专题考案(2)数列板块 第3课 数列的求和(时间：90分钟 满分：100分)题型示例已知y =f (x )是一次函数，且f (2),f (5),f (4)成等比数列，f (8)=15,求S n =f (1)+f (2)+…+f (n )(n ∈N x)的表达式.分析 要求和，关键要先求出f (n ).解 由y =f (x )是一次函数可设f (x )=ax +b ,则f (2)=2a +b ,f (5)=5a +b ,f (4)=4a +b ,∵f (2),f (5),f (4)成等比数列，∴(5a +b )2=(2a +b )(4a +b ).∴17a 2+4ab =0,又∵a ≠0.∴a =-174b ① 又∵f(8)=15,∴8a +b =15 ②联立方程①、②解得a =4,b =-17,∴f (x )=4x -17.∴f (1),f (2),…,f (n )可看作是首项为-13,公差为4的等差数列.由等差数列前n 项和公式可求得S n =-13n +2)1(-n n ×4=2n 2-15n . 点评 此题渗透了函数思想，解题时要注意知识的横向与纵向之间的联系.一、选择题(9×3′＝27′)1．数列{a n }是等差数列的一个充要条件是 ( )A.S n =an +bB.S n =an 2+bn +cC.S n =an 2+bn (a ≠0)D.S n =an 2+bn2．设m =1×2+2×3+3×4+…+(n -1)·n ，则m 等于 ( ) A.3)1(2-n n B.21n (n +4) C.21n (n +5) D.21n (n +7) 3．若S n =1-2+3-4+…+(-1)n -1·n ，则S 17+S 33＋Ｓ50等于 ( )A.1B.-1C.0D.24．阅读下列文字，然后回答问题：对于任意实数x ,符号［x ］表示x 的整数部分，即［x ］是不超过x 的最大整数.函数［x ］叫做“取整函数”，也叫高斯函数.它具有以下性质：x -1<［x ］≤x <［x +1］.请回答:［log 21］+［log 22］+［log 23］+…+［log 21024］的值是( )A.1024B.8202C.8204D.92165．设{a n }为等比数列,{b n }为等差数列，且b 1=0,c n =a n +b n ,若数列{c n }是1,1,2,…,则{c n }的前10项和为 ( )A.978B.557C.467D.9796．1002-992+982-972+…+22-12的值是 ( )A.5000B.5050C.10100D.202007．若等比数列{a n }的前n 项和S n =2n +r ,则r 的值是 ( )A.2B.1C.0D.-18．已知S =1+ΛΛ++++22213121n，那么S 的范围是 ( ) A.(1,23) B.(23,2) C.(2,5) D.(5,+∞)9．已知数列{a n }的前n 项和S n =a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--⎥⎦⎤⎢⎣⎡---11)21)(1(2)21(2n n n b (n =1,2,…)，其中a ,b 是非零常数，则存在数列{x n }、{y n }使得 ( )A.a n =x n +y n ，其中{x n }为等差数列，{y n }为等比数列B.a n =x n +y n ，其中{x n }和{y n }都为等差数列C.a n =x n ·y n ，其中{x n }为等差数列，{y n }为等比数列D.a n =x n ·y n ，其中{x n }和{y n }都为等比数列二、填空题(4×3′＝12′)10．一个有xx 项且各项非零的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为 .11．若12+22+…+(n -1)2=an 3+bn 2+cn ，则a = ,b = ,c = .12．已知数列｛a n ｝的前n 项和S n =n 2-4n +1，则|a 1|+|a 2|+…+|a 10|= .13．数列,32161,1665,825,49,23…的前n 项和S n = . 三、解答题(9′＋3×10′＋12′＋10′＝61′)14．求和：1·n +2·(n -1)+3·(n -2)+…+(n -1)·2+n ·1. 15．求和：S n =)12)(12(7595343112+-++⨯+⨯+⨯n n n Λ. 16．已知数列{a n }的前n 项和S n =10n -n 2(n ∈N );数列{b n }的通项b n =|a n |,求数列{b n }的前n 项和T n .17．数列{a n }中，a 1=a ，前n 项和S n 构成公比为q 的等比数列．(q ≠1)(1)求证在{a n }中，从第2项开始成等比数列；(2)当a =250，q =21时，设b n =log 2|a n |,求|b 1|+|b 2|+…+|b n |． 18．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足:S n =2an +(-1)n ,n ≥1.(1)求证数列{a n +32(-1)n }是等比数列; (2)求数列{a n }的通项公式； (3)证明：对任意的整数m >4,有.8711154<+++m a a a Λ 19．求包含在正整数m 与n 间(m <n )的分母为3的所有不可约分数之和.参考答案1．D S n =na 1+22)1(d d n n =-n 2+(a 1-2d )n ，d 可以为0，对照知选D. 2．A a n =n 2-n .3．A S n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+)(2)(21为偶为奇n n n n4．C ［log 2N ］=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=<≤<≤<≤<≤101093222,1022,922,222,121,0N N N N N Λ故原式=0+1·(22-2)+2·(23-22)+…+9·(210-29)+10=9·210-(29+28+…+2)+10=8204,故选C.5．A 由题意可得a 1=1,设公比为q ,公差为d ,则⎩⎨⎧=+=+2212d q d q∴q 2-2q =0,∵q ≠0,∴q =2,∴a n =2n -1,b n =(n -1)(-1)=1-n,∴c n =2n -1+1-n,∴S n =978.6．B 并项求和，每两项合并，原式=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5050.7．D r 等于2n 系数1的相反数-1，选D.8．B .12112312)1(132121111123)1(14313211n S n n n n S n n n S -<<+-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-++•+•+<+-=+++•+•+>ΛΛ 9．