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圆锥曲线大题专题训练答案和题目

圆锥曲线大题专题训练1.如图,曲线G 的方程为22(0)y x y =≥.以原点为圆心.以(0)t t >为半径的圆分别 与曲线G 和y 轴的正半轴相交于点A 与点B .直线AB 与x 轴相交于点C . (Ⅰ)求点A 的横坐标a 与点C 的横坐标 c 的关系式(Ⅱ)设曲线G 上点D 的横坐标为2a +, 求证:直线CD 的斜率为定值. 1.解:(Ⅰ)由题意知,(A a .因为OA t =,所以222a a t +=.由于0t >由点(0)(0)B t C c ,,,的坐标知,直线BC 的方程为1c t+=. 又因点A 在直线BC 上,故有1a c +=,将(1)代入上式,得1a c =, 解得2c a =+(Ⅱ)因为(2D a +,所以直线CD 的斜率为1CD k ====-.所以直线CD 的斜率为定值.2.设F 是抛物线2:4G x y =的焦点.(I )过点(04)P -,作抛物线G 的切线,求切线方程;(II )设A B ,为抛物线G 上异于原点的两点,且满足0FA FB =,延长AF ,BF 分别交抛物线G 于点C D ,,求四边形ABCD 面积的最小值.2.解:(I )设切点2004x Q x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,.由2xy '=,知抛物线在Q 点处的切线斜率为02x ,故所求切线方程为2000()42x x y x x -=-. 即20424x x y x =-. 因为点(0)P -4,在切线上.所以2044x -=-,2016x =,04x =±.所求切线方程为24y x =±-.(II )设11()A x y ,,22()C x y ,.由题意知,直线AC 的斜率k 存在,由对称性,不妨设0k >.因直线AC 过焦点(01)F ,,所以直线AC 的方程为1y kx =+.点A C ,的坐标满足方程组214y kx x y =+⎧⎨=⎩,,得2440x kx --=,由根与系数的关系知121244.x x k x x +=⎧⎨=-⎩,24(1)AC k ===+.因为AC BD ⊥,所以BD 的斜率为1k -,从而BD 的方程为11y x k=-+. 同理可求得22214(1)41k BD k k ⎛⎫+⎛⎫=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 2222218(1)18(2)322ABCDk S AC BD k k k +===++≥. 当1k =时,等号成立.所以,四边形ABCD 面积的最小值为32.3.如图,有一块半椭圆形钢板,其长半轴长为2r ,短半轴长为r ,计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,下底AB 是半椭圆的短轴,上底CD 的端点在椭圆上,记2CD x =,梯形面积为S . (I )求面积S 以x 为自变量的函数式,并写出其定义域; (II )求面积S 的最大值. 3.解:(I )依题意,以AB 的中点O 为原点建立直角坐标系 O xy -(如图),则点C 的横坐标为x . 点C 的纵坐标y 满足方程22221(0)4x y y r r+=≥,解得)y x r =<< 222()x r r x =+-,其定义域为{}0x x r <<.(II )记222()4()()0f x x r r x x r =+-<<,, 则2()8()(2)f x x r r x '=+-. 令()0f x '=,得12x r =. 当02r x <<时,()0f x '>;当2rx r <<时,()0f x '<,所以12f r ⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值. 因此,当12x r =时,S2=.即梯形面积S2. 4.如图,矩形ABCD 的两条对角线相交于点(20)M ,,AB 边所在直线的方程为360x y --=点(11)T -,在AD 边所在直线上. (I )求AD 边所在直线的方程; (II )求矩形ABCD 外接圆的方程;(III )若动圆P 过点(20)N -,,且与矩形ABCD 外接圆外切,求动圆P 的圆心轨迹方程.4.解:(I )因为AB 边所在直线的方程为360x y --=,且AD 与AB 垂直,所以直线AD 的斜率为3-.又因为点(11)T -,在直线AD 上,所以AD 边所在直线的方程为13(1)y x -=-+.即320x y ++=.(II )由36032=0x y x y --=⎧⎨++⎩,解得点A 的坐标为(02)-,,因为矩形ABCD 两条对角线的交点为(20)M ,.所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心.又AM ==ABCD 外接圆方程为22(2)8x y -+=.(III )因为动圆P 过点N ,所以PN 是该圆的半径,又因为动圆P 与圆M 外切,所以PM PN =+PM PN -=故点P 的轨迹是以M N ,为焦点,实轴长为因为实半轴长a =2c =.所以虚半轴长b ==从而动圆P的圆心的轨迹方程为221(22x y x -=≤. 5.已知函数y kx =与22(0)y x x =+≥的图象相交于11()A x y ,,22()B x y ,,1l ,2l 分别是22(0)y x x =+≥的图象在A B ,两点的切线,M N ,分别是1l ,2l 与x 轴的交点. (I )求k 的取值范围;(II )设t 为点M 的横坐标,当12x x <时,写出t 以1x 为自变量的函数式,并求其定义域和值域; (III )试比较OM 与ON 的大小,并说明理由(O 是坐标原点).5.