求变力做功的六种方法都匀市民族中学：王方喜在高中阶段求变力做功问题，既是学生学习和掌握的难点，也是教师教学的难点。

本文举例说明了在高中阶段求变力做功的常用方法，比如微元累积（求和）法、平均力等效法、功率的表达式PtW=、F-x图像、用动能定理、等效代换法等来求变力做功。

一、运用微元积累(求和)法求变力做功求変力做功还可以用微元累积法，把整个过程分成极短的很多段，在极短的每一段里，力可以看成是恒力，则可用功的公式求每一段元功，再求每一小段上做的元功的代数和。

由此可知，求摩擦力和阻力做功，我们可以用力乘以路程来计算。

用微元累积法的关键是如何选择恰当的微元，如何对微元作恰当的物理和数学处理，微元累积法对数学知识的要求比较高。

例1如图1-1所示，某人用力Ｆ转动半径为Ｒ的转盘，力Ｆ的大小不变，但方向始终与过力的作用点的转盘的切线一致，则转动转盘一周该力做多少功．图1-1【分析与解答】在转动转盘一周过程中，力Ｆ的方向时刻变化，但每一瞬时力Ｆ总是与该瞬时的速度同向（切线方向），即Ｆ在每瞬时与转盘转过的极小位移Δｓ同向．这样，无数瞬时的极小位移Δｓ１，Δｓ２，Δｓ３…Δｓｎ都与当时的Ｆ方向同向．因而在转动一周过程中，力Ｆ做的功应等于在各极小位移段所做功的代数和．即Ｗ＝ＦΔｓ１＋ＦΔｓ２＋…ＦΔｓｎ＝Ｆ（Δｓ１＋Δｓ２＋Δｓ３＋…Δｓｎ）＝Ｆ2πＲ【总结】变力始终与速度在同一直线上或成某一固定角度时，可把曲线运动或往复运动的路线拉直考虑，在各小段位移上将变力转化为恒力用Ｗ＝ＦLcosθ计算功，而且变力所做功应等于变力在各小段所做功之和。

【检测题1-1】如图1-2所示，有一台小型石磨，某人用大小恒为F、方向始终与磨杆垂直的力推磨，设施力点到固定转轴的距离为L，在使磨转动一周的过程中，推力做了多少功？图1-2【检测题1-2】小明将篮球以10 m/s的初速度，与水平方向成30°角斜向上抛出，被篮球场内对面的小虎接到，小明的抛球点和小虎的接球点离地面的高度都为1.8 m．由于空气阻力的存在，篮球被小虎接到时的速度是6 m/s.已知篮球的质量m＝0.6 kg，g取10 m/s2.求：(1)全过程中篮球克服空气阻力做的功；(2)如果空气阻力恒为5 N，篮球在空中飞行的路程．二、运用平均力等效法求变力做功当力的方向不变，而大小随位移线性．．变化时(即Ｆ＝ｋx＋ｂ)，可先求出力的算术平均值221FFF+=，再把平均值当成恒力，用功的计算式求解。

用平均值求变力做功的关键是先判断変力F 与位移x是否成线性关系。

例2.要把长为l的铁钉钉入木板中，每打击一次给予的能量为E0，已知钉子在木板中遇到的阻力与钉子进入木板的深度成正比，比例系数为k。

问此钉子全部进入木板需要打击几次？【分析和解答】在把钉子打入木板的过程中，钉子把得到的能量用来克服阻力做功，而阻力与钉子进入木板的深度成正比，先求出阻力的平均值，便可求得阻力做的功。

钉子在整个过程中受到的平均阻力为：F kl kl=+=022钉子克服阻力做的功为：W Fl kl F ==122 设全过程共打击n 次，则给予钉子的总能量：E nE kl 总==0212所以n kl E =22【检测题2】某人用竖直向上的力匀速提起长为Ｌ、质量为ｍ的置于地面上的铁链，求将铁链从提起到刚提离地面时，提力所做的功．如图2所示．图2【分析与解答】铁链被提升过程中所需提力方向不变，大小随离地高度均匀地从0增大到ｍｇ．平均提力＝0＋ｍｇ／2＝（1／2）ｍｇ，提力通过的位移为Ｌ，因此，提力所做的功为Ｗ＝·L ＝mgL/2． 【说明】此题也可将铁链质量集中于其重心，从提起到刚离开地面，铁链重心上升L/2，运用功能原理求解． 特点：变力与位移成线性关系时，才可用平均力等效变力用公式Ｗ＝ＦLcos θ计算功．三、运用Pt W =求变力做功涉及到机车的启动、吊车吊物体等问题，如果在某个过程中保持功率P 恒定，随着机车或物体速度的改变，牵引力也改变，要求该过程中牵引力的功，可以通过Pt W =求変力做功。

例3质量为5000kg 的汽车，在平直公路上以60kW 的恒定功率从静止开始启动，速度达到24m/s 的最大速度后，立即关闭发动机，汽车从启动到最后停下通过的总位移为1200m.运动过程中汽车所受的阻力不变.求汽车加速运动的时间.【分析和解答】牵引力是変力，该过程中保持功率P 恒定，牵引力的功可以通过Pt W =来求。

汽车加速运动的时间为t ，由动能定理得： P t +(– F f · s ) = 0 汽车达到最大速度时，牵引力和阻力大小相等，则m f m v F Fv P ⋅== 即mf v P F =可求得汽车加速运动的时间为s s v s Ps F t m f 502412001===⋅=【检测题3】【题目】质量为4000kg 的汽车，由静止开始以恒定的功率前进，它经100/3 s 的时间前进425m ，这时候它达到最大速度15m/s 。

假设汽车在前进中所受阻力不变，求阻力为多大。

【分析和解答】汽车在运动过程中功率恒定，速度增加，所以牵引力不断减小，当减小到与阻力相等时速度达到最大值。

汽车所受的阻力不变，牵引力是变力，牵引力所做的功不能用功的公式直接计算。

由于汽车的功率恒定，汽车功率可用P=F v 求，速度最大时牵引力和阻力相等，故P=F v m =f v m ，所以汽车的牵引力做的功为W 汽车=Pt=f v m t 根据动能定理有：W 汽车 + (-fs) = m v m 2/2，即fv m t － fs = m v m 2/2 代入数值解得： f=6000N 。

【总结】变力做功的问题是一教学难点，在上述实例中，从不同的角度、用不同的方法阐述了求解变力做功的问题．在教学中，通过对变力做功问题的归类讨论，有利于提高学生灵活运用所学知识解决实际问题的能力，有利于培养学生的创造性思维，开阔学生解题的思路．四、运用F -x 图像中的面积求变力做功某些求変力做功的问题，如果能够画出変力F 与位移x 的图像，则F-x 图像中与x 轴所围的面积表示该过程中変力F 做的功。

运用F-x 图像中的面积求变力做功的关键是先表示出変力F 与位移x 的函数关系，再在画出F-x 图像。

例4：用铁锤将一铁钉击入木块，设阻力与钉子进入木板的深度成正比， 每次击钉时锤子对钉子做的功相同，已知第一次击后钉子进入木板1cm ，则第二次击钉子进入木板的深度为多少？【分析和解答】铁锤每次做功都是用来克服铁钉阻力做的功，但摩擦阻力不是恒力，其大小与深度成正比，F=kx ，以F 为纵坐标，F 方向上的位移x 为横坐标，作出F －x 图象，如图4-1，函数线与x 轴所夹阴影部分面积的值等于F 对铁钉做的功.由于两次做功相等，故有：S 1=S 2(面积) 即：21kx 12=21k(x 2+x 1)(x 2－x 1) 得 cm x 22=所以第二次击钉子进入木板的深度为：cm x x x )12(12-=-=∆【检测题4】 放在地面上的木块与一劲度系数k N m =200/的轻弹簧相连。

现用手水平拉弹簧，拉力的作用点移动x m 102=.时，木块开始运动，继续拉弹簧，木块缓慢移动了x m 204=.的位移，求上述过程中拉力所做的功。

【分析和解答】由题意作出F x -图象如图4-2所示，在木块运动之前，弹簧弹力随弹簧伸长量的变化是线性关系，木块缓慢移动时弹簧弹力不变，图线与横轴所围梯形面积即为拉力所做的功。

即J J W 2040)4.06.0(21=⨯+⨯=图4-2五、运用动能定理求变力做功动能定理的表述：合外力对物体做功等于物体的动能的改变，或外力对物体做功的代数和等于物体动能的改变。

对于一个物体在某个过程中的初动能和末动能可求，该过程其它力做功可求，那么该过程中変力做功可求。

运用动能定理求变力做功关键是了解哪些外力做功以及确定物体运动的初动能和末动能。

例5如图5-1所示，原来质量为m 的小球用长L 的细线悬挂而静止在竖直位置.用水平拉力F 将小球缓慢地拉到细线与竖直方向成θ角的位置的过程中，拉力F 做功为（ ）A. θcos FLB. θsin FLC. ()θcos 1-FLD. ()θcos 1-mgL【解析】很多同学会错选B ，原因是没有分析运动过程，对Ｗ＝FLcosθ来求功的适用范围搞错，恒力做功可以直接用这种方法求，但变力做功不能直接用此法正确的分析，小球的运动过程是缓慢的，因而任一时刻都可看作是平衡状态，因此F 的大小不断变大，F 做的功是变力功，小球上升过程中只有重力和拉力做功，而整个过程的动能改变为零，可用动能定理求解：0=-'=+K KG F E E W W 所以 ()θcos 1-=-=mgL W W G F ，故D 正确。

【检测题5】如图5-2所示，质量m kg =1的物体从轨道上的A 点由静止下滑，轨道AB 是弯曲的，且A 点高出B 点h =0.8m 。

物体到达B 点时的速度为2m /s ，求物体在该过程中克服摩擦力所做的功。

图5-2 【分析和解答】物体由A 运动到B 的过程中共受到三个力作用：重力G 、支持力F N 和摩擦力F f 。

由于轨道是弯曲的，支持力和摩擦力均为变力。

但支持力时刻垂直于速度方向，故支持力不做功，因而该过程中只有重力和摩擦力做功。

由动能定理W E k 外=∆，其中图4-1Fx1x 2x 2kx 1kx O1S 2S 图5-1W W W E mv mv G fk B A外=+=-∆121222所以mgh W mv f B +=122代入数据解得W J f =-584. 所以，物体在该过程中克服摩擦力所做的功为5.84J 。

六、用等效代换法求变力做功求某个过程中的変力做功，可以通过等效法把求该変力做功，转换成求与该変力做功相同的恒力的功，此时可用功定义式W ＝FLcosа求恒力的功，从而可知该変力的功。

等效转换的关键是分析清楚该変力做功到底与哪个恒力的功是相同的。

例6如图6-1所示，一个可以看做质点的物体静止于水平地面上的Ａ点，用质量不计的细绳系住物体，绳子的另一端通过距地面高为ｈ=3m 的无摩擦定滑轮，用Ｆ=4N 的恒定拉力拉绳子，使物体向右运动。

已知β=370，γ=530，求物体从Ａ点运动到Ｂ点过程中，绳子的拉力对物体所做的功。

(sin 370=0.6，sin 530=0.8)图6-1【分析与解答】如图6-2，物体从Ａ运动到Ｂ的过程中，绳上拉力的方向时刻变化，因而在物体位移方向上的分力大小是变化的．从图1可以看出，此变力使物体在水平方向上移动时所做的Ｗ，等效于恒力Ｆ对绳做功．力Ｆ的作用点由a 移动到ｂ时，设力Ｆ对绳所做的功为ＷＦ．即图6-2绳的拉力对物体所做的功Ｗ＝ＷＦ＝FL ab ＝FL Ac ＝Fh ［（1/sinβ）－（1/sinγ）］ 把数据带入，解出W=5J【总结】变力对物体做功，若通过关联点（作用点）等效于某一恒力做功时，可用公式W ＝FLcos а直接求解．【检测题6】如图6-3所示，人在A 点拉着绳通过一定滑轮吊起质量m=50Kg 的物体，开始绳与水平方向夹角为ο60，当人匀速提起重物由A 点沿水平方向运动m s2=而到达B 点，此时绳与水平方向成ο30角，绳子的质量不计，绳子与滑轮的摩擦不计，求人对绳的拉力做了多少功？(g =10m/s 2) Gο60ο30图6-3。