t
则可引入有粘度系数：eff t ，并有N—S方程：

v x t

vx

v x x
vy
v x y
vz
v x z

p x
eff
2v x

x 2

2v x y 2

2v z z 2

dv p l t g
s
积分得：
v v

1 k
ln y
C'
v ky dv dy
进一步令：C '
C
1 k

ln v
（将 y
变成 y ）
得：
v

v v

1 k
ln y
C
尼古拉兹结论：v 2.5ln y 5.5 ，此时，y 30 。
如：5 y 30 ，则：
v y
z' v
' x

x y
z
后三项可写为： xj x j
xj

v
x' v
' j
对照对流动量通量 uu ,可以认为 xj是由于流体脉动所附加的动量通量，
定义其为雷诺应力，并据此假设（仿粘性力定义）：
ij

vi'v
' j

t
v i x j
：湍流粘性系数
记：dp dz

pL
L
p0
dp
，
dz
gz
C1
C1


1 r
r
(r
v z r
)
（3）简化后方程的解：
由上式
C1 r


r
r
dv z dr

积分一次得：
C1 r 2 r dvz A
2
dr
r=0时，
dvz 0 A 0 dr

C1 r dvz
以速度为例，我们按图所示，
可做如下处理： uz uz' uz
式中：uz ——为某时刻实际速度
u z ——为时均速度
u
' z
——为瞬态脉动速度
则： uz
1 t
t 0
uz
t
dt
而：uz'
1 t
t 0
uz'
t

dt
=0
同样有：P P' P
湍流连续性方程
湍流流体仍满足连续性方程：t




u


0
如对方程做时均化可得： t
i
xi
ui 'ui'
0
对于不可压流体：u 0
ux uy uz 0 x y z
上式说明，不可压湍流体的时均速度仍满足连续性方程。
3．湍流流动的运动方程
湍流流动仍满足实际流体的运动方程，但同样，我们把握不住规律性。
出入口边值条件。
入口： t ,x ,y ,z in
0 t ,x,y,z（给定）
出口：已知或单方向无影响。
4.3 流动问题求解方法
控制方程 边值条件 初值条件

解析法，积分变换求精 数值法，近似逼值
确解
4.4 层流流动下几种特殊情况的解析解
1.两平行平板间的等温层流流动（P68）

p1
，
1
：气体绝热指数
CP CV

，空气的k 1.4

1
将其代入积分式可得：v
v12

2 1
p11
1

p p1




当 A1 A 时，由连续性方程，v1 0


1
v
2 1
p11
4.2 层流流动的定解问题
求解实际流体的流动问题应用连续方程和运动方程。对于不可压缩及 粘性为常量的情况下方程组封闭。否则，需补充状态方程、温度场方 程等。我们首先分析定解条件。 1． 初值问题：
非稳态问题需给出初始时刻值： x,y,z 0
2． 边值问题（边界值）： ① 固体壁面无渗透、无滑移边界条件贴近固体壁面处一层流体的速 度与固体壁面保持相对静止：
2
2
h 8Lv z 64 L v z L v z
R 2 Re d 2
d2
：摩擦阻力系数
光滑管流层

64 Re
光滑管湍流


0.3164 Re 0.25
4.5 湍流
湍流脉动及其时均化 流体在做湍流运动时，流体质点在运动中不断混掺，因此，诸如：速 度、压力等物理量都不断随时间而变化，发生不规则的脉动现象。
第四章 层流、湍流与湍流流动
4.1 流动的两种状态 4.2 层流流动的定解问题 4.3 流动问题求解方法 4.4 层流流动下几种特殊情况的解析解 4.5 湍流 4.6 可压缩流体流动
4.1 流动的两种状态
1883年雷诺实验 结论：当流速不同时，流体质点的运动可能有两种完全不同的形式。 层流：规则的层状流动，流体层与层之间互不相混，质点轨迹为平 滑的随时间变化较慢的曲线。 湍流：无规则的运动方式，质点轨迹杂乱无章而且迅速变化，流体 微团在向流向运动的同时，还作横向、垂向及局部逆向运动，与周 围流体混掺，随机、非定常、三维有旋流。
gz

1

p
z
1 r r
r
vz r


2vz z 2

边值条件：
v z r
r 0
0,vz
r R
0
vr r
r 0
0,vr
r R
0
⑵问题简化：设L为足够长→无限长，流动达到稳态后速度分
布与z无关
vz 0 z
2v z z 2

2v x y 2

Y方向：vx
v y x
vy
v y y
g

1

p y



2v y x 2

2v y y 2

vx y0 0,
边值条件：
vx yh
v0,
⑵定解问题简化
vy y0 0 vy yh 0
平板无限大，不同x处任意截面上速度分 布相同
⑴定解问题：
圆管中心对称 二维问题
连续方程：1
r r
rvr


vz z
0
动量方程：
X方向：
vr
vr r
vz
vr z


1

p r



r
1 r
r
rvr

2vr z 2

Y方向：
vr
vz r
vz
vz z
v x x

2v x x 2
0
vx dvx y dy
据连续性方程：vy 0
y
设：vy f x 代入边值：vy y0 f x y0 vy yh 0
∴ vy 0
变动量方程为：
X方向：0


1

p x

2vx y 2
Y方向：g 1 p y
0
vr 0
r方向：
1 p 0
r
z方向：
gz

1

p z

1 r
r
r
vz r


0
1

dp dz
gz

1 r
r
r
vz r

dp dz

gz


1 r
r
r
vz r

v


2.5 ln y
5.5
y 11.63
y 11.63 层流 y 11.63 湍流
4.6 可压缩流体流动
流动过程密度变化对运动的影响不可忽略。本节内容主要讲述气 体一维稳态等熵（可逆绝热过程）流动。 用途：喷枪，喷嘴设计
1．一维等熵流动的运动方程
对于不可压缩流体：N—S方程（以X方向为例）取时均：

v x t

v x

v x x
vy
v x y
vz
v x z


p x



2v x x 2

2v x y 2

2v x z 2




v
'2 x

v
y' v
' x

v
两无限大平板，其一静止，其二以 v 0 速度匀速运动，流体为等温、
不可压层流流动( =常数)求稳定后的速度场分布。
⑴定解问题：实际流体 两平面无限大→稳定态
连续性方程
：v x
x
+
vy y
=0
运动方程
X方向：vx
vx x
vy
vx y
1

p x


2v x x 2
dx
v0
y h
，速度分布为一直线
②
dP dx

0
，压力梯度使流体加速，1
y h


0
第二项为正， vx 增大，向前突出