解:(I )由方程22y kx y x =⎧⎨=+⎩,消y 得220x kx -+=. ①依题意,该方程有两个正实根,故212800k x x k ⎧∆=->⎨+=>⎩,,解得k > (II )由()2f x x '=,求得切线1l 的方程为1112()y x x x y =-+,由2112y x =+,并令0y =,得1112x t x =- 1x ,2x 是方程①的两实根,且12x x <,故1x ==k > 1x 是关于k 的减函数,所以1x的取值范围是(0.t 是关于1x的增函数,定义域为(0,所以值域为()-∞,0,(III )当12x x <时,由(II )可知1112x OM t x ==-+. 类似可得2212x ON x =-.1212122x x x x OM ON x x ++-=-+. 由①可知122x x =.从而0OM ON -=.当21x x <时,有相同的结果0OM ON -=.所以OM ON =.6.如图,已知(10)F ,,直线:1l x =-,P 为平面上的动点,过点P 作l 的垂线,垂足为点Q ,且QP QF FP FQ =. (Ⅰ)求动点P 的轨迹C 的方程;(Ⅱ)过点F 的直线交轨迹C 于A B ,两点,交直线l 于点M(1)已知1MA AF λ=,2MB BF λ=,求12λλ+的值; (2)求MA MB 的最小值.6.解:(Ⅰ)设点()P x y ,,则(1)Q y -,,由QP QF FP =(10)(2)(1)(2)x y x y y +-=--,,,,,化简得2:4C y x =.(Ⅱ)(1)设直线AB 的方程为:1(0)x my m =+≠.设11()A x y ,,22()B x y ,,又21M m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,, 联立方程组241y x x my ⎧=⎨=+⎩,,,消去x 得:2440y my --=,2(4)120m ∆=-+>,由1MA AF λ=,2MB BF λ=得:1112y y m λ+=-,2222y y mλ+=-1121my λ=--,2221my λ=--, 12122112m y y λλ⎛⎫∴+=--+ ⎪⎝⎭121222y y m y y +=--44m-解法二:(Ⅰ)由QP QF FP FQ =得:()0FQ PQ PF +=,()()0PQ PF PQ PF ∴-+=,220PQ PF ∴-=,PQ PF ∴=.所以点P 的轨迹C 是抛物线,由题意,轨迹C 的方程为:24y x =. (Ⅱ)(1)由已知1MA AF λ=,2MB BF λ=,得120λλ<. 则:12MA AF MBBFλλ=-.…………①过点A B ,分别作准线l 的垂线,垂足分别为1A ,1B , 则有:11MA AA AF MBBB BF==.…………②由①②得:12AFAF BF BFλλ-=,即120λλ+=. (Ⅱ)(2)解:由解法一,(2121M M MA MB y y y y =--2222114(2)4216m m m ⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎝⎭≥.当且仅当221m m =,即1m =±时等号成立,所以MA MB 最小值为16. 7.在平面直角坐标系xOy ,已知圆心在第二象限、半径为的圆C 与直线y x =相切于坐标原点O .椭圆22219x y a +=与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10. (1)求圆C 的方程;(2)试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ,使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长,若存在,请求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由. 7.解:(1)圆C :22(2)(2)8x y ++-=;(2)由条件可知a=5,椭圆221259x y +=,∴F (4,0),若存在,则F 在OQ 的中垂线上,又O 、Q 在圆C 上,所以O 、Q 关于直线CF 对称;直线CF 的方程为y-1=1(1)3x --,即340x y +-=,设Q (x,y ),则334022yx x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩,解得45125x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以存在,Q 的坐标为412(,)55。

8.在平面直角坐标系xOy 中,经过点(0且斜率为k 的直线l 与椭圆2212x y +=有两个不同的交点P 和Q . (I )求k 的取值范围;(II )设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ,,是否存在常数k ,使得向量OP OQ +与AB 共线如果存在,求k 值;如果不存在,请说明理由. 8.解:(Ⅰ)由已知条件,直线l 的方程为y kx =+代入椭圆方程得22(12x kx +=.整理得221102k x ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭① 直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于2221844202k k k ⎛⎫∆=-+=->⎪⎝⎭, 解得2k <-或2k >.即k的取值范围为22⎛⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,,∞∞. (Ⅱ)设1122()()P x y Q x y ,,,,则1212()OP OQ x x y y +=++,, 由方程①,12x x +=. ② 又1212()y y k x x +=++ ③而(01)(A B AB =-,,.所以OP OQ +与AB 共线等价于1212)x x y y +=+,将②③代入上式,解得2k =.由(Ⅰ)知k <或k >k . 9.在平面直角坐标系xOy 中,已知圆2212320x y x +-+=的圆心为Q ,过点(02)P ,且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点AB ,. (Ⅰ)求k 的取值范围;(Ⅱ)是否存在常数k ,使得向量OA OB +与PQ 共线如果存在,求k 值;如果不存在,请说明理由.9.解:(Ⅰ)圆的方程可写成22(6)4x y -+=,所以圆心为(60)Q ,,过(02)P ,且斜率为k 的直线方程为2y kx =+.代入圆方程得22(2)12320x kx x ++-+=, 整理得22(1)4(3)360k x k x ++-+=. ①直线与圆交于两个不同的点AB ,等价于 2222[4(3)]436(1)4(86)0k k k k ∆=--⨯+=-->,解得304k -<<,即k 的取值范围为304⎛⎫- ⎪⎝⎭,. (Ⅱ)设1122()()A x y B x y ,,,,则1212()OA OB x x y y +=++,, 由方程①,1224(3)1k x x k-+=-+ ② 又1212()4y y k x x +=++. ③ 而(02)(60)(62)P Q PQ =-,,,,,. 所以OA OB +与PQ 共线等价于1212()6()x x y y +=+, 将②③代入上式,解得34k =-. 由(Ⅰ)知304k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,,故没有符合题意的常数k . 10.在平面直角坐标系xOy 中,过定点(0)C p ,作直线与抛物线22x py =(0p >)相交于A B ,两点. (I )若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点,求ANB △面积的最小值;(II )是否存在垂直于y 轴的直线l ,使得l 被以AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值若存在,求出l 的方程;若不存在,说明理由.10.解法1:(Ⅰ)依题意,点N 的坐标为(0)N p -,,可设1122()()A x y B x y ,,,,直线AB 的方程为y kx p =+,与22x py =联立得22x py y kx p ⎧=⎨=+⎩,.消去y 得22220x pkx p --=.由韦达定理得122x x pk +=,2122x x p =-.于是12122ABN BCN ACN S S S p x x =+=-△△△·.2p ==,∴当0k =时,2min ()ABN S =△.(Ⅱ)假设满足条件的直线l 存在,其方程为y=AC 的中点为O ',l 与AC 为直径的圆相交于点P ,Q PQ ,的中点为H ,则O H PQ'⊥,Q '点的坐标为1122x y p +⎛⎫⎪⎝⎭,.12O P AC '===∵, 111222y p O H a a y p +'=-=--, 1()2p a y a p a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭,22(2)PQ PH =∴14()2p a y a p a ⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.令02p a -=,得2p a =,此时PQ p =为定值,故满足条件的直线l 存在,其方程为2py =, x即抛物线的通径所在的直线.解法2:(Ⅰ)前同解法1,再由弦长公式得2=又由点到直线的距离公式得d=.从而112222ABNS d AB p===△···∴当0k=时,2min()ABNS=△.(Ⅱ)假设满足条件的直线l存在,其方程为y a=,则以AC为直径的圆的方程为11(0)()()()0x x x y p y y-----=,将直线方程y a=代入得211()()0x x x a p a y-+--=,则21114()()4()2px a p a y a y a p a⎡⎤⎛⎫=---=-+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦△.设直线l与以AC为直径的圆的交点为3344()()P x y Q x y,,,,则有34PQ x x=-==令02pa-=,得2pa=,此时PQ p=为定值,故满足条件的直线l存在,其方程为2py=,即抛物线的通径所在的直线.11.已知双曲线222x y-=的左、右焦点分别为1F,2F,过点2F的动直线与双曲线相交于A B,两点.(I)若动点M满足1111FM F A F B FO=++(其中O为坐标原点),求点M的轨迹方程;(II)在x轴上是否存在定点C,使CA·CB为常数若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由.11.解:由条件知1(20)F-,,2(20)F,,设11()A x y,,22()B x y,.解法一:(I)设()M x y,,则则1(2)FM x y=+,,111(2)F A x y=+,,1221(2)(20)F B x y FO=+=,,,,由1111FM F A F B FO=++得121226x x xy y y+=++⎧⎨=+⎩,即12124x x xy y y+=-⎧⎨+=⎩,于是AB 的中点坐标为422x y -⎛⎫⎪⎝⎭,. 当AB 不与x 轴垂直时,121224822yy y y x x x x -==----,即1212()8y y y x x x -=--. 又因为A B ,两点在双曲线上,所以22112x y -=,22222x y -=,两式相减得12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+,即1212()(4)()x x x y y y --=-.将1212()8yy y x x x -=--代入上式,化简得22(6)4x y --=. 当AB 与x 轴垂直时,122x x ==,求得(80)M ,,也满足上述方程. 所以点M 的轨迹方程是22(6)4x y --=.(II )假设在x 轴上存在定点(0)C m ,,使CA CB 为常数.当AB 不与x 轴垂直时,设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±. 代入222x y -=有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=.则12x x ,是上述方程的两个实根,所以212241k x x k +=-,2122421k x x k +=-,于是21212()()(2)(2)CA CB x m x m k x x =--+--222222(12)2442(12)11m k m m m m k k -+-=+=-++--. 因为CA CB 是与k 无关的常数,所以440m -=,即1m =,此时CA CB =1-.当AB 与x 轴垂直时,点A B ,的坐标可分别设为(2,(2-,, 此时(12)(12)1CA CB =-=-,,. 故在x 轴上存在定点(10)C ,,使CA CB 为常数. 解法二:(I )同解法一的(I )有12124x x x y y y +=-⎧⎨+=⎩,当AB 不与x 轴垂直时,设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±.代入222x y -=有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=. 则12x x ,是上述方程的两个实根,所以212241k x x k +=-. 21212244(4)411k k y y k x x k k k ⎛⎫+=+-=-= ⎪--⎝⎭. 由①②③得22441k x k -=-.…………④ 241k y k =-.……………⑤ 当0k ≠时,0y ≠,由④⑤得,4x k y-=,将其代入⑤有 2222444(4)(4)(4)1x y x y y x x y y -⨯-==----.整理得22(6)4x y --=. 当0k =时,点M 的坐标为(40),,满足上述方程.当AB 与x 轴垂直时,122x x ==,求得(80)M ,,也满足上述方程.故点M 的轨迹方程是22(6)4x y --=.(II )假设在x 轴上存在定点点(0)C m ,,使CA CB 为常数, 当AB 不与x 轴垂直时,由(I )有212241k x x k +=-,2122421k x x k +=-. 以下同解法一的(II ).12.已知双曲线222x y -=的右焦点为F ,过点F 的动直线与双曲线相交于A B ,两点,点C 的坐标是(10),. (I )证明CA ·CB 为常数;(II )若动点M 满足CM CA CB CO =++(其中O 为坐标原点),求点M 的轨迹方程. 12.解:由条件知(20)F ,,设11()A x y ,,22()B x y ,. (I )当AB 与x 轴垂直时,可设点A B ,的坐标分别为(2,(2,, 此时(12)(12)1CA CB =-=-,,. 当AB 不与x 轴垂直时,设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±.代入222x y -=,有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=. 则12x x ,是上述方程的两个实根,所以212241k x x k +=-,2122421k x x k +=-, 于是212121212(1)(1)(1)(1)(2)(2)CA CB x x y y x x k x x =--+=--+--2222222(1)(42)4(21)4111k k k k k k k +++=-++--22(42)411k k =--++=-. 综上所述,CA CB 为常数1-.(II )解法一:设()M x y ,,则(1)CM x y =-,,11(1)CA x y =-,,22(1)CB x y =-,,(10)CO =-,,由CM CA CB CO =++得: 121213x x x y y y -=+-⎧⎨=+⎩,即12122x x x y y y+=+⎧⎨+=⎩, 于是AB 的中点坐标为222x y +⎛⎫ ⎪⎝⎭,. 当AB 不与x 轴垂直时,121222222yy y y x x x x -==+---,即1212()2y y y x x x -=--. 又因为A B ,两点在双曲线上,所以22112x y -=,22222x y -=,两式相减得12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+,即1212()(2)()x x x y y y -+=-. 