12019年荆门市中考数学试卷（解析版）一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。

1．2-的倒数的平方是（ ）A ．2B ．21 C ．2-D ．21-2．已知一天有86400秒，一年按365天计算共有31536000秒.用科学计数法表示31536000正确的是（ ）A ．6101536.3⨯B ．7101536.3⨯ C ．610536.31⨯D ．81031536.0⨯3．已知实数x ,y 满足方程组321,2.x y x y -=⎧⎨+=⎩则222y x -的值为（ ）A ．1-B ．1C ．3D ．3-4．将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角 边互相垂直，则1∠的度数是（ ） A ．︒95 B ．︒100 C ．︒105 D ．︒110 5．抛物线442-+-=x x y 与坐标轴的交点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36．不等式组21315,32123(1)152(1).x x x x x -+⎧-≤-⎪⎨⎪-+>--⎩的解集为（ ） A ．021<<-x B ．021≤<-xC ．021<≤-x D ．021≤≤-x 7．投掷一枚质地均匀的骰子两次，向上一面的点数依次记为b a ,.那么方程02=++b ax x 有解的概率为（ ）A ．21B ．31 C ．158 D ．3619 8．欣欣服装店某天用相同的价格)0(>a a 卖出了两件服装，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，那么该服装店卖出这两件服装的盈利情况是（ ）A ．盈利B ．亏损C ．不盈不亏D ．与售价a 有关9．如果函数b kx y +=（b k ,是常数）的图象不经过第二象限，那么b k ,应满足的条件是（ ）A ．0≥k 且0≤bB ．0>k 且0≤bC ．0≥k 且0<bD ．0>k 且0<b10．如图，OCB △Rt 的斜边在y 轴上，3=OC ，含︒30角的顶点与原点重合，直角顶点C 在第二象限，将OCB △Rt 绕原点顺时针旋转︒120后得到B C O ''△,则B 点的对应点B '的坐标是（ ） A ．)1,3(- B ．)3,1(-C ．)0,2(D ．)0,3(211．下列运算不正确的是 A ．)1)(1(1+-=--+y x y x xy B ．2222)(21z y x zx yz xy z y x ++=+++++ C ．3322))((y x y xy x y x +=+-+D ．3223333)(y xy y x x y x -+-=-12．如图，ABC △内心为I ,连接AI 并延长交ABC △的 外接圆于D ,则线段DI 与DB 的关系是 A ．DB DI = B ．DB DI > C ．DB DI<D ．不确定二、二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

13．计算=-+-︒++30827π30sin 321 .14．已知21,x x 是关于x 的方程012)13(22=++++k x k x 的两个不相等实数根，且满足2218)1)(1(k x x =--，则k 的值为 .15．如图，在平面直角坐标系中，函数)0,0(>>=x k xky 的图象与等边三角形OAB 的边OA ，AB 分别交于点M ,N ，且MA OM 2=,若3=AB ,那么点N 的横坐标为 .16．如图，等边三角形ABC 的边长为2，以A 为圆心，1为半径作圆分别交AC AB ,边于E D ,,再以点C为圆心，CD 长为半径作圆交BC 边于F ,连接F E ,,那么图中阴影部分的面积为 . 17．抛物线c bx ax y ++=2(c b a ,,为常数）的顶点为P ,且抛物线经过点)0,1(-A ,)0,(m B ， )0,31)(,2(<<<-n m n C .下列结论：①0>abc ，②03<+c a ，③,02)1(>+-b m a ④1-=a 时，存在点P 使PAB△为直角三角形.3其中正确结论的序号为 .三、解答题：共69分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．