第一章 绪论§1、1 微分方程:某些物理过程的数学模型§1、2 基本概念习题1、21.指出下面微分方程的阶数,并回答方程就是否线性的:(1)y x dxdy-=24; (2)012222=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-xy dx dy dx y d ; (3)0322=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛y dx dy x dx dy ;(4)x xy dx dy dxy d x sin 3522=+-; (5)02cos =++x y dxdy; (6)x e dx y d y=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22sin .解 (1)一阶线性微分方程; (2)二阶非线性微分方程; (3)一阶非线性微分方程; (4)二阶线性微分方程; (5)一阶非线性微分方程; (6)二阶非线性微分方程.2.试验证下面函数均为方程0222=+y dxyd ω的解,这里0>ω就是常数. (1)x y ωcos =;(2)11(cos C x C y ω=就是任意常数); (3)x y ωsin =;(4)22(sin C x C y ω=就是任意常数);(5)2121,(sin cos C C x C x C y ωω+=就是任意常数); (6)B A B x A y ,()sin(+=ω就是任意常数).解 (1)y x dx y d x dxdy2222cos ,sin ωωωωω-=-=-=,所以0222=+y dxy d ω,故x y ωcos =为方程的解.(2)y x C y x C y 2211cos ,sin ωωωωω-=-=''-=',所以0222=+y dxyd ω,故x C y ωcos 1=为方程的解.(3)y x dx y d x dxdy2222sin ,cos ωωωωω-=-==,所以0222=+y dxy d ω,故x y ωsin =为方程的解.(4)y x C y x C y 2222sin ,cos ωωωωω-=-=''=',所以0222=+y dxy d ω,故x C y ωsin 2=为方程的解.(5)y x C x C y x C x C y 2222121sin cos ,cos sin ωωωωωωωωω-=--=''+-=',所以0222=+y dxy d ω,故x C x C y ωωsin cos 21+=为方程的解. (6)y B x A y B x A y 22)sin(,)cos(ωωωωω-=+-=''+=',故0222=+y dxyd ω,因此)sin(B x A y +=ω为方程的解.3.验证下列各函数就是相应微分方程的解: (1)xxy sin =,x y y x cos =+'; (2)212x C y -+=,x xy y x 2)1(2=+'-(C 就是任意常数); (3)xCe y =,02=+'-''y y y (C 就是任意常数); (4)xe y =,x x x e ye y ey 2212-=-+'-;(5)x y sin =,0cos sin sin 222=-+-+'x x x y y y ; (6)xy 1-=,1222++='xy y x y x ; (7)12+=x y ,x y x y y 2)1(22++-='; (8))()(x f x g y =,)()()()(2x f x g y x g x f y '-'='.证明 (1)因为2sin cos x x x x y -=',所以x x xx x x x y y x cos sin sin cos =+-=+'.(2)由于21xCx y --=',故x x C x x Cx x xy y x 2)12(1)1()1(2222=-++--⋅-=+'-.(3)由于xCe y =',xCe y ='',于就是022=+-=+'-''xxxCe Ce Ce y y y . (4)由xe y =',因此x x x x x x x xe e e e e e ye y ey 22212)(2-=⋅-+⋅=-+'--.(5)因为x y cos =',所以0cos sin sin sin 2sin cos cos sin sin 22222=-+⋅-+=-+-+'x x x x x x x x x y y y .(6)从21x y =',得1111122222++=+⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=='xy y x x x x x y x .(7)由x y 2=',得到x y x y x x x x x y 2)1(2)1)(1()1(2222222++-=+++-+=='.(8))()()()()()()()()()()()()()()(222x f x g y x g x f x f x g x f x g x g x f x f x g x f x g x f y '-'='-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅'='-'='. 4.给定一阶微分方程x dxdy2=, (1)求出它的通解; (2)求通过点)4,1(的特解;(3)求出与直线32+=x y 相切的解; (4)求出满足条件21=⎰ydx 的解;(5)绘出(2),(3),(4)中的解的图形. 解 (1)通解 C x xdx y +==⎰22.(2)由41==x y ,得到3=C ,所以过点)4,1(的特解为32+=x y .