将1212()2y y y x x x -=--代入上式,化简得224x y -=. 当AB 与x 轴垂直时,122x x ==,求得(20)M ,,也满足上述方程.所以点M 的轨迹方程是224x y -=. 解法二:同解法一得12122x x x y y y+=+⎧⎨+=⎩,……………………………………①当AB 不与x 轴垂直时,由(I ) 有212241k x x k +=-.…………………② 21212244(4)411k k y y k x x k k k ⎛⎫+=+-=-= ⎪--⎝⎭.………………………③由①②③得22421k x k +=-.………④ 241ky k =-.……………⑤当0k ≠时,0y ≠,由④⑤得,2x k y +=,将其代入⑤有2222244(2)(2)(2)1x y x y y x x y y +⨯+==++--.整理得224x y -=.当0k =时,点M 的坐标为(20)-,,满足上述方程.当AB 与x 轴垂直时,122x x ==,求得(20)M ,,也满足上述方程.故点M 的轨迹方程是224x y -=.13.设动点P 到点(10)A -,和(10)B ,的距离分别为1d 和2d ,2APB θ∠=,且存在常数(01)λλ<<,使得212sin d d θλ=.(1)证明:动点P 的轨迹C 为双曲线,并求出C 的方程;(2)过点B 作直线交双曲线C 的右支于M N ,两点,试确定λ的范围,使OM ON =0,其中点O 为坐标原点.13.解法一:(1)在PAB △中,2AB =,即222121222cos 2d d d d θ=+-,2212124()4sin d d d d θ=-+,即122d d -==<(常数),故点P 的轨迹C 是以A B ,为焦点,实轴长2a =的双曲线. 方程为:2211x y λλ-=-.(2)设11()M x y ,,22()N x y ,①当MN 垂直于x 轴时,MN 的方程为1x =,(11)M ,,(11)N -,在双曲线上.即2111101λλλλλ-=⇒+-=⇒=-,因为01λ<<,所以λ=.②当MN 不垂直于x 轴时,设MN 的方程为(1)y k x =-.由2211(1)x y y k x λλ⎧-=⎪-⎨⎪=-⎩得:2222(1)2(1)(1)()0k x k x k λλλλλ⎡⎤--+---+=⎣⎦,由题意知:2(1)0k λλ⎡⎤--≠⎣⎦, 所以21222(1)(1)k x x k λλλ--+=--,2122(1)()(1)k x x k λλλλ--+=--. 于是:22212122(1)(1)(1)k y y k x x k λλλ=--=--. 因为0OM ON =,且M N ,在双曲线右支上,所以2121222122212(1)0(1)121011231001x x y y k x x k x x λλλλλλλλλλλλλλλ-⎧+=⎧-⎧=⎪>⎪⎪⎪+-+>⇒⇒⇒<<+--⎨⎨⎨⎪⎪⎪>+->>⎩⎩⎪-⎩.23λ<. 14.已知正三角形OAB 的三个顶点都在抛物线22y x =上,其中O 为坐标原点,设圆C 是OAB △的内接圆(点C 为圆心)(I )求圆C 的方程;(II )设圆M 的方程为22(47cos )(7sin )1x y θθ--+-=,过圆M 上任意一点P 分别作圆C 的两条切线PE PF ,,切点为E F ,,求CE CF 的最大值和最小值.14.(I )解法一:设A B ,两点坐标分别为2112y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭,,2222y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭,,由题设知== 解得221212y y ==,所以(6A,(6B -,或(6A -,,(6B . 设圆心C 的坐标为(0)r ,,则2643r =⨯=,所以圆C 的方程为 22(4)16x y -+=. ······················································································· 4分解法二:设A B ,两点坐标分别为11()x y ,,22()x y ,,由题设知22221122x y x y +=+.又因为2112y x =,2222y x =,可得22112222x x x x +=+.即1212()(2)0x x x x -++=.由10x >,20x >,可知12x x =,故A B ,两点关于x 轴对称,所以圆心C 在x 轴上.设C 点的坐标为(0)r ,,则A 点坐标为32r ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,于是有2322r ⎫=⨯⎪⎪⎝⎭,解得4r =,所以圆C 的方程为22(4)16x y -+=. ······················································································· 4分(II )解:设2ECF a ∠=,则 2||||cos 216cos 232cos 16CE CF CE CF ααα===-. ·································· 8分在Rt PCE △中,4cos ||||x PC PC α==,由圆的几何性质得 ||||17PC MC +=≤18+=,||||1716PC MC -=-=≥, 所以12cos 23α≤≤,由此可得 1689CE CF --≤≤. 