第三章 算符和力学量算符3.1 算符概述设某种运算把函数u 变为函数v ，用算符表示为：ˆFuv = （3.1-1） ˆF 称为算符。

u 与v 中的变量可能相同，也可能不同。

例如，11du v dx =，22xu v =3v =，(,)x t ϕ∞-∞，(,)x i p x hx edx C p t -=，则ddx ，x dx ∞-∞，x ip x he-⋅都是算符。

1．算符的一般运算（1）算符的相等：对于任意函数u ，若ˆˆFuGu =，则ˆˆG F =。

（2）算符的相加：对于任意函数u ，若ˆˆˆFuGu Mu +=，则ˆˆˆM F G =+。

算符的相加满足交换律。

（3）算符的相乘：对于任意函数u ，若ˆˆˆFFu Mu =，则ˆˆˆM GF =。

算符的相乘一般不满足交换律。

如果ˆˆˆˆFGGF =，则称ˆF 与ˆG 对易。

2．几种特殊算符 （1）单位算符对于任意涵数u ，若ˆIu=u ，则称ˆI 为单位算符。

ˆI 与1是等价的。

（2）线性算符对于任意函数u 与v ，若**1212ˆˆˆ()F C u C v C Fu C Fv +=+，则称ˆF 为反线性算符。

（3）逆算符对于任意函数u ，若ˆˆˆˆFGu GFu u ==则称ˆF 与ˆG 互为逆算符。

即1ˆˆG F -=，111ˆˆˆˆˆˆ,1FG FF F F ---===。

并非所有的算符都有逆算符，例如把零作为算符时，称之为零算符，零算符就没有逆算符。

对于非齐次线性微分方程：ˆ()()Fux af x =，其中ˆF 为ddx与函数构成的线性算符，a 为常数。

其解u 可表示为对应齐次方程的通解u 。

与非齐次方程的特解υ之和，即0u u v =+。

因0ˆ0Fu =，所以不存在1ˆF -使100ˆˆF Fu u -=。

一般说来，在特解υ中应允许含有对应齐次方程的通解成分，但如果当a=0时，υ=0，则υ中将不含对应齐次方程的通解成分，这时存在1ˆF-使11ˆˆˆˆFFv FF v v --==，从而由ˆFvaf =得：1ˆF af υ-=。

从上述分析可知，是否存在逆算符还与算符所作用的函数有关。

（4）转置算符令~ˆˆFu u F =，则称~ˆF 与ˆF 的转置算符，~ˆF 是一个向左作用的算符。

若算符ˆF 表示一般函数（或常数），由于函数的左乘等于右乘，所以函数的转置就等于它本身。

定义波函数ϕ与φ的标积为： *|d ϕφϕφτ∞<>=⎰（3.1-2）ϕ与ˆFφ的标积以及~ˆG ϕ与φ的标积为： *ˆˆ||F F d ϕφϕφτ∞<>=⎰~!*ˆˆ||GGd ϕφϕφτ∞<>=⎰ 若上两式中的ϕ与φ都是任意波函数，则称上两式中的ˆF与~ˆG 为任意标积中的算符。

下面考虑在任意标积中ddx的性质。

****()()d d d x x dx dx dx dx dx dxϕφϕφφϕφϕ∞∞∞∞-∞-∞-∞-∞==-⎰⎰⎰波函数()x ϕ与()x φ在无限远点也应满足连续性条件：()()ϕϕ∞=-∞[可都等于零]，()()φφ∞=-∞，所以得：**d ddx dx dx dxϕφϕφ∞∞-∞-∞=-⎰⎰ 可见在任意标积中，d ddx dx=-。

（5）转置共轭算符（也称为厄密共轭算符）与厄密算符转置共轭算符通常也是向左作用的算符，同时算符本身要取共轭。

以ˆF+标记ˆF 的转置共轭算符，则*~ˆˆFF += *ˆˆuF F u +=若在任意标积中，ˆˆFF +=，则称ˆF 为厄密算符。

即厄密算符的定义为：**ˆˆ()F d Fd ϕφτϕφτ∞∞=⎰⎰或写为ˆˆ||||FF ϕϕϕϕ+<>=<> （3.1-3） 可以证明，位置算符与动量算符都是厄密算符。

因x 是实数，而x x =，所以x x +=。

在任意标积中，因d d dx dx =-，所以*ˆˆx x h h P P i x i x ++∂∂⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭。

也可以直接从定义式（3.1-3）出发，来证明ˆxP 是厄密算符。

****ˆˆ|()x x h h d P dx dx P dx i i dx ϕϕφϕφφϕφ∞∞∞∞-∞-∞-∞-∞=-=⎰⎰⎰，所以ˆx P 是厄密算符。

（6）幺正算符若在任意标积中，1ˆˆFF +-=，则称ˆF为幺正算符。

设ˆˆiAT e ±=，若ˆA为厄密算符，则ˆT 必为幺正算符。

（7）算符的函数设函数F （A ）的各阶导数都存在，则定义算符ˆA的函数F （ˆA ）为： ()()0ˆˆ()n o n n F F A A ni ∞==∑ （3.1-4） 其中ˆnA表示n 个ˆA 的乘幂，即ˆˆˆˆnA A A A=⋅。

例如ˆ01ˆFn n e F ni∞==∑ 3.2 算符的对易关系定义算符的泊松（Poisson ）括号为：ˆˆˆˆˆˆ[,]AB AB BA =- （3.2-1） 一般说来ˆˆˆˆABBA ≠，例如ˆˆˆ[,]A B ik =，这样的关系或称为对易关系式。

