线性代数测试题（第三章）一、填空题（请将正确答案直接填在横线上，每小题3分，共15分）： 1. 向量()()12243221αβ==-，，则 2α－3β =__________。

2. 一个含有零向量的向量组必线性 。

3. 设A 是一个n 阶方阵，则A 非奇异的充分必要条件是R （A ）=__________。

4. 设12303206A t ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，当t = 时，R (A ) = 2。

5. 已知A 是m × n 矩阵，齐次线性方程组AX = 0的基础解系为12,,,s ηηηL 。

如R （A ）= k ，则s =__________；当k =__________时方程只有零解。

二、单项选择题 ( 每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内，每小题3分，共15分）:1. 设有4维向量组 α1 , …, α6，则（ ）。

A R (α1 , …, α6) = 4B R (α1 , …, α6) = 2C α1 , α2 , α3 , α4必然线性无关D α1 , …, α6中至少有2个向量能由其余向量线性表示2. 已知⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------=4322351521215133A 则R （A ）为 A 1 B 2 C 3 D 43. 设s ααα,,,21Λ为n 维向量组, 且秩12(,,,),s R r ααα=L 则( )。

A 该向量组中任意r 个向量线性无关B 该向量组中任意 1+r 个向量线性相关C 该向量组存在唯一极大无关组D 该向量组有若干个极大无关组4. 若1234,,,X X X X 是方程组AX O =的基础解系，则1234X X X X +++ 是AX O =的（ ）。

A 解向量B 基础解系C 通解D A 的行向量5. 线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+414343232121a x x a x x a x x a x x 有解的充分必要条件是（） A 04321=+++a a a a B 04321=---a a a a C 03214=-+-a a a a D 04321=--+a a a a 三、计算题（每小题8分，共64分）：1. 求向量组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113420112404321αααα，，，的极大线性无关组和秩，并将其余向量表示成极大线性无关组的线性组合。

2. 设，，，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=c 32213321321ααα试问当c 为何值时，向量组线性相关？c 为何值时向量组线性无关？3．设向量组1231111,,1,1.111λααλαβλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦问λ取何值时，（1）β可由123,,ααα线性表示，且表达式唯一？ （2）β可由123,,ααα线性表示，但表达式不唯一？ （3）β不能由123,,ααα线性表示？4. 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=+-+=+++0752033202432143214321x x x x x x x x x x x x5. 求非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-=++-=++-53323221242143143214321x x x x x x x x x x x x x x 的通解，并表示出向量形式。

6. 设线性方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=+--=+++=+++243214312143214321121053153363132k x x x x x x k x x x x x x x x x x 问1k 与2k 各取何值时，方程组无解，有唯一解，有无穷多解；有无穷多解时，求其一般解。

7. 已知三阶矩阵B ≠ 0且B 的每一个列向量都是方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+0302022321321321x x x x x x x x x λ的解。

①求λ的值；②证明0B =。

四、证明题（每小题6分）：1. 证明下列n 个n 维列向量必线性无关：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10001000121M ΛΛM M n e e e ，，2. 设向量组321a a a ，，线性无关，证明：向量组133221a a a a a a +++，，线性无关。

线性代数阶段测试题（三）参考答案一、填空题:1、()72105--2、相关3、n4、- 45、s n k =- ，k = n 二、单项选择题:1、D2、D3、B4、A5、C 三、计算题:1、 解：通过初等变换()123401212031414141412031012131102031203122012101210121012100000000αααα--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→--→-→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭所以这个向量组的极大线性无关组为1α，2α3α=231α—22α，4α=211α—2α2、解：122132132132,,213010717(5)32076005c c c c ααα==-=-=-----－－7所以当122,,ααα=0即c = 5时，向量组线性相关，当122,,0ααα≠即c ≠5时，向量组线性无关。

3、解：因为21111111111(1)11(1)010(1)(1)1111001λλλλλλλλλλλ=+=+-=+-- 所以（1）当λ≠ -1且λ≠ 1 时，β可由123,,ααα线性表示，且表达式唯一；（2）当λ= 1 时，123123(,,)(,,,)13R R ααααααβ==<，β可由123,,ααα线性表示，但表达式不唯一；（3）当λ= -1或λ= 1 时，β不能由123,,ααα线性表示。

4、解：经初等变换得1112111210432313011013125710330000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭-3--9所以()2R A =, 方程组有解。

而⎩⎨⎧+432431334x x x x x x ＝－＝－ ，分别取3410,01x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得基础解系为1η＝4310⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭－，2η＝3101⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭－. 故方程组的通解为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01341－k ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10132－k ，其中1k ，2k 为任意常数。

5．解：经初等变换得11211112112112301301()= 101120101310350602A B -⎛⎫⎛⎫⎪⎪-⎪ ⎪→⎪ ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭M M M M M M M M ----3-2 11211101120130101301000000000000000000⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭M M M M M M MM -－－00 所以()()2R A R A B ==, 方程组有解。

而134233x x x x x =-⎧⎨=⎩，分别取3410,01x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得基础解系为 1η＝1310⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭，2η＝1001-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 而方程组13423 21x x x x x -+=⎧⎨-=⎩的一个特解为1212U ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,所以方程组通解为 r k k +211ηη＋=11310k ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ +⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10012－k +⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2121 其中1k ，2k 为任意常数。

6. 解：将方程组的增广矩阵做初等变换得112211231112311361302422()3115304660151012061291A B k k k k ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪----- ⎪⎪-----⎝⎭⎝⎭112211231112310121101211046600022406129100035k k k k ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭---------+所以，当⎩⎨⎧≠650221＋＝－k k 即⎩⎨⎧≠1221k k ＝ 时，方程组无解； 当021≠k － 即21≠k 时，方程组有唯一解； 当⎩⎨⎧650221＝＋＝－k k 即⎩⎨⎧1221＝＝k k 时，方程组有无穷解。

此时112311123111205012110121101203()000240001200012000360000000000A B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭---100080120300012000⎛⎫⎪⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭- 所以()()3R A R A B ==, 方程组有解。

而齐次方程组123342,1x x x x x ⎧⎪-=⎨⎪⎩=0=取= 0，得基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0120－＝η非齐次方程组⎪⎩⎪⎨⎧23284321＝＝＋＝－x x x x 的一个特解为 8112U⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭－ 所以，方程组的通解为a k ＋η1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛211801201－＋－k 其中1k 为任意常数。

7.解： ① 经初等变换化为12212221054311055λλ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭--， 因为B 的列向量是方程组的解，所以0550450221=-+-λ－，154=∴=+∴λλ 秩R =2② 因为R =2，所以方程组的基础解系只有2个向量，3个解必线性相关，而B 的列向量都是方程组的解。

所以B 的列向量线性相关。

所以｜B ｜= 0。

四、证明题： 1、 证明：利用反证法假设1e ，2e ，…..，n e 线性相关，则存在1k ，2k ，…，n k 不全为零，使得： 1k 1e +2k 2e +…+n k n e =0即1k ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0..01+2k ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0..10+…….+ nk ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1..00=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n k k k ..21=0故1k =2k =……=n k =0，这与假设矛盾，所以原命题成立， 1e ，2e ，…..，n e 线性无关。

2、证明：112223331131122233123131223123122331()()()0()()()0 0 01011100011 .k k k k k k k k k k k k k k k k k k αααααααααααααααααα+++++=+++++=+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩≠+++设，即因为，，线性无关，则所以＝2，即，，有唯一零解故，，线性无关。