圆锥曲线小题训练
一、求离心率的值
1.椭圆C:x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1、F 2,过F 2垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 为等边三角形，则椭圆C 的离心率为
A. 12
B.32
C.13
D.33
【答案】D
由题意得，2×b 2a =2a －b 2a ，又b 2
a
2=1－e 2即可求得. 2.已知抛物线y 2=8x 与双曲线x 2m －y 2＝1交于A ，B 两点，
且抛物线的准线与x 轴交于点D,点F 为物线的焦点.若△ADF 为等腰直角三角形，则双线的离心率是
A. 2
B. 2
C.1
D.22
【答案】D
3已知双曲线C 1：x 2m + y 2m －10
＝1与双曲线C 2：x 2－y 24=1有相同的渐近线，则双曲线C 1的离心率为
A. 5
B.5
C.54
D.52
【答案】A
4.已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0),点F 为左焦点,点P 为下顶点，平行于FP 的直线l 交椭圆于A,B 两点，且
AB 的中点为M （1，12）,则椭圆的离心率为 A.22 B.12 C. 14 D.32
【答案】A 提示：点差法，中点坐标代入即可求.
5.双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是双曲线右支上一点,I 为△PF 1F 2的内心，PI 交x 轴于Q 点,若｜F 1Q ｜=｜PF 2｜且PI :IQ=2:1,则双曲线的离心率e 的值为 . 【答案】32
提示：三角形内心的性质，PF 1:PF 1=PI :IQ （可用△PF 1I 与△QF 1I 面积比来证明）
6.设双曲线C:x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2,直线x=a 与C 的渐近线的一个交点记为P,若|PF 2|，|PF 1|, |F 1F 2|成等比数列，则C 的离心率为 A.4－ 3 B.2+ 3 C.4－ 5 D.2+5
【答案】D
7.设双曲线C:x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线的
夹角为α，且cosα=13，则C 的离心率为 A.52 B.62 C.72 D.2
【答案】B
8.双曲线C:y 2a 2－x 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线经过点（2，2），则该双曲线离心率为 A.62 B. 2 C. 3 D.3
【答案】C
9.已知双曲线E:x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)焦距为2
c ，圆C 1:(x －c)2+y 2=r 2与圆C 2:x 2+(y －m )2=4r 2
(m ∊R)外切，且E 的两条渐近线恰为两圆的公切线，则E 的离心率为 A.62 B. 2 C. 5 D.32
【答案】A 提示：m 2+c 2=(3r)2结合点到直线的距离可求.
10.已知点M 在以A ，B 为焦点的椭圆上，点C 为该
椭圆所在平面内的一点，且满足以下两个条件，MA
→+MB
→=2MC →，|MA →|=2|MB →|=2|MC →|则该椭圆的离心率为 .
【答案】63 提示：画图可得C 为坐标原点，所以M 的横坐标为c 2，|MB |=|MC |=n=2a 3，|MA |=m =4a 3
，设BC 中点为D ，则△MBD 中cos ∠MBD=c 2n ，在△MAB
中，利用余弦定理可得a ，c 关系，进而求得离心率.
二、求离心率的取值范围
1.已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(b ＞a ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)、F 2(c,0),若双曲线上存在点P,使的a sin∠PF 1F 2
=c sin∠PF 2F 1
，则该双曲线的离心率e 的取值范围是 A. (1,2+1) B.(2,+∞)C.( 2 ,2+1) D. (2+1,+∞)
【答案】C
设点P 在双曲线右支非x 轴上.由正弦定理可得|PF 2|sin∠PF 1F 2=|PF 1|sin∠PF 2F 1
为方便运算,设| PF 1 | =m , | PF 2 |=n,则m sin∠PF 1F 2=n sin∠PF 2F 1，所以m n =c a ，又m -n=2a ，所以n=2a 2c -a ，m =2ac c -a
，又sin∠PF 1F 2≠0，所以P 、F 1、F 2不共线，所以m +n ＞2c ，2a 2c -a +2ac c -a
＞2c 而b ＞a ＞0，可解的答案C.
2.已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F,过F 作斜率为－1的直线交双曲线的渐近线于P,Q 两点,点P 在第一象限,点Q 在第四象限，则该双曲线离心率的取值范围为 A. (2,2) B.(1,2) C.(1,3) D.(2,2)
【答案】B
由已知，得－b a ＞-1,即b a ＜1，所以b 2≤c 2即c 2－a 2＜
a 2,故1＜e ＜2.