（8分）先化简，再求值：b a b a a b a b a b a b a 343322)(2222÷--+-⋅-+，其中2,3==b a .19.（9分）如图，已知平行四边形ABCD 中，132,3,5===AC BC AB . (1)求平行四边形ABCD 的面积； (2)求证：BC BD ⊥.20.（10分）高尔基说：“书，是人类进步的阶梯.”阅读可以丰富知识、拓展视野、充实生活等诸多益处.为了解学生的课外阅读情况，某校随机抽查了部分学生阅读课外书册数的情况，并绘制出如下统计图.其中条形统计图因为破损丢失了阅读5册书数的数据.(1)求条形图中丢失的数据,并写出阅读书册数的众数和中位数；(2)根据随机抽查的这个结果，请估计该校1200名学生中课外阅读5册书的学生人数；(3)若学校又补查了部分同学的课外阅读情况，得知这部分同学中课外阅读最少的是6册，将补查的情况与之前的数据合并后发现中位数并没有改变，试求最多补查了多少人？4已知锐角ABC △的外接圆圆心为O ,半径为R . (1)求证：R BAC2sin =； (2)若ABC △中3,60,45=︒=∠︒=∠AC B A ,求BC 的长及C sin 的值.22.（10分）如图，为了测量一栋楼的高度OE ,小明同学先在操场上A 处放一面镜子，向后退到B 处,恰好在镜子中看到楼的顶部E ；再将镜子放到C 处，然后后退到D 处,恰好再次在镜子中看到楼的顶部E （D C B A O ,,,,在同一条直线上）.测得m 2=AC ,m 1.2=BD ,如果小明眼睛距地面高度DG BF ,为m 6.1，试确定楼的高度OE .5为落实“精准扶贫”精神，市农科院专家指导李大爷利用坡前空地种植优质草莓.根据市场调查，在草莓上市销售的30天中，其销售价格m （元/公斤）与第x 天之间满足315 (115),75 (1530).x x m x x +≤≤⎧=⎨-+<≤⎩ （x 为正整数），销售量n （公斤）与第x 天之间的函数关系如图所示：如果李大爷的草莓在上市销售期间每天的维护费用为80元.(1)求销售量n 与第x 天之间的函数关系式；(2)求在草莓上市销售的30天中，每天的销售利润y 与第x 天之间的函数关系式；（日销售利润=日销售额-日维护费）(3)求日销售利润y 的最大值及相应的x .24.（12分）已知抛物线c bx ax y ++=2顶点)1,2(-，经过点)3,0(，且与直线1-=x y 交于B A ,两点. (1)求抛物线的解析式；(2)若在抛物线上恰好存在三点N M Q ,,,满足S S S S NAB MAB QAB ===△△△，求S 的值；(3)在B A ,之间的抛物线弧上是否存在点P 满足︒=∠90APB ？若存在，求点P 的横坐标，若不存在，请说明理由.(坐标平面内两点),(),,(2211y x N y x M 之间的距离221221)()(y y x x MN -+-=）6答案一、选择题1.B2.B3.A4.C5.C6.C7.D8.B9.A10.A11.B12.A二、填空题13.31- 14.1 15.253+16.432312π-+17.②③三、解答题 18.解：原式=)(34)(3)(222b a ab b a b a ---+)(34)(2222b a ab b a --+=)(3)(22222b a b a -+=,2, 3==b a Θ，∴原式310)23(3)23(2=-+=.19.解：(1)作AB CE ⊥,交AB 的延长线于E ,设h CE x BE ==,，在CEB ∆Rt 中：922=+h x ……① 在CEA ∆Rt 中：52)5(22=++h x ……② 联立①②解得：512,59==h x ， ∴平行四边形ABCD 的面积为12=⋅h AB ；(2)如图：作AB DF ⊥,垂足为F ,ADF ∆Θ≌BCE ∆,512,516,59====∴DF BF BE AF ,在DFB ∆Rt 中：16)516()512(22222=+=+=BF DF BD ,4=∴BD ,又5,3==DC BC Θ,BC BD BC BD DC ⊥∴+=222.20.解：(1)设阅读5册书的人数为x ，由统计图可知：%30128612=+++x ，14=∴x ；∴阅读书册数的众数是5，中位数是5；7(2)阅读5册书的学生人数频率为20714128614=+++该校阅读5册书的学生人数约为4201200207=⨯（人）； (3)设补查人数为y ,依题意：148612+<++y ，4<∴y ，∴最多补查了3人.21.