则CE CF 的最大值为169-,最小值为8-. 15.已知椭圆22132x y +=的左、右焦点分别为1F ,2F .过1F 的直线交椭圆于B D ,两点,过2F 的直线交椭圆于A C ,两点,且AC BD ⊥,垂足为P .(Ⅰ)设P 点的坐标为00()x y ,,证明:2200132x y +<; (Ⅱ)求四边形ABCD 的面积的最小值.15.证明:(Ⅰ)椭圆的半焦距1c ==,由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上,故22001x y +=,所以,222200021132222y x y x ++=<≤. (Ⅱ)(ⅰ)当BD 的斜率k 存在且0k ≠时,BD 的方程为(1)y k x =+,代入椭圆方程22132x y +=,并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=.设11()B x y ,,22()D x y ,,则2122632k x x k +=-+,21223632k x x k -=+2212221(1)()4BD x x kx x x x ⎡=-=++-=⎣; 因为AC 与BC 相交于点P ,且AC 的斜率为1k-, 所以,2211132k AC k⎫+⎪⎝⎭==⨯+ 四边形ABCD 的面积222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦≥. 当21k =时,上式取等号.(ⅱ)当BD 的斜率0k =或斜率不存在时,四边形ABCD 的面积4S =. 综上,四边形ABCD 的面积的最小值为9625. 16.在直角坐标系xOy 中,以O 为圆心的圆与直线4x =相切.(1)求圆O 的方程;(2)圆O 与x 轴相交于A B ,两点,圆内的动点P使PA PO PB ,,成等比数列,求PA PB 的取值范围.16.解:(1)依题设,圆O 的半径r 等于原点O 到直线4x =的距离,即 2r ==. 得圆O 的方程为224x y +=. (2)不妨设1212(0)(0)A x B x x x <,,,,.由24x =即得 (20)(20)A B -,,,.设()P x y ,,由PA PO PB ,,成等比数列,得2222(2)x x y -+=+, 即 222x y -=.由于点P 在圆O 内,故222242.x y x y ⎧+<⎪⎨-=⎪⎩, 由此得21y <. 所以PA PB 的取值范围为[20)-,.17.已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;(Ⅱ)若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ,B 两点(A B ,不是左右顶点),且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点,求证:直线l 过定点,并求出该定点的坐标.17.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)由题意设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>, 由已知得:3a c +=,1a c -=,2a ∴=,1c =,2223b a c ∴=-=. ∴椭圆的标准方程为22143x y +=. (Ⅱ)设11()A x y ,,22()B x y ,,联立22 1.43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩, 得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=, 又22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+, 因为以AB 为直径的圆过椭圆的右焦点(20)D ,,1AD BD k k ∴=-,即1212122y y x x =---, 1212122()40y y x x x x ∴+-++=,2222223(4)4(3)1640343434m k m mk k k k --∴+++=+++, 2291640m mk k ∴++=.解得:12m k =-,227k m =-,且均满足22340k m +->, 当12m k =-时,l 的方程为(2)y k x =-,直线过定点(20),,与已知矛盾;当227k m =-时,l 的方程为27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,直线过定点207⎛⎫ ⎪⎝⎭,. 所以,直线l 过定点,定点坐标为207⎛⎫ ⎪⎝⎭,. 18.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 交于A B ,两点,坐标原点O 到直线l,求AOB △面积的最大值. 18.解:(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c,依题意3c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩1b ∴=,∴所求椭圆方程为2213x y +=. (Ⅱ)设11()A x y ,,22()B x y ,.(1)当AB x ⊥轴时,AB .(2)当AB 与x 轴不垂直时,设直线AB 的方程为y kx m =+.2=,得223(1)4m k =+. 把y kx m =+代入椭圆方程,整理得222(31)6330k x kmx m +++-=,122631km x x k -∴+=+,21223(1)31m x x k -=+. 