【怎么解】正确理解题目中给出的条件，将条件“点
P 在第一象限,点，Q 在第四象限”转化为－b a ＞-1.
3.设抛物线M ：x 2=4py (p >0)的焦点为F,其准线与双曲
线N ：x 2a 2－y 2＝1的两个交点分別是A 、B ，若存在抛物线M 使得△FAB 是等边三角形，则双曲线N 的离心率的取值范围是 A. (1,233) B.(233,+∞) C.(72,+∞) D.(1,+∞)
【答案】C
抛物线的焦点坐标为F(p ，0)，准线方程为y=－p ，把y=－p 代入双曲线方程，可得A ，B 的坐标，其绝对
值即是三角形边长的一班，所以tan∠FAO=－p |x |=3整
理得到关于p 的方程，该方程有解，就可求得e 的范围.
4.F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左右焦点，若双曲线上存在点P 满足
PF
1→·PF 2→=－a 2，则双曲线的离心率的取值范围为 A.[3,+∞) B.[2,+∞) C.(1,3] D.(1,2]
【答案】B 提示：设点P(x 0,y 0)则PF
1→·PF 2→=(x 0+c)(x 0－c)+y 02=x 02－c 2+y 02=－a 2，x 02+y 02=c 2－a 2=b 2
即点P 在一原点为圆心，半径为b 的圆上，有题意，该圆和双曲线相交，所以b 2>a 2，即可求解.
三、其他问题
1、已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点P 为抛物线上任意一点，若∠KPF 的平分线与x 轴交于(m ,0) ,则m 的最大值为
A.3－2 2
B.23－3
C.2－ 3
D.2－2
【答案】A 提示：三角形角平分线的性质，及过抛物线准线与x 轴的交点的与抛物线相切的直线的斜率为±1
2.已知抛物线y 2=4x ,过焦点F 的直线与此抛物线交于A,B 两点，公共点A 在第一象限,过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为A',直线A'F 的斜率为－ 3 ,则△AA'F 的面积为 A.4 3 B.3 3 C.2 3 D. 3
【答案】A 提示：△AA'F 是正三角形，且边长等于2p=4.
3.已知抛物线C:y 2 =2px (p >0)的焦点为F,准线为l ，l 与x 轴的交点为P,点A 在抛物线C 上,过点A 作AA'⊥l ，垂足为A'，若四边形AA'PF 的面积为14,且cos ∠
FAA'=35 ，则抛物线C 的方程为
A.y 2 =x
B.y 2 =2x
C.y 2 =4x
D.y 2 =8x
【答案】C
4.设双曲线C:x 28
－y 2m =1的左右焦点分别为F 1,F 2,过F 1的直线与双曲线C 交于M,N 两点,其中M 在左支上,N 在右支上，若∠F 2MN= F 2NM ，则｜MN ｜ =
A.8
B.4
C.8 2
D.42
【答案】C [命题意图]本题考查双曲线的定义与方程,考查推理论证能力以及数形结合思想. 提示：由∠F 2MN= F 2NM,可知，|F 2M|=｜F 2N ｜.由双曲线定义
可知，｜MF2｜-｜MF1｜2a,｜NF1｜－｜NF2｜=2a,两式相加得,｜NF1｜-｜MF1｜=|MN｜=4a=82.
5.设椭圆C: x2
a2＋
y2
b2＝1(a＞b＞0)的左，右焦点分别为
F1, F2, 离心率为3，以F1F2为直径的圆与C在第一象限的交点为P,则直线PF1的斜率为
A.1
3 B.
1
2 C.
3
3 D.
3
2
【答案】B
6.已知点P(－43, 0),圆x2+y2=16 上两点A, B满足PB=2PA,则|AB|=
【答案】4 提示：根据OA=OB=PA=AB=1
2PB，所以
点B恰好是（0,4）.
7.设点P为直线l：x+y－4=0上的动点，点A（－2,0），B（2,0），则｜PA｜+｜PB｜的最小值
A.210
B.26
C.2 5
D.10
【答案】A
8.已知椭圆C1:x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)与双曲线C2：x2－y2 9
=1有公共焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则。