解：(1)连接AO 并延长交圆于D 点，连接CD ,AD ∵为直径， ︒=∠∴90ACD ,且ADC ABC ∠=∠, 在ACD ∆Rt 中：RACAD AC ADC ABC 2sin sin ==∠=∠, R BAC2sin =∴； (2)由(1)知R B AC 2sin =，同理可得R A BCC AB 2sin sin ==260sin 32=︒=∴R ，245sin 2sin 2=︒=⋅=∴A R BC ，如图，作AB CE ⊥,垂足为E ,2260cos 2cos =︒=⋅=∴B BC BE ， 2645cos 3cos =︒=⋅=A AC AE ， 2226+=+=∴BE AE AB , 4262sin ,sin 2+==∴⋅=R AB C C R AB Θ. 22.解：设E 关于点O 的对称点为M ,由光的反射定律知，延长FAGC ,相交于M ，连接GF 并延长交OE 于H ,GF Θ∥AC ,MAC ∆∴∽MFG ∆,8MHMOMF MA FG AC ==∴, 即BF OE OEOH MO OE MH OE BD AC +=+==, 1.226.1=+∴OE OE ,32=∴OE .答：楼的高度OE 为32米.23.解：(1)当101≤≤x 时，设b kx n +=，由图可知：⎩⎨⎧+=+=b k bk 103012，解得10,2==b k ，102+=∴x n ，同理当1030x <≤时，444.1+-=x n ，210(110)1.444(1030)x x n x x +≤≤⎧∴=⎨-+<≤⎩；(2)80-=mn y Θ，(210)(315)80(110)( 1.444)(315)80(1015)( 1.444)(75)80(1530)x x x y x x x x x x ++-≤≤⎧⎪∴=-++-<<⎨⎪-+-+-≤≤⎩即22266070(110)4.2111580(1015)1.41493220(1530)x x x y x x x x x x ⎧++≤≤⎪∴=-++<<⎨⎪-+≤≤⎩；(3) 当101≤≤x 时，706062++=x x y Θ的对称轴是5-=x ，y ∴的最大值是127010=y ，当1015x <<时，5801112.42++-=x x y Θ的对称轴是5.132.134.8111<≈=x ， y ∴的最大值是2.131313=y ，当3015≤≤x 时，32201494.12+-=x x y Θ的对称轴是308.2149>=x ， y ∴的最大值是130015=y ，9综上，草莓销售第13天时，日销售利润y 最大，最大值是2.1313元. 24.解：(1)依题意)0(1)2(22>--=++=a x a c bx ax y ，将点)3,0(代入得：314=-a ，1=∴a ，∴函数的解析式为342+-=x x y ；(2) 作直线AB 的平行线l ，当l 与抛物线有两个交点时，由对称性可知：l 位于直线AB 两侧且与l 等距离时，会有四个点符合题意，因为当l 位于直线AB 上方时，l 与抛物线总有两个交点N M ,满足NAB MAB S S ∆∆=，所以只有当l 位于直线AB 下方且与抛物线只有一个交点Q 时符合题意，此时QAB ∆面积最大；设)34,(2+-t t t Q ，作QC ∥y 轴交AB 于)1,(-t t C ， 那么)45(23)]34()1[(23)(2122-+-=+---=-=∆t t t t t x x QC S A B QAB 当25=t 时QAB ∆面积最大，最大面积为827，827=∴S ；(3)若存在点P 满足条件，设)41)(1)2(,(2<<--t t t P ，PB PA ⊥Θ,222AB PB PA =+∴,即18]4)2[()4(]1)2[()1(222222=--+-+--+-t t t t ， 设)21(2<<-=-m m t ，代入上式得：18)4()2()1()1(222222=-+-+-++m m m m ，02424=+--∴m m m ，即0)2()4(22=---m m m ，0)1)(2(223=-++-∴m m m m ，即0)1)(1)(2(2=-++-m m m m ，01,02,21>+<-∴<<-m m m Θ，012=-+∴m m ,251+-=∴m 或1251-<--=m （舍去），10代入m t =-2得：253+=t ， 综上所述，存在点P 满足条件，点P 的横坐标为253+.。