模 拟 试 卷（一）一、填空题（每小题3分，共30分）1．有3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是 次的.2．设，，则=.，= ______.152210142-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A 342⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭x ∞A1x3．已知y =f (x )的均差（差商），，，01214[,,]3f x x x =12315[,,] 3f x x x =23491[,,]15f x x x =, 那么均差=.0238[,,] 3f x x x =423[,,]f x x x 4．已知n =4时Newton －Cotes 求积公式的系数分别是：则,152,4516,907)4(2)4(1)4(0===C C C ＝ .)4(3C 5．解初始值问题的改进的Euler 方法是阶方法；0(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩6．求解线性代数方程组的高斯—塞德尔迭代公式为，123123123530.13260.722 3.51x x x x x x x x x --=⎧⎪-++=⎨⎪++=⎩若取, 则.(0)(1,1,1)=- x(1)=x 7．求方程根的牛顿迭代格式是 .()x f x =8．是以整数点为节点的Lagrange 插值基函数，则01(), (),, ()n x x x 01, ,, ,n x x x =.()nk jk k x x =∑9．解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是.=Ax b (1)()k k +=+x Bx g 10．设，则的三次牛顿插值多项式为(-1)1,(0)0,(1)1,(2)5f f f f ====()f x ，其误差估计式为 .二、综合题（每题10分，共60分）1．求一次数不超过4次的多项式满足：，，()p x (1)15p =(1)20p '=(1)30p ''=，.(2)57p =(2)72p '=2．构造代数精度最高的形式为的求积公式，并求出10101()()(1)2xf x dx A f A f ≈+⎰其代数精度.3．用Newton 法求方程在区间内的根, 要求.2ln =-x x ) ,2(∞8110--<-kk k x x x 4．用最小二乘法求形如的经验公式拟合以下数据：2y a bx=+i x 19253038iy 19.032.349.073.35．用矩阵的直接三角分解法解方程组.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡71735 30103421101002014321x x x x 6 试用数值积分法建立求解初值问题的如下数值求解公式0(,)(0)y f x y y y '=⎧⎨=⎩，1111(4)3n n n n n hy y f f f +-+-=+++其中.(,),1,,1i i i f f x y i n n n ==-+三、证明题（10分）设对任意的，函数的导数都存在且,对于满足x ()f x ()f x '0()m f x M '<≤≤的任意，迭代格式均收敛于的根.20Mλ<<λ1()k k k x x f x λ+=-()0f x =*x 参考答案一、填空题1．5； 2. 8, 9 ; 3.； 4. ； 5. 二； 911516456. , (0.02，0.22，0.1543)(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)312(330.1)/5(220.7)/6(12)*2/7k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪=+-⎨⎪=--⎩7. ; 8. ; 9. ;1()1()k k k k k x f x x x f x +-=-'-j x ()1B ρ<10.32(4)11,()(1)(1)(2)/24(1,2)66x x x f x x x x ξξ+-+--∈-二、综合题1．差商表：11122151515575720204272152230781233234()1520(1)15(1)7(1)(1)(2)5432p x x x x x x x x x x =+-+-+-+--=++++其他方法：设233()1520(1)15(1)7(1)(1)()p x x x x x ax b =+-+-+-+-+令，，求出a 和b.(2)57p =(2)72p '=2．取，令公式准确成立，得：()1,f x x =,, , .0112A A +=011123A A +=013A =116A =时，公式左右；时，公式左, 公式右2()f x x =14=3()f x x =15=524=∴ 公式的代数精度.2=3．此方程在区间内只有一个根，而且在区间（2，4）内。

设) ,2(∞s 2ln )(--=x x x f 则， ，Newton 法迭代公式为xx f 11)('-=2''1)(xx f =， 1)ln 1(/112ln 1-+=----=+k k k k k k k k x x x x x x x x ,2,1,0=k 取，得。

30=x 146193221.34=≈x s 4． ，，.2{1,}span x Φ=2222111119253038T⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 19.032.349.073.3T ⎡⎤=⎣⎦y 解方程组，其中 ，TT =A AC A y 3330433303416082T⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A A 解得：1.416650.0504305⎡⎤=⎢⎥⎣⎦C 所以， .0.9255577a =0.0501025b =5．解 设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡443433242322434241323121020111113010342110100201u u u u u ul l l l l l 由矩阵乘法可求出和ij u ijl ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡10101211011111434241323121l l l l l l⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡21210102010201443433242322u u u u u u解下三角方程组 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡7173510101211014321y y y y 有，，，.51=y 32=y 63=y 44=y 再解上三角方程组 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡463521************x x x x 得原方程组的解为，，，.11=x 12=x 23=x 24=x 6 解 初值问题等价于如下形式，11()()(,())n xn x y x y x f x y x dx --=+⎰取，有，1n x x +=1111()()(,())n n x n n x y x y x f x y x dx +-+-=+⎰利用辛卜森求积公式可得.1111(4)3n n n n n hy y f f f +-+-≈+++三、证明题证明 将写成，()0f x =()()x x f x x λϕ=-@由于，所以()[()]1()x x f x f x ϕλλ'''=-=-|()||1()|1x f x ϕλ''=-<所以迭代格式均收敛于的根.1()k k k x x f x λ+=-()0f x =*x模 拟 试 卷（二）一、填空题（每小题3分，共30分）1．分别用2.718281和2.718282作数的近似值，则其有效位数分别有 位和位e ；2． 设，，则= ________，= .102110382-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A 131-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦x 1A 2x 3．对于方程组, Jacobi 迭代法的迭代矩阵是=________.⎩⎨⎧=-=-341015 22121x x x x J G 4．设，则差商=__________，=_______.1)(3-+=x x x f []3 ,2 ,1 ,0f []0, 1, 2, 3,4f 5．已知, 则条件数_________.1201⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ()Cond ∞A 6．为使两点的数值求积公式具有最高的代数精确度，则其求积1011()()()f x dx f x f x -=+⎰基点应为=__________， =__________0x 1x 7．解初始值问题近似解的梯形公式是0(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩1k y +≈8．求方程根的弦截法迭代公式是 ()0f x =9. 计算积分，取4位有效数字，用梯形公式计算求得的近似值是， 用辛卜1⎰生公式计算的结果是10．任一非奇异矩阵的条件数＝ ，其一定大于等于A ()Cond A ()Cond A 二、综合题（每题10分，共60分）1证明方程在区间有且只有一个根，若利用二分法求其误差不超过1sin x x -=[0,1]近似解，问要迭代多少次？41102-⨯2 已知常微分方程的初值问题：,1 1.2,(1)2dy xx dx yy ⎧=<<⎪⎨⎪=⎩试用改进的Euler 方法计算的近似值，取步长.(1.2)y 0.2h =3用矩阵的分解法解方程组 .TLDL 1233351035916591730x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦4 用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它与下列数据拟合.1y a bx=+x 1.0 1.41.82.2 2.6y0.9310.4730.2970.2240.1685 设方程组，试考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯－赛德尔迭代0.40.410.40.820.40.83x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩法的收敛性。

6按幂法求矩阵的按模最大特征值的近似值，取初始向量411132123-⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A ，迭代两步求得近似值即可.(0)(1,0,0)T =x (2)λ三、证明题（10分）已知求)0(>a a 的迭代公式为：2,1,00(2101=>+=+k x xa x x kk k 证明：对一切 ， 且序列是单调递减的，从而迭代过程收敛.1,2,,k = k x ≥k x 参考答案一、填空题1．6， 7； 2.; 3 . ; 4. 1, 0; 5. 9; 6.; ⎥⎦⎤⎢⎣⎡05.25.207. ;11[(,)(,)]2k k k k k hy f x y f x y ++++8. ； 9. 0.4268, 0.4309; 10. , 1111()()()()k k k k k k k f x x x x x f x f x +--=---1-A A 二、综合题1解令，则，，且()1sin f x x x =--(0)10f =>(1)sin10f =-<()1cos 0f x x '=--< 故在区间内仅有一个根.1sin x x -=[0,1]*x 利用二分法求它的误差不超过的近似解，则 41102-⨯*41111||1022k k x x -++-≤≤⨯解此不等式可得 4ln1013.2877ln 2k ≥=所以迭代14次即可.2、解：1002101(,)0.5,(,)0.571429,k f x y k f x y hk ===+=1012()20.1(0.50.571429) 2.10714292hy y k k =++=+⨯+=3 解 设 3112132221331323351135911591711l d l l d l d l l ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦利用矩阵乘法可求得，，，， ，13d =22d =323d =211l =3153l =322l =解方程组 得，1231101116530321y y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦123410,6,3y y y ===再解方程组 得.111122133531110126413d x d x d x ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦1231,1,2x x x ==-=4解 令，则容易得出正规方程组1Y y=Y a bx =+，解得 .5916.971917.835.3902a b ⎛⎫⎡⎤⎡⎤= ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦2.0535,3.0265a b =-=故所求经验公式为 .12.05353.0265y x=-+ 5 解（1）由于30.40.4()0.40.80.960.2560.40.8J f λλλλλλ==-+，(1)10.980.2560J f -=-++>(2)8 1.960.2560J f -=-++<所以在内有根且，故利用雅可比迭代法不收敛.()0J f λ=(2,1)--i λ||1i λ>（2）由于20.40.4()0.40.8(0.8320.128)0.40.8G f λλλλλλλλλλ==-+所以，故利用高斯－赛德尔迭代法收敛.()0.832G ρ<6 解 因为，故，(0)[1,0,0]T =x (0)1∞=@@x 且，.[](1)(0)4,1,1T==-yAx (1)(1)max()4y λ==从而得，，.(1)(1)(1)11/[1,,44T ∞==-@@x y y (2)(1)999[,,]244T ==-y Ax (2)(2)9max()2y λ==三、证明题 证明: 由于11(0,1,2,2k k kax x k x +=+≥= 故对一切，，又k k x ≥1211(1)(11)122k k k x a x x +=+≤+=所以 ，即序列是单调递减有下界，从而迭代过程收敛.1k k x x +≤{}k x模 拟 试 卷（三）一、填空题（每小题3分，共30分）1．设是真值的近似值，则有位有效位数，相对误差限为2.40315a = 2.40194x =a ；2． 若用二分法求方程在区间[1,2]内的根，要求精确到第3位小数，则需要对()0f x =分次。