ˆˆ[,]0A B =是对易关系式中的特例，这时ˆˆˆˆABBA =，称ˆA 与ˆB 是对易的。

1．量子力学中基本对易关系 在位置表象中，ˆˆ(,,)()x xh h h h P x x y z x x xP i x i i x iϕϕϕϕϕϕ∂∂==+=+∂∂，即ˆˆ()x x xP P x ih ϕϕ-=，此式对任意的ϕ都成立，所以得：ˆ[,]xx P ih =在动量表象中ˆˆ(,,)()x x y z x x x x xxPP P P ih P ih ihP ih P xP P φϕφφφφ∂∂==+=+∂∂，即ˆˆ()x x xP P x ih φφ-=，此式对任意的φ都成立，所以得：ˆ[,]x xP ih = 可见在位置表象中与动量表象中都得：ˆˆ[,]xx P ih = （3.2-2） 如果两个算符所含的独立变量不同，则这两个算符是对易的。

例如，在位置表象中，ˆyy =所含的变量是y ，而ˆxh P i x∂=∂所含的变量是x ，所以ˆ[,]x y P =0。

又如，在有心力场中，U(x)所含的变量是r ，而2ˆL所含的变量是,θφ，所以2ˆ[(),]0U r L =。

此外，相同的算符一定对易。

以(1,2,3)i x i =表示x ，y ，z ，以ˆiP 表示ˆˆˆ,,x y z P P P ，则应有： ˆˆ[,]0ˆˆ[,]0i j i j xx P P =⎧⎪⎨=⎪⎩ （3.2-3）ˆˆ[,]i j ijx P ih δ= (3.2-4) （3.2-4）式就是量子力学中的基本对易关系式。

2．线性算符泊松括号的性质根据量子泊松括号的定义式以及线性算符的定义式不难证明下 关系式：（其证明供练习）ˆˆˆˆ[,][,]AB B A =- （3.2-5） ˆ[,]0AC = C 为常数 （3.2-6） ˆˆˆˆ[,][,]CAB C A B = C 为常数 （3.2-7） 1212ˆˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]A A B A B A B +=+ (3.2-8) 121212ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]A A B A B A A A B =+ (3.2-9)ˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]A B A B A B t t t∂∂∂=+∂∂∂ (3.2-10) 3．其他对易关系（1）角动量算符与位置算符之间的对易关系ˆˆˆ[,][,,]0x z yL x yP zP x == ˆˆˆˆˆ[,][,][,][,]x z y y yL y yP zP y z P y z y P ihz =-=-== 同理可得：ˆ[,]x L z ihy =-，……，各对易关系可合写为： ˆˆ[,]ij ijk kkL x ih x ε=∑采用爱因斯坦记号，则上式可写为：ˆˆ[,]ij ijk k L x ih x ε= （3.2-11） 其中ijk ε称为勒维——奇维塔（Levi-Civita ）符号。

123ε=1，ijk ε对所有角标都是反对称的，即交换任意两个角标，其值反号，例如，2131ε=-，3211ε=-。

若ijk ε中有两个角标相同，则其值为零。

ijk ε具有以下数学性质：2ij ij ijk k i j i j αβαβαβαββαεεδεεδδδδ=⎧⎪⎨=-⎪⎩ （3.2-12） ()2i j j ik ijk i j ijkA B A B A B A B εε-⨯== (3.2-13)上式中将i j A B 改写为2i j j iA B A B -称为将i j A B 反对称化，之所以能将i j A B 反对称化是由于ijk ε对角标i ，j 反对称之故。

（2）角动量算符与动量算符之间的对易关系ˆˆˆ[,]i j ijk k L P ih P ε= （3.2-14）（3）角动量算符的对易关系ˆˆˆ[,]i j ijk k L L ih L ε= （3.2-15）上式中三个不为零的对易关系式还可以写成下面的关系式：,L L ih L ∧∧∧= （3.2-16）若令ˆˆˆˆˆˆ,x y x yL L iL L L iL +-=+=-，则可得： ˆˆˆ[,]2ˆˆˆ[]z z L L hL L L hL +-±±⎧=⎪⎨=±⎪⎩ （3.2-17）2ˆˆ[,]0iL L = （3.2-18） （4）算符的函数之间的对易关系[(,,),](,,)f x y z P ih f x y z ∧=∇ （3.2-19）1ˆˆˆ[,()]0,[()]0A f A f A == (3.2-20) 必须注意，若ˆˆ[,]0FG ≠，则ˆˆˆˆFG F G e e e +≠⋅。

3.3 线性厄密算符和力学量算符1．厄密算符的性质（1）对易的厄密算符的乘积也是厄密算符。

设ˆF与ˆG 是对易的厄密算符，利用（3.1-3）式可得： ****ˆˆˆˆˆˆˆˆ()()()FG d F G d GF d FG d ϕφτφφτφφτϕτ∞∞∞∞===⎰⎰⎰⎰所以ˆˆFG也是厄密算符。

（2）厄密算符的本征值必为实数。

设ˆF为厄密算符，其本征方程为： ˆFF ϕϕ=，则***ˆ()F F ϕϕ= 根据（3.1-3）式得：**ˆˆ()F d F d ϕϕτϕϕτ∞∞=⎰⎰则***F d F d ϕϕτϕϕτ∞∞=⎰⎰因*0d ϕϕτ∞≠⎰，则得F=F*，所以F 为实数。

（3）厄密算符属于不同本征值的本征函数是正交的。

设k ϕ，l ϕ为厄密算符ˆF 分别对应本征值k F ，eF 的本征函数，则**ˆˆ()k l k eF d F d ϕϕτϕϕτ∞∞=⎰⎰ 即*()0e k k l F F d ϕϕτ∞-=⎰当e k F F ≠时得：*0k l d ϕϕτ∞=⎰上式称为正交关系式。