华兴中学高2010级数学期末复习试卷（理）一．选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求．） 1.下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为（ ）C 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 34若复数（2.有5把钥匙，其中有2把能打开锁，现从中任取1把能打开锁的概率是（ ）B（A ）51 （B ）52 （C ））53（D ）213.设随机变量X 的分布列为P(X ＝i)＝ai2,i ＝1,2,3，则P(X ＝2)等于( ) C A.91 B.61 C.31 D.41 4.21(1)--n x 展开式中，二项式系数最大的项是（ ）DA ．第n -1项B ．第n 项C ．第n -1项与第n +1项D ．第n 项与第n +1项 5.在数字1, 2，3与符号＋，－五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是 （ ）BA ．6B ．12C ．18D ．24 6.已知某圆锥曲线C 的极坐标方程是22225916cos ρθ=+，则曲线C 的离心率为A ．45B ．53C ．35D ．457.将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动， 每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）A()A 12种 ()B 10种 ()C 9种 ()D 8种8.在8)1)(1(+-x x 的展开式中x 5的系数是（ ）BA ．14-B ．14C ．28-D ．289．某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有( ) DA ．16种B ．36种C ．42种D ．60种10.已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是（ ）AA.21y x =-B. y x =C.32y x =-D.23y x =-+11.已知f （x ）,g （x ）分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x<0时()()()()//0,f x g x f x g x +<()()()0,0 f f x g x =>且2则不等式的解集为（ ）D ()()()()()()()()2,02,;2,00,2;,22,;,20,2A B C D -⋃+∞-⋃-∞-⋃+∞-∞-⋃12、设a ∈R ，若函数3axy e x =+，x ∈R 有大于零的极值点，则（ ）B A ．3a >-B ．3a <-C ．13a >-D ．13a <-二．填空题（每题4分，共4题）13.一袋中有10个球，其中6个红球和4个白球（除编号外其它完全相同），不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸出红球的概率为_____． 5/914.直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t (t 是参数)被圆x2＋y2＝9截得的弦长等于__________．125 515.若函数32()1f x x x mx =+++ 是R 是的单调函数，则实数m 的取值范围是______________1,)3⎡+∞⎢⎣16.已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导数为f '(x )，f '(0)＞0，对于任意实数x ，都有f (x )≥0，则)0(')1(f f 的最小值为2 f '(x )＝2ax ＋b ，f '(0)＝b ＞0．由对于任意实数x ，都有f (x )≥0，得⎩⎨⎧≤->.04,02ac b a从而有a ＞0，b ＞0，c ＞0，b 2≤4ac ≤(a ＋c )2⇒b ≤a ＋c ， 所以2111)0()1(=+≥++=++=bca b c b a f f ’， 即)0()1(’f f 的最小值为2 三、解答题：（本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步聚．） 17.已知曲线1C 的参数方程是)(3sin y 2cos x 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的坐标系方程是2=ρ，正方形ABCD 的顶点都在2C 上， 且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3π（1）求点,,,A B C D 的直角坐标；（2）设P 为1C 上任意一点，求2222PA PB PC PD +++的取值范围。

【解析】（1）点,,,A B C D 的极坐标为5411(2,),(2,),(2,),(2,)3636ππππ点,,,A B C D的直角坐标为1,1)--（2）设00(,)P x y ；则002cos ()3sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数 2222224440t PA PB PC PD x y =+++=++ 25620sin [56,76]ϕ=+∈18.某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为54、53、52，且各轮问题能否正确回答互不影响. （Ⅰ）求该选手被淘汰的概率； （Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数数期望.（注：本小题结果可用分数表示）18.（Ⅰ）解法一：记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为(123)i A i =，，， 则14()5P A =，23()5P A =，32()5P A =， ∴该选手被淘汰的概率112223112123()()()()()()()P P A A A A A A P A P A P A P A P A P A =++=++ 142433101555555125=+⨯+⨯⨯=． （Ⅰ）解法二：记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为(123)i A i =，，， 则14()5P A =，23()5P A =，32()5P A =． ∴该选手被淘汰的概率1231231()1()()()P P A A A P A P A P A =-=-4321011555125=-⨯⨯=．