(3)这时122=⇒=x x ,切点坐标为)5,1(,由51==x y ,得到4=C ,所以与直线32+=x y 相切的解为42+=x y .(4)由231)31()(1310210=+=+=+=⎰⎰C Cx x dx C x ydx ,得到35=C ,故满足条件21=⎰ydx 的解为352+=x y . (5)如图1-1所示.图1-15.求下列两个微分方程的公共解: (1)422x x y y -+='; (2)2422y y x x x y --++='.解 公共解必须满足2424222y y x x x x x y --++=-+,即022242=-+-x y x y ,得到2x y =或212--=x y 就是微分方程422x x y y -+='与2422y y x x x y --++='的公共解.6.求微分方程02=-'+'y y x y 的直线积分曲线.解 设直线积分曲线为0=++C By Ax ,两边对x 求导得,0='+y B A ,若0=B ,则0=A ,得到0=C ,不可能.故必有0≠B ,则BAy -=',代入原方程有 02=++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-B Cx B A B A x B A ,或0)(22=-++B A B C x B A B A ,所以, ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+0,022BA B C BAB A ,得到 ⎩⎨⎧==0,0C A 或B C A -==.所求直线积分曲线为0=y 与1+=x y .7.微分方程32224xy y y x =-',证明其积分曲线关于坐标原点)0,0(成中心对称的曲线,也就是此微分方程的积分曲线.证明 设0),(=y x F 就是微分方程32224xy y y x =-'的积分曲线,则与其关于坐标原点)0,0(成中心对称的曲线就是0),(=--y x F .由于0),(=y x F 适合微分方程32224xy y y x =-',故3222),(),(4xy y y x F y x F x y x =-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⋅,分别以y x --,代y x ,,亦有3222))(()(),(),()(4y x y y x F y x F x y x --=--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----⋅-,而由0),(=--y x F ,得到),(),(y x F y x F y y x -----=',从而0),(=--y x F 也就是此微分方程的积分曲线.8.物体在空气中的冷却速度与物体与空气的温差成比例,如果物体在20分钟内由ο100C 冷至ο60C,那么,在多久的时间内,这个物体的温度达到ο30C ？假设空气的温度为ο20C.解 设物体在时刻t 的温度为)(t u u =,20=a u ,微分方程为)(a u u k dtdu--=,解得kt a Ce u u -+= ,根据初始条件10000===u u t ,得800=-=a u u C ,因此kt a a e u u u u --+=)(0,根据60,201===u u t ,得到ka a e u u u u 2001)(--+=,由此202ln ln 20110=--=a a u u u u k ,所以得到t eu 202ln 8020-+=,当30=u 时,解出60=t (分钟)1=(小时).在1小时的时间内,这个物体的温度达到ο30C. 9.试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程: (1)曲线上任一点的切线与该点的向径夹角为α;(2)曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分等于定长l ;(3)曲线上任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积都等于常数2a ; (4)曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分被切点等分; (5)曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方;(6)曲线上任一点的切线的纵截距就是切点的横坐标与纵坐标的等差中项; (7)曲线上任一点的切线的斜率与切点的横坐标成正比.(提示:过点),(y x d 的横截距与纵截距分别为'-y y x 与y x y '-).解 (1)曲线上任一点为),(y x ,则xy y x yy '+-'=1tan α,即ααtan tan y x x y y -+='. (2)曲线上任一点),(y x 处的切线方程为y y x Y X y -'=-',与两坐标轴交点为),0(y x y '-与)0,(y yy x '-',两点间距离为l y x y y y y x ='-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-'22)(,即 222)()(l y x y y y x ='-+'-. (3)由(2),有221a y x y y yy x ='-'-',或y a y y x '=-'222)(.(4)由(2),有 2y x y y '-=,或0=+'y y x . (5)由(2),2x y x y ='-. (6)同样由(2),2yx y x y +='-,或x y x y ='-2. (7)易得kx y =' (k 为常数且0>k ).。