则n 当 N时 ,
有qn 0 , lim qn0. n
17
数列的极限
四、收敛数列的性质
1. 有界性
定义 对数列xn,若存在正数M, 使得一切自然
数n,恒有 | xn|M成立 ,则称数列 x n 有界; 否则,
称为无界.
如,
数
列xn
n n1

有界; 数列 xn2n 无界.
数轴上对应于有界数列的点 x n 都落在
0,要 xn1,
只要1 n
,
或
n
1
所以, 取N
1,
则当 nN时,
有n(1)n1 1 即lim n(1)n11.
n
n
n
14
数列的极限
例 证 极用 定明 限定数.义0列证,寻x 数找n列 N,n 极1但c限不o存n 必2s在要(时求n ,最关1、 小键2、 的是3 N任） .意以给0为
证
0,要使
证 任给 0,对于一切自然数n,
xn C CC 0成立, 所以, ln im xnC.
说明 常数列的极限等于同一常数.
16
数列的极限
例 证li明 q m n0 ,其0 中 q1 . n
证 0(不妨 0设 1),
为了使 xn0qn,只需使 nlnqln,
n ln , ln q
取N
[ ln ], lnq
N定义 0, N0,当nN时,
有xna.
12
数列的极限
数列极限的几何意义 a 2
xna
a x n a
(nN)
即 xn U (a,)
a
(nN)
x 2 x 1 xN1 a xN2 x 3 x
当 nN时, 所有的点xn 都落在(a , a )内,
只 有 有 (至限 多个 N 只 个 )落 有在.其 外
第二节 数列的极限
概念的引入 数列的概念 数列极限的概念 收敛数列的性质 小结 思考题 作业
第一章 函数与极限
1
数列的极限
一、概念的引入
极限概念是从常量到变量, 从有限到无限, 即从初等数学过渡到高等数学的关键.
极限的思想源远流长. 庄子(约公元前355~275年)在《天下篇》 中写道: “一尺之棰,日取其半,万世不竭
总存在正整数N,使得对于nN时的一切 x n ,
不等式
xn a
成立. 那末就称常数a是数列 x n 的极限(limit), 或称数列 x n 收敛于a (converge to a) .
记为 或
ln i mxn a,
xn a(n ).
如果数列没有极限, 就说数列发散(diverge).
11
数列的极限
注
(1) 不等式 xn a 刻划了xn 与a的无限接近;
(2) 正数是任意给定, 但的是一旦给出之后,
它就是确定了;
(3) N与给定 有的 关 ,一般地说, 越小, N将越大;
(4) {xn}有没有极限, “前面” 的有限项不起作用, 主要看“后面”的无穷多项.
采用逻辑符号将 lnim xn a的定义可缩写为:
注 数列极限的定义通常是用来进行推理
和证明极限,而不是用来求极限, 因为这里
需要预先知道极限值是多少.
13
数列的极限
例 证l明 im n(1)n11. n n
证时个,对找虽于x出n然给使是定1不可的等n以式,任总成(n意暂立1小时)n的的认1N正为. 1解数它不,是但n1等固使式定用的定,义按证照题这
8
数列的极限
研究{数 1( 列 1)n1}当n时的变.化 n
当n无限增大时, x n无限接近于1.
“无限接近”意味着什么?
如何用数学语言刻划它.
| xn1|
(1(1)n1
1)1 n
1 n
xn1可以要多么小就多么小,只要n充分大, 则要看 xn1小到什么要求.
9
数列的极限
|
xn
1 |
1 n
给定
1, 100
xn
0
1cons0 n2
.
由于
1 cos n 0 1 cos n
n2
n2
1 n
只为要了n1简化,或解不n 等1式, 的取运N 算 [,常1 ], 则当 nN时,
常把 有
x1n coasn作适0当地放. 大即 . lim1cons 0
n2
nn 2
15
数列的极限
例 设 x n C ( C 为 )证 常 , l n ix n 明 m 数 C .
由
1 n
1, 100
只n 要 10 时 ,0有xn
1 1 , 100
给定 1 , 1000
只n 要 10时 0,有 0 xn
1 1 , 1000
给定101000, 只要 n100时 0,有 0xn
1 1 , 10000
给定 0,只要 nN([1]时 ) ,有xn1成.立
10
数列的极限
定义 如果对于任意给定的正数(不论它多么小),
闭区间[M,M]上.
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数列的极限
定理1 收敛的数列必定有界. 证 设 ln i m xna, 由定义, 取1,
意思是:一”尺. 长的棍子, 第一天取其一半, 第二
天取其剩下的一半, 以后每天都取其剩下的一 半, 这样永远也取不完.
2
数列的极限
刘徽(三世纪)的“割圆术”中说: “割之弥细,所失弥少.割之又割,以至不可
割,则与圆周合体,而无所失矣.”
意思是: 设给定半径为1尺的圆, 从圆内接正6边
形开始,每次把边数加倍,屡次用勾股定理.求出 正12边形、正24边形. ……等等正多边形的边长, 边数越多, 圆内接正多边形越与圆接近, 最后与 圆周重合, 则正多边形周长与圆周长就没有误 差了.
(1)数列对应着数轴上一个点列.
可看作一动点在数轴上依次取 x 1 ,x 2 , ,x n , .
x1
x3 x2 x4 xn
数列可看作自变量为正整数 n的函数:
xn f(n) 整标函数或下标函数
6
数列的极限
(2) 在平面上画出自变量坐标轴和因变量坐标轴, 则数列的几何意义是平面上一串分离的点. xn
o ·1 2·3·4
n
注 不可将这串点·连成曲线.
7
数列的极限
三、数列极限的概念
问题 当 n无限增大时, x n是否无限接近于某一
确定的数值? 如果是, 如何确定?
研究{数 1( 列 1)n1}当n时的变.化趋 n
11,11,11,11,11, 2345
即 2, 1 , 4, 3, 6
2 345
当n无限增大时, x n 无限接近于1.
3
数列的极限
正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A 2
正62n1形的面积 A n A 1 ,A 2 ,A 3 , ,A n , S
R
4
数列的极限
1 , 1 ,1 , ,( 1 )n 1 , ; {(1)n1}
2,1,4, ,n(1)n1, ; {n(1)n1}
23
n
n
数列的(两种)几何表示法: