高等数学（二）命题预测试卷（二）'、选择题（本大题共 5个小题，每小题4分，共20分。
在每个小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）A .B . 1 In 22C . 1D . In 25•设u _ xy zu 等于（)xA . zzxyB . xy z 1C . y z 1D . y zx 为)4.若 f (hx1、填空题：本大题共10个小题, ，则 11 •下列函数中，当 x —■ 1时，与无穷小量 （1 x ）相比是高阶无穷小的是（A . ln( 3 =x) C . cos(x 1) 2.曲线 y 3护：A . 处处单调减小C . 具有最大值x 3 - 2x 2 xD . x 21B •处处单调增加 D •具有最小值3•设f （x ）是可导函数，且 limx、f ( x o + 2h)f (x0)= 1，贝U f (X 0 )为( ) h1[f ( x)dx 10个空，每空4分，共40分，把答案填在6. 设 z —e xy 一 yx则'Z&(1,2 )x f ( x) __In x ，则 f (3厂则f (」)_ ______ +2在⑴“）内是（x题中横线上。
110. lim (1 _ 1 ) x2x1x sin 2xdx -11 cos2 x、解答题：本大题共 13小题，共90分，解答应写出推理、演算步骤。
斗0x的间断点.计算lim ,x2x 2 1x 一 016.（本题满分6 分)17.（本题满分6 分)11 .函数 f (x) - 1 (e 八e x ）的极小值点为12.若lim2x ax 一 4，则曲线y arctanx 在横坐标为1点处的切线方程为函数y 二•0sin tdt 在 X r处的导数值为求函数f （x ）arcta n 018. （本题满分6分）x) x 计算lim In arcs in x (1x 0123 •（本题满分6分）若f （ x ）的一个原函数为 xln x ,求 x f （ x ）dx .19 •（本题满分6分）设函数f (x)Xe x_ln(1 x)x 0 ，求 f ( x) • -1 x 020 •（本题满分6分）求函数y -sin （ x y ）的二阶导数.21 •（本题满分6分）求曲线f （x ） _x 42x 3的极值点.22 •（本题满分6分）x 3计算dx •24•（本题满分6分）1已知k dx _ _1，求常数k的值.1 x2 225.（本题满分6分）求函数f （x, y） - y 3 _x 2 6 x _12 y用5的极值.26 •（本题满分10分）求fJ（ x2+y）dxdy，其中D是由曲线y =x 2与x=・y 2所围成的平面区域.D27.（本题满分10 分）、 2 a a设f ( x) N - J f ( x)dx，且常数a 于-1，求证：f (x)dx0 028 •（本题满分10分）求函数y —lnX的单调区间、极值、此函数曲线的凹凸区间、拐点以及渐近x线并作出函数的图形.3 ——a3(a 1)参考答案1_ 1丄 In lim arcs in x lim (1 x) xx 0x 0'、选择题 1、填空题6. 2e 27. e31x-0逐 1比 二 (x 1)42sin2IE、解答题16 •解 这是一个分段函数，f ( x)在点x 二0的左极限和右极限都存在.lim f ( x)x 0-1 -lim a r c t a nx 0’x2117 •解 I i m f ( x) Tx 0lim f ( x) x ■ 0戸 I i ma r c t a ~n -^ —x o x 2 lim. f ( x)x 0故当* 0时，f (x)的极限不存在，点x-0是f ( x)的第一类间断点.原式二lim xx十V 2x — 1弋 ----- lim2 1 x :题1 1 xx 2_ 1 _ 21 2 -X 218 •解由于x - 0是初等函数In f (x) 的可去间断点， 故 lim In f (x) —In lim f ( x)x W 0x 0'〔 1In lim a r c s xi n(1 x) xx 01ln( 0 e) In e 1 ._ 1y - s i nx( y)1F JL JL J -JL.y - cos(x y)(1 y )_ c o sx( y) y c o sx( y) y _ ^sin( x y)(1 y ) y c o sx( y)cos( x y) y2s i nx( y)c o sx(■y) 3先在x 匸0时，分别求出函数各表达式的导数，即1111当 X 芬 0 时，f ( x)丄 xe x ):'至 x -^xe _ A1Z 1 二 e「X (1 x 21_ . x 1然后分别求出在x-0处函数的左导数和右导数，当 _1 x : 0 时，f(X) _ |ln( X f 1)]f (0) _ l i m___1 _ 1x —0 -x 』1二 1f( 0)「lim e x(1 —)£x f x 从而f 一(0广f (0)，函数在 x - 0处不可导.e 所以f ( x)-1x (1 二)x 11 cos(xy)豔一 sin( x y)(1 y一 一1 _ c o sx( y)代入②得yz . 1cos( x * y)cos(x + y) 1 +1 匕+ - 1 cos(x1 cos(x y)片脣 s i nxf y) (1 +y )又由①解得先出求f ( x) 的一阶导数：f ( x) - 4x36x 2- 4x2 (x - 3)2令 f ■( x 」0 即 4x 2 (x )=0 解得驻点为 X1= 0, x ^_3; •2 2再求出 f ( x)的二阶导数 f ( x) - 12x 2 — 12x-12x( x 1) •X 1二0不是极值点.当 X2—3 时，f (3)—9 0，故 f ( 3 )— 一 27 是极小值. 2 2二 时，二 ，当X 12 在(一，0)内，f (x)163送0，在(J 3)内f ( X)吒0 2总之曲线 f (x) _x42x 2只有极小值点22 •解3 3X X X XX2 1 X2 1x(x 2+ 1)- X xX2 1 _ X2 123 •解- f X3 dx =『(x_ ____ )dx 二f xdx _ [——dx…’x2册1 x 2+ 1 x 2槽1 =1 X 2 _4 0( x 2+ 1 — X2_J I n x(2+1) -C2 2x1 2 2由题设知 f (x)二(x In x) In x x(ln x)二In x 1故x f (x)dx 」[x(ln x 1)dx一x In x d x x d x-In x 1 dx 2 1 x 22 2In x x 2 - x2 d ( l nxj 1 X222In x x - 1 x? 1 dx 亠-仪 2 2 x 22x In x 1 xdx 1 1 x2J24 •解2 40 k o 12 dx 」k 21 x 1 x12 dx1 xctan x a°= k，一a r c t a)n "kdx "k lima故 k _ 1 解得k _ 1・2 2解• f ◎一2 x 6, f - 3y 2 — 122x 6 _ 0解方程组4得驻点A o (3,2), B o (3,-2)i 3y 2 —12 =0xy一 0,C 戸 f yy 冃 6 y对于驻点 A 0 : A 一 2, B - 0,C - 6y x 3一 12，故 B ? y 二 2AC240 ■驻点A 0不是极值点.对于驻点 B o : A 二一 2, B 0, C= 6y.3二 -12y — 2AC -24 0，又 A2 0 .函数f ( x, y)在B o (3, 2)点取得极大值f (3, 3) =「2) 3—9 亠18 + 24* 5= 30y -x 2与x- y 2得两曲线的交点为0(0,0)与A(1,1) -y 2 ( y 0)的反函数为 厂 x .1y) dxdy 一 dx 2 (x 2y)dy ：耳 F (x 2y - y0 x 0 2)2xdxx51(X“2 - x) ( x 42dx2 73 5 = (-X 27 +4 X 2- — x 5) 7 4 10aX2 - f ( x)dx dx - 0 a 0 - a 2 x dx-」|d 二 T x 30^ 3 a .■ a = —a I f ( x) dx f ( x)dx dx a[f (x)dx a-dxaf ( x) dxoa3(a 1)28 •解(1)先求函数的定义域为(0,：).in x(2)求y和驻点：y 1 ，令y ■ 0得驻点x e .x2(3)由y的符号确定函数的单调增减区间及极值., 1—in x当0<i x<e时，y'=——沪0，所以y单调增加;x当x e时，y ' 0 ，所以y单调减少.1为极大值.y由极值的第一充分条件可知y x e e(4 )求y并确定y的符号：yin x 3，3当0 • x e2时，y 0，曲线y为凸的;3当x》e2时，y、0，曲线y为凹的.3 3根据拐点的充分条件可知点(e 2 , - e 2 )为拐点.2这里的y和y的计算是本题的关键，读者在计算时一定要认真、另外建议读者用列表法来分析求解更为简捷，现列表如下:x(0,e) e _ 3(e,e2)3e2-32 +□<] (e2,)y+0 —仔细。
f ( x)dx a -就表上所给的y和y符号，可得到：in x函数y r——的单调增加区间为(0, e);In x函数y _ 的单调减少区间为(e「.)；xIn x函数y二的极大值为y(e)二1 ；x e3函数y —In x的凸区间为(0, e2)；x3函数y _ln x的凹区间为(e2，’ )；x3 3函数y _ln x 的拐点为(e2,3e 2 ).x 2(5) 因为lim In x _ 0 , lim In x三•xx x f+ x所以曲线y二In x有x水平渐近线y - 0铅垂渐近线x二0(6 )根据上述的函数特性作出函数图形如下图.1设f (x)二 arcsinx (1 x) x.。