A字形，A’形，8字形，蝴蝶形，双垂直,旋转形
双垂直结论:射影定理：①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项
⑴△ACD∽△CDB→AD:CD=CD:BD→CD 2=AD•BD
⑵△ACD∽△ABC→AC:AB=AD:AC→AC2=AD•AB
⑶△CDB∽△ABC→BC:AC=BD:BC→BC2=BD•AB
结论：⑵÷⑶得AC2:BC2=AD:BD
结论：面积法得AB•CD=AC•BC→比例式证明等积式(比例式)策略
1、直接法：找同一三角形两条边变化：等号同侧两边同一三角形三点定形法
2、间接法：⑴3种代换①等线段代换；②等比代换；③等积代换；
⑵创造条件①添加平行线——创造“A”字型、“8”字型
②先证其它三角形相似——创造边、角条件
相似判定条件：两边成比夹角等、两角对应三边比
相似终极策略：
遇等积，化比例，同侧三点找相似；
四共线，无等边，射影平行用等比；
四共线，有等边，必有一条可转换；
两共线，上下比，过端平行条件边。

彼相似，我角等，两边成比边代换。

（3）等比代换：若d
c
b
a,
,
,是四条线段，欲证
d
c
b
a
=，可先证得
f
e
b
a
=（f
e,是两条线段）然
后证
d
c
f
e
=，这里把
f
e
叫做中间比。

①∠ABC=∠ADE．求证：AB·AE=AC·AD
②△ABC中，AB=AC，△DEF是等边三角形,求证：BD•CN=BM•CE．
③等边三角形ABC中，P为BC上任一点，AP的垂直平分线交AB、AC于M、N两点。

求证：BP•PC=BM•CN
D
C
A
word.
word. F
E
D
A
B
C ☞有射影，或平行，等比传递我看行斜边上面作高线，比例中项一大片
①在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，E为AC的中点，求证：AB•AF=AC•DF
②ABCD
③梯形ABCD中，AD//BC，作BE//CD,求证：OC2=OA.OE
☞四共线，看条件，其中一条可转换；
Rt△ABC中四边形DEFG为正方形。

求证：EF2=BE•FC
②△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，CF∥BA，求证：BP2=PE·PF。

③AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AD，交BC的延长线于E，交AB于F.
求证： DE2=BE·CE.
12
F
D
A
word.
☞两共线，上下比，过端平行条件边。

①AD 是△ABC 的角平分线.求证：AB:AC=BD:CD.
②在△ABC 中，AB=AC ， 求证：DF:FE=BD:CE.
③在△ABC 中，AB >AC ，D 为AB 上一点，E 为AC 上一点，AD=AE ，直线DE 和BC 的延长线交于点P ，求证：BP:CP=BD:CE.
④在△ABC 中，BF 交AD 于E.
(1)若AE:ED=2:3，BD:DC=3:2，求AF:FC ； (2)若AF:FC=2:7，BD:DC=4:3，求AE:ED.
（3）BD:CD=2:3,AE:ED=3:4 求
:AF:FC
⑤在△ABC 中，D 、E 分别为BC 的三等分点，AC 边上的中线BM 交AD 于P ，交AE 于Q ，若BM=10cm ，试求BP 、PQ 、QM 的长.
F B A C
D E 3
2
1E D
A
B
C
P D A B C E E A B C D F
word.
⑥△ABC 中，AC=BC ，F 为底边AB 上的一点，（m 、 n ＞0），取CF 的中点D ，
连结AD 并延长交BC 于E.（1）
的值.（2）如果BE=2EC ，那么CF 所在直线与边AB 有
怎样的位置关系？证明你的结论；（3）E 点能否为BC 中点？如果能，求出相应的的值；如果不能，证明你的结论。

☞彼相似，我条件，创造边角再相似 ①AE 2＝AD ·AB ，且∠ABE ＝∠BCE ，试说明△EBC ∽△DEB
②已知ABD ∆∽ACE ∆，求证：ABC ∆∽ADE ∆．
③D 为△ABC 内一点，连接BD 、AD ，以BC 为边在△ABC 外作∠CBE=∠ABD ，∠BCE=∠BAD ，求证：△DBE ∽△ABC 。

④D 、E 分别在△ABC 的AC 、AB 边上，且AE •AB=AD •AC ，BD 、CE 交于点O. 求证：△BOE ∽△COD.
O
D B
A E
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