5.4 ．
由 ，得到 ，因此该效用函数不显示出递减的风险规避行为．
6一个具有VNM效用函数的人拥有160000单位的初始财产，但他面临火灾风险：一种发生概率为5%的火灾会使其损失70000；另一种发生概率为5%的火灾会使其损失120000．他的效用函数形式是 ．若他购买保险，保险公司要求他自己承担前7620单位的损失（若火灾发生）．什么是这个投保人愿支付的最高保险金？（需要补充的条件为：两种火灾的发生是相斥事件）
证明：直接运用绝对风险规避系数的定义：
当 时，
， ；
即，绝对风险规避系数在 上是财富的严格增函数．
注意： ， ．
[注] 在 出现从负无穷到正无穷的跳跃，与 时，效用是财富的减函数，而 时是财富的增函数有关．不过，也许正是为了避免很不符合实际又麻烦的情况，一般研究不确定情况下的选择时，效用函数被认定为财富的增函数；而下面的所有类似题目中，我均假设效用函数为财富的增函数．
10.1计算该户居民的效用期望值．
解： ．
10.2如何根据效用函数判断该户居民是愿意避免风险，还是爱好风险？
解：利用绝对风险规避系数来计算，具体地，由 ，（ ）
可以得到该户居民是愿意避免风险的．
10.3如果居民支付一定数额的保险费则可以在摩托车被盗时从保险公司得到与摩托车价值相等的赔偿．试计算该户居民最多愿意支付多少元的保险费．
说明：设此人的效用函数为 ．令 ， ， ，其中 ．
计算出赌局 所对应的期望效用， ． ， ， ， ．
根据已知条件可以得到 ， ．
由于 ，所以我们不能断定他的选择不是一致的．
[注]此前我对这道题的解答依赖于对风险的偏好是否一致，不好．现在的解法中，判断依据仅仅是关于不确定性下选择的几个公理，具有更广的一般性．
解：思路同第六题．该户居民最多愿意支付的保险费就是使他的期望效用在支付前后不变的保险费．设保险费为 ，有
元
即该户居民最多愿意支付的保险费是6099元．
10.4在该保险费中“公平”的保险费（即该户居民的期望损失）是多少元？保险公司扣除“公平”的保险费后的纯收入是多少元？
平新乔《微观经济学十八讲》答案
EatingNoodles
第
1（单项选择）一个消费者的效用函数为 ，则他的绝对风险规避系数为：
（A） （B） （C） （D）
解：B．计算过程为
．
2证明：若一个人的绝对风险规避系数为常数 ，则其效用函数形式必为 ，这里 代表财产水平．
说明：这个结论是有问题的，若要成立需要加上条件 ．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ10000元
1000元
0元
1
0.10
0.90
0.00
2
0.20
0.60
0.20
3
0.02
0.06
0.92
4
0.01
0.09
0.90
7考虑下列赌局
上表内，矩阵中的数字代表每一种结果的发生概率（比如，在赌局1中，发生10000元的概率为0.1）．如果有人告诉你，他在赌局“1”与“2”之间严格偏好于“1”，在赌局“3”与“4”之间严格偏好于“3”．请问他的选择一致吗？请做出说明．
，其中 为收入水平．
5证明：在下列效用函数中，哪些显示出递减的风险规避行为：
5.1 ， ， ．
由 ，得到 ，因此该效用函数显示出递减的风险规避行为．
[注]这里规定 ，下同．
5.2 ．
由 ，知 ，因此该效用函数不显示出递减的风险规避行为．
5.3 ， ．
由 ，得到 ，因此该效用函数显示出递减的风险规避行为．
证明：由已知得
，
因此 ，其中 ， 为任意实数．
如果 ，根据效用函数可单调变换的性质，该偏好可以用效用函数形式 表示．如果 ，那么该偏好可以用效用函数形式 表示．
3若一个人的效用函数为 ，证明：其绝对风险规避系数是财富的严格增函数．
说明：这个结论是有问题的．一个正确的结论是，补充条件 ，绝对风险规避系数在 时，是财富的严格增函数．
解：如果保险人不购买保险，他不发生火灾损失的概率为他的期望效用水平为
．
同时，他愿支付的最高保险金 ，就是使他在支付前后效用水平相等的保险金，
即有 ．
解得： ， （舍去）
即，投保人愿意付的最高保险金为22008元．
[注]一般的假定是，如果决策者在选择间无差异的时候，就表示他在做一个随机决策，也就是说，任何决策他都是愿意接受的．反过来，假定决策者在选择间无差异时，却出现了他不愿意选择某一个决策的情况，那就是说明他在决策间不是无差异的．这种“无差异”方法在解题中使用很多．
解：如果李某是风险规避的，有 ，其中 ．由 ，那么存在一个 ，使得 ．即有 ，即得到 ．
9一个消费者具有VNM效用函数，他面临四种结局：A、B、C、D．其偏好序为 ．试验显示，他认为
（这里的等号表示“无差异”）
请对A、B、C、D四种结局构筑出一组VNM效用值．
解：令 ， ，（由连续性公理）有
，
．
10近年来保险业在我国得到迅速发展，本题应用经济学原理分析为什么人们愿意购买保险．假定有一户居民拥有财富10万元，包括一辆价值2万元的摩托车．该户居民所住地区时常发生盗窃，因此有25%的可能性该户居民的摩托车被盗．假定该户居民的效用函数为 ，其中 表示财富价值．
另外，我在题目中没有限制财富量为非负．
4设一种彩票赢得900元的概率为0.2，而获得100元的概率为0.8．计算该彩票的期望收入．若一个人对该彩票的出价超过彩票的期望收入，请写出这个人的效用函数形式．（形式不唯一）
解：彩票的期望收入为260元．这个人是风险偏好的；要描述他的效用，最方便的形式之一就是有常绝对风险规避系数的效用函数形式，比如
那么在A身上下赌注，那么期望效用 ，在B身上下赌注，期望效用为 ，不下注，效用 ．
由李某的偏好关系，我们可以得到 ，即 ．
[注]一个比较疯狂的想法是想看看 时是否与相同的偏好关系相容．事实上，只要财富的边际效用为正（这也是我一直假设的），这就是不可能的．
8.2如果李某是风险规避的，你能知道 的值吗？
8两匹马赛跑．李某对该赛马打赌．马A与B之间，或A赢，或B赢，无平局．李某按下列偏好序对打赌进行排序：
他在A上下赌注2元，如果A赢了，则会获得 元；若A输了，则分文无收．
不赌．
他在B上下赌注2元，如果B赢了，则会获得 元；若B输了，则分文无收．
8.1你能得出结论说，李某相信A获胜的概率P大于 吗？
解：记李某的效用函数为 ，不赌时的财富水平为 ．令 ， ， ．