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6、自动控制原理-传递函数汇总
L[ f (n) (t)] sn F (s) sn1 f (0) sn2 f (0) ... f (n1) (0)
⑶积分定理:(设初值为零)
L[
f
(t)dt]
F (s) s
⑷时滞定理:L[ f (t T )] e st f (t T )dt esT f (s) 0
C
i1
R1
ui
i2
R2
uO
1
C i1dt R1i1 R1i2 0 R1i2 R1i1 R2i2 ui R2i2 uO
1
( Cs
R1 ) I1 (s)
R1I 2 (s)
0
R1I1 (s) (R1 R2 )I2 (s) Ui (s)
R2 I2 (s) UO (s)
设线性定常系统(或环节)由下述n阶线性常微分方程描述
an
dn xo (t) dt n
an1
dn1xo (t) dt n1
a1
dxo (t) dt
a0 xo (t)
bm
dm xi (t) dt m
bm1
dm1xi (t) dt m1
b1
dxi (t) dt
k
例题2 求图示简单阻容电路的传递函数。
耗能元件
解:电路方程为
R
1
ui (t) R i(t) C i(t) dt
uo
(t)
1 C
i(t)
dt
ui (t)
RC
duo (t dt
)
uo
(t
)
ui
(t
)
经拉氏变换后
C uo(t) i(t)
阻容电路 储能元件
RCsU o (s) Uo (s) Ui (s)
系统传递函数为
G(s) Uo(s) 1 1 Ui (s) RCs 1 Ts 1
电路的 时间常数
T RC
例3
如图RLC电路, 试列写网络传递函数 Uc(s)/Ur(s). i(t) R L
ur(t)
C uc(t)
LC
d
2uc (t) dt 2
RC
duc (t) dt
uc
(t)
得到系统(或环节)传递函数的一般形式
G(s)
X o (s) Xi (s)
bmsm bm1sm1 b1s b0 ansn an1sn1 a1s a0
由此可知,只要知道系统微分方程,就可求出其传递函数。
即
G(s)
Lxo (t ) Lxi (t )
G(s) U0 (s) 1 1 Ts Ui (s) 1 Ts
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T R1R2C R1 R2
R1 R2
ur
(t)
解: 零初始条件下取拉氏变换:
LCs 2U c (s) RCsU c (s) U c (s) U r (s)
(LCs 2 RCs 1)Uc (s) Ur (s)
传递函数: G(s) U c (s)
1
U r (s) LCs 2 RCs 1
[例4] 求下图的传递函数
m
d
2 x0 (t dt 2
)
D
dx0 (t) dt
kx0 (t)
fi (t)
解:在零初始条件下,对上式两边取拉普拉斯变换,得
ms 2 X o (s) DsX o (s) kXo (s) Fi (s)
整理得到描述系统的传递函数
G(s)
Xo (s) Fi (s)
ms 2
1 Ds
传递函数
1
主要内容: 1. 传递函数的定义与性质 2.求法
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2
复习拉氏变换
F (s) f (t)est dt 0
F(s) L[ f (t)]
一个函数可以进行拉普拉斯变换的充分条件是:
1. t<0时,f(t)=0(因果系统);
2. t>=0时,f(t)分段连续;
⑸初值定理:lim f (t) lim sF (s)
t 0
s
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4
复习拉氏变换
⑹终值定理:lim f (t) lim sF (s)
Hale Waihona Puke t s0 ⑺卷积定理:L[
t 0
f1 (t
)
f2 ( )d ]
F1(s)F2 (s)
③常用函数的拉氏变换:
3.
f (t)est dt
0
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3
复习拉氏变换
②性质:
⑴线性性质:L[f1(t) f2 (t)] F1(s) F2 (s)
⑵微分定理:L[ f (t)] sF (s) f (0)
L[ f(t)] s2F (s) sf (0) f (0)
X o (s) X i (s)
Xo(s) Xi(s)G(s)
输入信号经系统(或环节)传递[乘以 G(s)],得到输出信号。
Xi(s)
G(s) Xo(s)
称G(s)为传递函数
传递函数分母中的最高阶次,等于输出量最高阶导数的阶次。
如果 s 的最高阶次等于n,则称这种系统为 n 阶系统。
例题1 已知系统微分方程,求其传递函数。
单位阶跃函数:f (t) 1(t), F(s) 1
单位脉冲函数:F (s)
L[
(t)]
s
1
单位斜坡函数:f (t) t, F(s) 单位抛物线函数:f (t) 1 t2, F
2
正弦函数:f (t) sint, F(s)
1 (ss2)
1 s3
s2 2
其他函数可以查阅相关表格获得。
b0 xi (t)
式中,n≥m。
当初始条件全为零,即:xi(t)和xo(t)及其各阶导数在 t=0 的值均为零时,对上式进行拉氏变换
an sn an1sn1 a1s a0 X o (s) bmsm bm1sm1 b1s b0 X i (s)
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5
1. 传递函数的定义与性质
定义: 线性定常系统的传递函数为零初始条件下,系统输 出量的拉氏变换与系统输入量的拉氏变换之比。
所谓零初始条件是指 1)输入量在t>0时才作用在系统上,即在 t 0 时系统输 入及各项导数均为零; 2)输入量在加于系统之前,系统为稳态,即在 t 0时系统 输出及其所有导数项为零。