能唯一确定这一状态吗？
解：能。因为三个力学量对易，
n3,l1,m1
故共同本征态为
3( 1 r ,1 ,) R 3( r 1 ) Y 1(1 ,)
• 例题三 求粒子处于Ylm 时角动量x分量和 y分量的平均
值 Lx , Ly , L2x 。
解：首先应注意，Y lm
是
L2
,
Lz
的共同本征函数，而 Lx , Ly , Lz
Fn nn
（25）
F (Gn)G (Fn)n(Gn)
（26）
可见G
n
也是算符
F
的属于本征值
n
的本征函数。已经
假定 n 非简并，所以对应 n 的两个本征函数 n 和 G n 最多
只能相差一个常数，所以
Gn nn
（27）
•
可见， n
同时也是G
的属于本征值
n 的本征函数。同
理，对 F 的其它本征函数也有此结论。所以，F 和G 有组
xpxpxxi
x,
px
i
（14a）
但是
x,py0 x,pz0
（14b）
同理可得坐标算符与动量算符的其它对易关系式
可概括为
xi
,
pj
ii
j
(14c)
其中 xi (i 1 ,2 ,3 ) (x ,y,z) pj(j1,2,3)(px,py,pz)
※坐标算符与动量算符的对易关系是最基本的对易关系，其
不对易，故Y lm 不是 L x , L y 的本征函数。
利用对易关系
[Ly,Lz]iLx
，则
Lx Yl*mLxYlmd
i1 Yl*mL yL zYlmd
Yl*mLz
L yYlm d
i1 Yl*mL y(L zYlm)d (L zYlm)*L yYlm d i1mYl*mL yYlm dmYl*mL yYlm d0
pz]ipx
[Lz,px]ipy,[Lz,py]ipx,[Lz, pz]0
（16）
另外有
[ L x ,L y ] i L z [ L y ,L z ] i L x [ L z ,L x ] i L y（17）
LLiL
（18）
• 1.4 几个重要的推论
•
(1)
[L 2 ,L z] [L 2 x ,L z] [L 2 y ,L z] [L 2 z,L z] 0
2 A 20 ( 2 x 2 x 2 ) e 2 x d x 2 A 2 2( 2 1 ) 2 2 ( 2 2 ) 3 2 2
• 所以
( p )2p2p22 2
( x )2( p x)2 4 3 2
2 2 3 2 1 2 44
满足不确定关系
作业:3.11、13
n
），如果F 和G
有
一组完备的共同本征函数，对于任意态函数
cnn
n
（23）
• 有 (FG G F ) cn(FG G F )n0则
n
FG G F0或[F,G ]0
（24）
这时才说
F
和
G
是对易的。这个结论可以推广到多个算
符，即
如果一组算符有共同的本征函数完备系
n
，则这组算符对易
例如 L 2Y m (, )l(l 1 ) 2 Y lm (, ) LzYm(,)m Ylm (,)
[L 2,L j]0, j(1 ,2 ,3 )(x,y,z)
（19）
(2) [L j,p 2 ] 0 , [L ,p 2 ] 0 , [L 2 ,p 2 ] 0 （20）
• （3）球坐标下L 是 , 的函数，若有径向函数算符U (r)
则
[L,U (r) ]0, [L 2,U (r) ]0
（21）
(4) [L i,r2]0, [L ,r2]0
• 同理
Ly 0
• 由于坐标 x与 y的对称性，可得 L2x L2y ，故
L 2 x 1 2 ( L 2 L 2 z ) 1 2 [ l( l 1 ) 2 m 2 2 ] 2 2 ( l2 l m 2 )
• 3 不确定关系
若算符 F 和G 不对易时，常记为
FGGF[F,G]iK
0
84 2
x2 *x2dxA 2 x4e2xd x43 33
0
0
45 2
所以
( x)2x2x23 24 9 24 32
p
*
pdxiA2
x ex
d(x ex)dx
0
0
dx
i A 2 (xx2)e2xd x0 0
p2 0
* p2
dx2A2
x ex
0
dd22 x(x ex)dx
y[pz,y][y,y]pzz[py,y][z,y]py
z[py,y]iz
• 记忆方法：从左至右以 x y z x依次循环指标为
正，任何一个指标错位即为负，相同指标则为零。
• 以相同的推导方法和记忆规律，有
[Lx,
px]0,[Lx,
py]ipz,[Lx,
pz]ipy
[Ly,
px]ipz,[Ly,
Байду номын сангаас
py]0,[Ly,
(FG)F(G)
（2）
算符之积对函数的作用有先后作用次序问题 一般不能颠倒
FGGF0
（3）
n个相同算符F
的积定义为算符
F
的n次幂
例如
F
d
dx
则
F2
d2
dx 2
Fn
dn
dx n
为了运算上的方便，引入量子括号
F,G
FGGF
（5）
•若
F
,
G
0
（6）
•
称算符 F与 G 是不对易的（不能交换位置）
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时 有确定值的条件 测不准关系
• 讨论微观态中某一力学量 F时，总是以F 的本征值谱作 为力学量 F的可能值。若我们同时观测状态 中的一组不同
力学量 F,G,，将会得到什么结果呢？这一讲我们主要讨论 这个问题。 • 主要内容有：
一个关系：力学量算符之间的对易关系
三个定理:
99
99
• 解法二 由 cn n*d 得 clm Y l* m (,)(,)d
由 Ylm(,) 正交归一性得
2
2
1
clm 3l,3m ,13l,2m ,23l,1m , 1
2
2
1
c3,13 c2,23 c1,13
• 例题二
在对某一状态进行测量时，同时得到能量
E n 1e s 2 8 2, L 22 2, L z
即
FG GF
•若
F
,
G
0
（7）
•
称算符
F与
G
是对易的
即 FGGF
• 下面几个经常使用的对易关系 请自行证明
[F ,G ]
[G,
F]
(8)
[F,G
M]
[F,G][F,
M]
(9)
[F,GM] G[F, M][F,G]M
(10)
[FG,M] F[G,M][F,M]G
(11)
• 1.2 坐标算符与动量算符的对易关系 坐标算符是乘数因子 相互对易
数 RnYlm(,)，在该态中三者同时有确定值：En,l(l1)2,m
• 2.3 力学量完全集
有些情况下，力学量 F 的本征值是全部简并或部分简
并的，一个本征值对应若干个本征函数。所以，只以 F的本
征值不足以完全确定本征函数，这时必定存在和F 独立且和
F
对易的其它力学量
G
。如果F , G
的共同的本征函数仍然
• 例题一 任意态 3 2 Y 3 ,1 (, ) 3 2 Y 2 ,2(, ) 1 3 Y 1 , 1 (, )
解法一 求可以态看中出L2 , L是z 的L2可, L 能z 的值共、同概本率征及函L数2 ,所L z组成。，
列表对应求解：
Y 3 ,1
Y 2,2 Y 1, 1
L 2Y lm (,
（22）
• 2 共同本征函数完备系
2.1共同本征函数完备系带来算符对易
设两个算符
Fn an
F及和GGn有一b个n共，同即的在本 n征态函中数可以n 同，时则确必定有
这两个力学量的数值，那么
(F G G F )n (abab)n 0
这似乎提醒我们有 (FGGF)0，但下结论过早，因为
这只是针对某一个特殊函数（本征函数
)l(l 1 ) 2 Y lm (,
)
L zYlm (,)m Y lm (,)
c2
L21 2 2
Lz
2
c3,1 4/9
L262
Lz 2
c2,2 2 4/9
L222
Lz
2
c1,1 1/9
L 2 1 2 2 4 6 2 4 2 2 17 4 2 9 9 99
44
1 11
Lz 2 ( )
它力学量的对易关系均可由此导出。
• 1.3 角动量算符的对易关系
[Lx,
x]
0,[Lx,
y]
iz,[Lx,
z]
iy
[Ly
,
x]
iz,[Ly
,
y]
0,[Ly,
z]
ix
(15)
[Lz,x]iy,[Lz, y]ix,[Lz,z]0
• 只证明其中一个，请注意证明方法
[Lx,y][ypzzpy,y][ypz,y][zpy,y]
(F)2
(G)2
K2
4
（34）