆球是直径d, 任意形状截面是当量直径d.
当量直径dε=4×截面积/周长
连续性方程
单位时间流入 单位时间流出 单位时间微元 微元体的质量 微元体的质量 体的质量增量
r
)n
vx max 1
r n R
一般 Re 105时取n 1 即湍流的 1 次方速度分布规律
7
7
可求得 :
层流 vx 0.5vx max 湍流 vx 0.82vx max
湍流
层流 圆管内速度分布
3.3 流动阻力与能量损失
由于流体的粘性，流体之间以及流体与固体壁面之间
发生相对运动时必然产生摩擦阻力，从而消耗流体的机械
依动量定理: (稳定流动无动量的蓄积) 作用的总力=净输出控制体的动量的增量
(2rrL)g
2rr(P
0
P
L)
2rL rz
r r
2rL rz
rr
两边约去系数2L r为变量，不能约
rrg
r
r L
(P
0
P
L)
r rz
r r
r rz
rr
P 0 P0
则P
L
P0
P z
dz
dz L
P
P
P 0 P L P0 (P0 z L) z L P0 PL
3.1.2 层流流动的定解问题
密度、粘性 为常量，等 温条件下层 流流动
定解条件 ➢ 初值条件 ➢ 边值条件
vx vy vz 0
x
y
z
控 制 方
vx
v vx
2vx x2
2vx y 2
2vx z 2
p x
X
程
封
vy
v vy
2vy x2
2vy y 2
2vy z 2
vz dA
A
A
令P P0 PL
则有
P
8L vz
R2
32L
D2
vx
64
vD
L D
vz 2
2
64 Re
L D
vz 2
2
令 64
Re
则P L vz 2
D2
摩阻系数 P：沿程阻损 与v z一次方成正比
3.2.2 圆管中的湍流流动
• 湍流脉动的特征:
vx
vy v
vx y
vx′
vx
vx
一个流体质点的运动路径
vx dxdydz
x
vy dxdydz y
dxdydz
vz dxdydz
z
vx
vy
vz
0
y
x
y
z
v 0
欧拉方程
单位时间作用 单位时间 单位时间 单位时间
在控制体上的
流出控制
流入控制
控制体的
合外力冲量 体的动量 体的动量 动量增量
Xdxdydz p dxdydz
时 rz 0
C1 0
有
rz
(g
P0
PL L
)
r 2
又
rz
dvz dr
分离变量
有
dvz
1 2
(g
P0 PL L
)rdr
积分：
vz
1
(g
P0 PL L
)
r2 4
C2
BC : r R
vz 0
C2
1
(g
P0 PL L
)
R2 4
故：
vz
1
4
(g
P0 PL L
)
R
2
1
r 2
R
水平直管忽略重力： gx 0
x
(a)
(b)
t
瞬时速度:vx 时均速度 : vx 脉动速度 : vx
vx
1 v dt
x 0
1
0
(vx
vx
)dt
1
vx dt
0
1
0
vx
dt
vx
0
可见 : vxdt 0 即脉动速度对时间的平均值为0
0
同理 压强 P P P 粘 附
1.湍流附加切应力:
因脉动单位时间内流径dA的 x方向动量:
无渗透、无滑移边值条件 vx yh v0 vy yh 0
3.1.2.2层流流动下几种特殊情况的解析解
两平行平板间的等温层流流动－问题简化
v0
平板无限大，不同x处的任意截面
上速度分布相同：
vx x
2vx x 2
0
vx vy 0
vx f y
vy 0 y
x
vy f x
h
x y
vy x,y f x x,y f x x,y0.or.yh
• (二)局部阻力损失 在边壁尺寸急剧变化的流动区域，由于尾流
质量 速度 动量 vydA vx (vx vx )vy dA vxvydA vxvydA
动量平均值
1
0
(
vydA)
v
xd
1
0
vyd
v
xdA
1
0
dA(vxvy
)d
dA
x
0 vxvydA
即由于湍流运动而产生的动量传输在dA面上产生了一 纵向作用力ρvx′vy′dA
tw2
管道中充分发展的层流流动
分析 : r
无对流动量通量
粘性动量通量 (2 rLrz ) |r r r 粘性动量通量 (2 rL rz ) rr
沿z向对流动量通量 由vx |r vx |rr 不变,故流入与流出之对 流动量通量相等
控制体内流体的重力: (2 rrL) g
作用于 z 0处的压力: ( 2 rr)P 0 作用于 z L处的压力: ( 2 rr)P |l
p y
Y
闭
vz
v vz
2vz x2
2vz y 2
2vz z 2
p z
Z
初值条件： 非稳态情况下，初始时刻场量的分布
x, y, z t 0
3.1.2.1 层流流动的定解问题
定解条件 边值条件
固体壁面的无渗透无滑移边值条件
流体流动被固体限制在一定的区域内，贴近固体壁面的一层流体由于固体 壁面的作用使流体在固体壁面相切的方向上必与固体表面保持相对静止
两平行平板间的等温层流流动－方程求解
v0
d 2vx dy2
1 p xCFra bibliotekvxC
2
y2 Dy B
vx y0 0 vx yh v0
C 1 p
x
h x
B0 D v0 1 p h
h 2 x
vx y h2 p y 1 y
v0 h 2v0 x h h
3.1.2.2 层流流动下几种特殊情况的解析解
稳定,在此范围内改变,实验表明,判断流动状态可用一无
因次数群（Re）为准则
Vc受d,v因素影响,三者相互影响,制约 故
Re vd 为判断标准
则 层流 : Re Rec
湍流 : Re Rec
过渡区 :
Rec
Re
Re
c
实验结果 光滑管 Rec 2300
计算中: Re Rec 时按层流计算
Re Rec 按紊流计算
vx
2vx x 2
2vx y 2
2vx z 2
p x
X
1 vy
v vy
2vy x 2
2vy y 2
2vy z 2
p y
Y
1
vz
v
vz
2vz x 2
2vz y 2
2vz z 2
p z
Z
偏微分方程组
+ 适当的定解条件
－－ 等温条件下的实际
流体流动
o 只适用于层流 o 密度、粘性为常量
o 等温 o 偏微分方程组的求解问题
当流体在流动区域内关于某一个面对称时，常常取这样的面为计算的对 称边界而简化计算，对称面上边界条件常取为物理量在对称面上的变化 率为零，如管道流动中当把坐标选在管子的中心线上时，就有：
出入口边值条件
0 r r0
入口处边值条件常常取为给定物理量的值
t, x,
y, z in
0 t, x,
y, z
出口边值条件常取已知物理量的值或单向无影响的条件。后者指的
r r z
r r