（Ⅱ）ξ的可能值为123，，，11(1)()5P P A ξ===， 1212428(2)()()()5525P P A A P A P A ξ====⨯=，12124312(3)()()()5525P P A A P A P A ξ====⨯=．ξ∴的分布列为1812571235252525E ξ∴=⨯+⨯+⨯=． 19.某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1,2，…，8，其中X ≥5为标准A ，X ≥3为标准B.已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件．假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准．(1)已知甲厂产品的等级系数X 1的概率分布列如下所示：X 1,5,6,7,8P ,0.4,a,b,0.1且X 1的数学期望EX 1＝6，求a ，b 的值；(2)为分析乙厂产品的等级系数X 2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 34 6 3 4 75 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 56 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X 2的数学期望． (3)在(1)、(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．注：(1)产品的“性价比”＝产品的等级系数的数学期望产品的零售价；(2)“性价比”大的产品更具可购买性． 课标理数19.K6，K8[2011·福建卷] 【解答】 (1)因为EX 1＝6，所以5×0.4＋6a ＋7b ＋8×0.1＝6，即6a ＋7b ＝3.2.又由X 1的概率分布列得0.4＋a ＋b ＋0.1＝1， 即a ＋b ＝0.5. 由⎩⎪⎨⎪⎧ 6a ＋7b ＝3.2，a ＋b ＝0.5解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.3，b ＝0.2. (2)由已知得，样本的频率分布表如下：X 2,3,4,5,6,7,8f,0.3,0.2,0.2,0.1,0.1,0.1用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X 2的概率分布列如下：X 2,3,4,5,6,7,8P ,0.3,0.2,0.2,0.1,0.1,0.1所以EX 2＝3P (X 2＝3)＋4P (X 2＝4)＋5P (X 2＝5)＋6P (X 2＝6)＋7P (X 2＝7)＋8P (X 2＝8)＝3×0.3＋4×0.2＋5×0.2＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1 ＝4.8.即乙厂产品的等级系数X 2的数学期望等于4.8. (3)乙厂的产品更具可购买性，理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，所以其性价比为 66＝1.因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为4.84＝1.2.据此，乙厂的产品更具可购买性．20.已知1x =是函数3213()(1)532f x ax x a x =-+++的一个极值点, (1)求函数()f x 的解析式；(2)若曲线()y f x =与直线2y x m =+有三个交点,求实数m 的取值范围. 解: (1)∵3213()(1)532f x ax x a x =-+++,∴2'()31f x ax x a =-++.∴由题意可得2'(1)13110f a a =⋅-⋅++=,故1a =.∴函数()f x 的解析式为3213()2532f x x x x =-++.(2)令函数3213()()(2)532g x f x x m x x m =-+=-+-,则2'()3g x x x =-.令2'()30g x x x =-=可得0x =或3x =,又易知0x =是函数()g x 的极大值点,3x =是函数()g x 的极小值点. ∴函数()g x 的极大值为(0)5g m =-,极小值为1(3)2g m =-.故当1502m m ->>-,即152m <<时,曲线()y f x =与直线2y x m =+有三个交点.21.已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在区间[0，1]上是增函数，在区间(－∞，0)，(1，＋∞)上是减函数，且23)21('=f ． (1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[0，m ](m ＞0)上恒有f (x )≤x 成立，求m 的取值范围． 解：(1)f '(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由已知f '(0)－f (1)＝0，即⎩⎨⎧=++=,023,0c b a c 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==.23,0a b c∴f '(x )＝3ax 2－3ax ，232343)21('=-=∴a a f ，∴a ＝－2， ∴f (x )＝－2x 3＋3x 2．(2)令f (x )≤x ，即－2x 3＋3x 2－x ≤0，∴x (2x －1)(x －1)≥0，∴210≤≤x ，或x ≥1．又f (x )≤x 在区间[0，m ]上恒成立，∴⋅≤<210m 即m 的取值范围是]21,0(． 已知21()ln 2f x x m x =- (m ∈R)（１）若函数()f x 在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，求实数m 的取值范围； （２）当2m =时，求函数()f x 在[1,]e 上的最大，最小值。