C 由a n =S n -S n -1=a ［2-(21)n -1］-b ［2-(n +1)(21)n -1］-a ［2-(21)n -2］+b ［2-n ·(21)n -2］ =-(21)n -1a +a ·(21)n -2+b (n +1)·(21)n -1-bn (21)n -2=a ·(21)n -2［-(21)+1］+bn (21)n -2(21-1)+b (21)n -1=(a+b)·(21)n -1-bn (21)n -1 =［a +b (1-n )］(21)n -1=［a -(n -1)b ］·［21·(21)n -2］ 而a 1=S 1=a ［2-(21)0］-b ［2-2·(21)0］=a ,因此也适合上式. ∴x n =a -(n -1)b ,y n =21(21)n -2.选C. 10．10001001 设此数列{a n },其中间项为a 1001, 则S 奇=a 1+a 3+a 5+…+a xx =1001·a 1001,S 偶=a 2+a 4+a 6+…+a xx =1000a 1001.11．61;21;31- 原式=.6326)12()1(23n n n n n n +-=-•- 12．67 .)2(52)1(2⎩⎨⎧≥-=-=n n n a n 13．)211(2)1(n n n -++ a n =n +n 21. 14．解 a k =k ·［(n +1)-k ］=(n +1)k -k 2，∴S n =［(n +1)·1-12］+［(n +1)·2-22］+…+［(n +1)·n -n 2］=(n +1)(1+2+…+n )-(12+22+…+n 2)=(n +1)·612)1(-+n n n (n +1)(2n +1) =6)2)(1(++n n n . 15．解 a k =)121121(8141)12)(12(414114)12)(12(222+--+=+-+=-=+-k k k k k k k k k ， ∴S n =)12(2)1()1211(814++=+-++n n n n n . 16．解 可按如下三个层次进行:(1)由数列{a n }的前n 项和求a n .由a n =⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n得a n =11-2n (n ∈Nx ) (2)由a n 的正负确定{b n }的通项公式.易知,当n ≤5时,a n >0,则b n =a n ;当n ≥6时,a n <0,则b n =-a n∴b n =⎩⎨⎧≥-≤-)6(112)5(211n n n n (3)求数列{b n }的前n 项和T n当n ≤5时,因为b n =a n 所以T n =S n =10n -n 2;当n ≥6时,T n =a 1+a 2+a 3+…+a 5-(a 6+a 7+…+a n )=2S 5-S n =50-(10n -n 2)=n 2-10n +50.∴T n =.)6(5010)5(1022⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-n n n n n n 点评 数列{a n }与数列{|a n |}很多题目都有涉及,关键是把握两者的实质联系，我们分了三个步骤以方便同学们理清思路.17．(1)证明 由已知S 1=a 1=a ，S n =aq n -1,∴S n -1=aq n -2，∴当n ≥2时，a n =S n -S n -1=a (q -1)q n -2．∵n n a a 1+=q ,∴{a n }是当n ≥2时公比为q 的等比数列．(2)解 a 2=S 2-S 1=a (q -1),∴a n =.)2()1().1(2⎩⎨⎧≥-=-n q q a a a n ∴当a =250，q =21时，b 1=log 2|a |=50,当n ≥2时，b n =log 2|a n |=log 2|250(21-1)(21)n -2|=51-n . ∴b n =51-n (n ∈N )．①当1≤n ≤51时，|b 1|+|b 2|+…+|b n |=(51-1)+(51-2)+…+(51-n )=51n -(1+2+…+n )=51n -.2)101(2)1(n n n n -=+ ②当n ≥52时，|b 1|+|b 2|+…+|b n |=(50+49+48+…+1)+［1+2+3+…+(n -51)］=2)101(2)50)(51(25150-=--+⨯n n n n 18．(1)证明 由已知得a n =S n -S n -1=2a n +(-1)n -2a n -1-(-1)n -1(n ≥2),化简得 a n =2a n -1+2(-1)n -1(n ≥2),上式可化为 a n +32(-1)n =2［a n -1+32(-1)n -1］(n ≥2),∵a 1=1,∴a 1+32(-1)1=31. 故数列{a n +32(-1)n }是以31为首项，公比为2的等比数列. (2)解 由（1）可知a n +32(-1)n =321-n . ∴a n =31×2n -1-32(-1)n =32［2n -2-(-1)n ］,故数列{a n }的通项公式为 a n =32［2n -2-(-1)n ］. (3)证明 由已知得ma a a 11154+++Λ =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++++---m m m m )1(21631331151913123)1(21121121232232ΛΛ =)20110151311(21)21111151311(21ΛΛ+++++<+++++ =.871201051201041513)21(511513)21525234(21211)211(513421555=<=<⨯-=⨯-+=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+---m m m 故)4(8711154><+++m a a a m Λ 19．解 方法1 这些分数是.313,323,,353,343,323,313--++++n n m m m m Λ 显然它既非等比数列也非等差数列，但如果在适当的位置上分别添上)(33,333,,333,33*-+n n m m Λ 即成为)(33,313,323,333,,333,323,313,33**---+++n n n n m m m m Λ (xx)是一个有3n -3m +1项的等差数列，公差为31,首项是m ,末项是n , 其和为S =21(3n -3m +1)(m +n )而(x)是一个有n -m +1项的等差数列，公差为1,首末项分别为m ,n 其和S ″=21(n -m +1)(m +n ). 故适合条件的分数和为S =S ′-S ″=n 2-m 2.方法2 设S =(m +31)+(m +32)+…+(n -32)+(n -31)注意到与首末两项等距离的两项和相等，于是把上式倒序相加得:2S =.,)()()(22)(2m n S n m n m n m m n -=∴++++++-4444434444421Λ个。