2422212121233(0)34196123696k k k k k k=+=+≠+=++⨯+++≤. 当且仅当2219k k =,即k =时等号成立.当0k =时,AB = 综上所述max 2AB =.∴当AB 最大时,AOB △面积取最大值max 12S AB =⨯=.19.设1F 、2F 分别是椭圆1422=+y x 的左、右焦点. (Ⅰ)若P 是该椭圆上的一个动点,求1PF ·2PF 的最大值和最小值;(Ⅱ)设过定点)2,0(M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ,且∠AOB 为锐角(其中O 为坐标原点),求直线l 的斜率k 的取值范围.19.解:(Ⅰ)解法一:易知2,1,a b c ===所以())12,F F ,设(),P x y ,则 因为[]2,2x ∈-,故当0x =,即点P 为椭圆短轴端点时,12PF PF ⋅有最小值2-当2x =±,即点P 为椭圆长轴端点时,12PF PF ⋅有最大值1解法二:易知2,1,a b c ===())12,F F ,设(),P x y ,则((22222211232x y x y x y ⎡⎤=++++-=+-⎢⎥⎣⎦(以下同解法一) (Ⅱ)显然直线0x =不满足题设条件,可设直线()()1222:2,,,,l y kx A x y B x y =-, 联立22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去y ,整理得:2214304k x kx ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭ ∴12122243,1144kx x x x k k +=-⋅=++ 由()2214434304k k k ⎛⎫∆=-+⨯=-> ⎪⎝⎭得:2k <或2k >- 又000090cos 000A B A B OA OB <∠<⇔∠>⇔⋅>∴12120OA OB x x y y ⋅=+>又()()()2121212122224y y kx kx k x x k x x =++=+++22223841144k k k k -=++++22114k k -+=+ ∵2223101144k k k -++>++,即24k < ∴22k -<<故由①、②得2k -<<或2k << 20.设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F A ,,是椭圆上的一点,212AF F F ⊥,原点O 到直线1AF 的距离为113OF .(Ⅰ)证明a =;(Ⅱ)求(0)t b ∈,使得下述命题成立:设圆222x y t +=上任意点00()M x y ,处的切线交椭圆于1Q ,2Q 两点,则12OQ OQ ⊥.20.(Ⅰ)证法一:由题设212AF F F ⊥及1(0)F c -,,2(0)F c ,,不妨设点()A c y ,,其中 0y >,由于点A 在椭圆上,有22221c y a b+=, 222221a b y a b-+=, 解得2b y a =,从而得到2b Ac a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,, 直线2AF 的方程为2()2b y x c ac=+,整理得 2220b x acy b c -+=.由题设,原点O 到直线1AF 的距离为113OF ,即 23c =将222c a b =-代入原式并化简得222a b =,即a =.证法二:同证法一,得到点A 的坐标为2b c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,,过点O 作1OB AF ⊥,垂足为H ,易知112F BC F F A △∽△由椭圆定义得122AF AF a +=,又113BO OF =,所以2212132F A F A F A a F A==-, 解得22a F A =,而22b F A a =,得22b a a =,即a =. (Ⅱ)解法一:圆222x y t +=上的任意点00()M x y ,处的切线方程为200x x y y t +=.当(0)t b ∈,时,圆222x y t +=上的任意点都在椭圆内,故此圆在点A 处的切线必交椭圆于两个不同的点1Q 和2Q ,因此点111()Q x y ,,222()Q x y ,的坐标是方程组20022222x x y y t x y b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ ① ②的解.当00y ≠时,由①式得 代入②式,得22220022t x x x b y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,即22224220000(2)4220x y x t x x t b y +-+-=, 于是2012220042t x x x x y +=+,4220122200222t b y x x x y -=+ 4220220022t b x x y -=+. 若12OQ OQ ⊥,则42242242220000121222222200000022232()0222t b y t b x t b x y x x y y x y x y x y ---++=+==+++. 所以,42220032()0t b x y -+=.由22200x y t +=,得422320t b t -=.在区间(0)b ,内此方程的解为3t =. 当00y =时,必有00x ≠,同理求得在区间(0)b ,内的解为t =.另一方面,当t =时,可推出12120x x y y +=,从而12OQ OQ ⊥.综上所述,(0)t b =∈,使得所述命题成立.21.如图,直线y kx b =+与椭圆2214x y +=交于A B ,两点,记AOB △的面积为S . (I )求在0k =,01b <<的条件下,S 的最大值;(II )当2AB =,1S =时,求直线AB 的方程.21.(Ⅰ)解:设点A 的坐标为1()x b ,,点B 的坐标为2()x b ,, 由2214x b +=,解得12x =±, 所以1212S b x x =-221b b =-2211b b +-=≤. 当且仅当2b =时,S 取到最大值1. (Ⅱ)解:由2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,,得22212104k x kbx b ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭, 2241kb ∆=-+,11||||AB x x =-22224214k b k -==+. ② 设O 到AB 的距离为d ,则21||S d AB ==,又因为d = 所以221b k =+,代入②式并整理,得 42104k k -+=,解得212k =,232b =,代入①式检验,0∆>, 故直线AB 的方程是y x =或y x =y x =+,或y x =- 22.如图,中心在原点O 的椭圆的右焦点为(30)F ,,右准线l 的方程为:12x =. (1)求椭圆的方程;(Ⅱ)在椭圆上任取三个不同点1P ,2P ,3P ,使122331PFP P FP P FP ==∠∠∠,证明:123111FP FPFP ++为定值,并求此定值. (第 题) 题(22)图22.解:(I )设椭圆方程为22221x y a b+=. 因焦点为(30)F ,,故半焦距3c =.又右准线l 的方程为2a x c=,从而由已知 221236a a c==,, 因此6a =,b ===. 故所求椭圆方程为2213627x y +=. (II )记椭圆的右顶点为A ,并设i i AFP α∠=(i =1,2,3),不失一般性, 假设1203απ<≤,且2123ααπ=+,3143ααπ=+. 又设点i P 在l 上的射影为i Q ,因椭圆的离心率12c e a ==,从而有 1(9cos )2i i FP α=- (123)i =,,. 解得1211cos 92i i FP α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(123)i =,,. 因此 11112311121243cos cos cos 9233FP FP FP ααα⎡⎤⎛ππ⎫⎛⎫⎛⎫++=+++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦, 而11124cos cos cos 33αααππ⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111111cos cos cos 022ααααα=--+=, 故12311123FP FP FP ++=为定值. 23.如题21图倾斜角为α的直线经过抛物线28y x =且与抛物线交于AB ,两点. (Ⅰ)求抛物线的焦点F 的坐标及准线l 的方程;(Ⅱ)若α为锐角,作线段AB 的垂直平分线答(22)图m 交x 轴于点P ,证明cos2FP FP α-为定值,并求此定值.23.(I )解:设抛物线的标准方程为22y px =,则28p =,从而4p =. 因此焦点02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,的坐标为(20),, 又准线方程的一般式为2p x =-. 从而所求准线的方程为2x =-.(II )解法一:如答21图作AC l ⊥,BD l ⊥,垂足分别为C D ,,则由抛物线的定义知 FA AC =,FB BD =.记A B ,的横坐标分别为A x ,B x , 则cos 222A p p p FA AC x FA α==+=++ cos 4FA α=+,解得41cos FA α=-. 类似地有4cos FB FB α=-,解得41cos FB α=+. 记直线m 与AB 的交点为E ,则1()22FA FB FE FA AE FA FA FB +=-=-=- 21444cos 21cos 1cos sin αααα⎛⎫=-= ⎪-+⎝⎭. 所以24cos sin FE FP αα==. 故222442sin cos 2(1cos 2)8sin sin FP FP ααααα-=-==·. 解法二:设()A A A x y ,,()B B B x y ,,直线AB 的斜率为tan k α=,则直线方程为(2)y k x =-.将此式代入28y x =得22224(2)40k x k x k -++=,故224(2)A B k x x k ++=. 记直线m 与AB 的交点为()E E E x y ,,则222(2)2A B E x x k x k +--=,4(2)E E y k x k=-=,故直线m 的方程为224124k y x k k k ⎛⎫+-=-- ⎪⎝⎭, 令0y =,得点P 的横坐标22244p k x k +=+,故2224(1)4sin P E k FP x x k α+=-==. 从而222442sin cos 2(1cos 2)8sin sin FP FP ααααα-=-==为定值.。

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