第一讲数与式1、绝对值（1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即a,a0,| a | 0,a0,a, a0.（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．（3）两个数的差的绝对值的几何意义： a b 表示在数轴上，数 a 和数b之间的距离．2、绝对值不等式的解法（1）含有绝对值的不等式① f (x) a(a 0) ,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是 a f ( x) a 。

② f (x) a(a 0) ,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是 f (x) a或 f ( x) a 。

③ f (x) g ( x) f 2 ( x)g 2 (x) 。

（2）利用零点分段法解含多绝对值不等式：①找到使多个绝对值等于零的点．②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n 个零点把数轴分为n＋1段进行讨论．③将分段求得解集，再求它们的并集．例 1.求不等式3x 5 4 的解集例 2. 求不等式2x 1 5的解集例 3. 求不等式x 3 x 2 的解集例 4. 求不等式 | x＋ 2| ＋ | x－ 1| ＞ 3 的解集．例 5. 解不等式 | x－ 1| ＋ |2 －x| ＞ 3－x．例 6. 已知关于x 的不等式| x－5|＋| x－3|＜ a 有解，求 a 的取值范围．练习解下列含有绝对值的不等式：（1）x 1 x 3 ＞4+x（2） | x+1|<| x－2|（3） | x－ 1|+|2 x+1|<4（4）3x 2 7(5)5x 7 83、因式分解乘法公式（ 1）平方差公式( a b)( a b)a2b2（ 2）完全平方公式( a b) 2a22ab b2（ 3）立方和公式( a b)(a2ab b2 )a3b3（ 4）立方差公式( a b)(a2ab b2 )a3b3（ 5）三数和平方公式( a b c)2a2b2c22(ab bc ac)33223（ 7）两数差立方公式(a b)3a33a2b 3ab2b3因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例 1分解因式：（ 1）x2－3x＋ 2；（2）6x27 x2（ 3）x2(a b) xy aby2；（4）xy1 x y ．2．提取公因式法例 2. 分解因式：（ 1）a2b 5 a 5 b（ 2）x39 3x23x3．公式法例 3. 分解因式：（1）a416（ 2）3x 2 y2x y 24．分组分解法例 4. （ 1）x2xy 3y 3x（2）2x2xy y24x 5y65．关于x的二次三项式ax2+bx+c( a≠0)的因式分解．若关于 x 的方程ax2bx c0(a 0) 的两个实数根是x1、 x2，则二次三项式 ax2bx c(a0) 就可分解为a( x x1 )( x x2 ) .例 5. 把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1）x22x 1；（2）x24xy 4 y2．练习（1）x25x 6（ 2）x2a 1 x a（ 3）x211x18（4）4m212m9（5）57x6x2（6）12x2xy 6 y2（ 7 ）6 2 p q 211 q 2 p 38） a35a2 b 6ab 29 ）4 x22（（4x 2（10）x4 2 x21（ 11）x2y 2 a 2b22ax2by（12）a 24ab4 2 6 12b9(13)x2－2x－ 1b a（14）a31；（ 15）4x413x29 ；（16）b2c22ab 2ac 2bc ；（17）3x25xy 2 y2x 9 y4第二讲一元二次方程与二次函数的关系1、一元二次方程(1)根的判别式对于一元二次方程ax2＋ bx＋ c＝0（ a≠0），有:（ 1）当＞0 时，方程有两个不相等的实数根x＝ b b24ac；1， 22a（ 2）当＝ 0 时，方程有两个相等的实数根12b；x ＝ x＝－2a （3）当＜ 0 时，方程没有实数根．(2)根与系数的关系（韦达定理）如果 ax2＋ bx＋ c＝0（ a≠0）的两根分别是 x1， x2，那么 x1＋ x2＝b，x1·x2＝c．这一关系也被称为韦达a a定理．2、二次函数y ax2bx c 的性质1.当 a0 时，抛物线开口向上，对称轴为x b ，顶点坐标为 b ，4ac b 2。

2a2a4a2当x b时，y 随 x 的增大而减小；当x b时，y 随 x 的增大而增大；当x b时，y 有最小值4ac b。

2a2a 2 a4a2. 当 a0 时，抛物线开口向下，对称轴为xb ，顶点坐标为 b ，4ac b2。

当 x b时， y 随2a2a 4 a2ax 的增大而增大；当x b时， y 随 x 的增大而减小；当xb时， y 有最大值4acb2 2a2a4a.3、二次函数与一元二次方程：二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程 ax2bx c0 是二次函数 y ax2bx c 当函数值 y0时的特殊情况 .图象与 x 轴的交点个数：① 当b2 4 ac0时，图象与 x 轴交于两点A x1，0，B x2，0(x1x2 ) ，其中的 x1，x2是一元二次方程ax2bx c0 a0的两根。

这两点间的距离AB x2x1b24ac .a② 当0 时，图象与x轴只有一个交点；③ 当0 时，图象与x轴没有交点 .1'当 a0 时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有y0 ；2'当 a0 时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有y0 。

例 1. 若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋ 5x－3＝ 0 的两根．（ 1）求 | x1－x2| 的值；（2）求11331＋x2．x12x22的值；（ 3）x例2.函数y mx2x 2m（ m 是常数）的图像与x 轴的交点个数为（）Ａ．0个Ｂ． 1个Ｃ．2 个Ｄ．1个或 2个例 3.关于x 的方程mx2mx 5m 有两个相等的实数根，则相应二次函数y mx2mx 5 m 与 x 轴必然相交于点，此时 m．例 4 . 抛物线y x2(2m1)x6m 与x轴交于两点 ( x1，0) 和 (x2，0) ，若 x1x2x1 x249 ，要使抛物线经过原点，应将它向右平移个单位．例 5. 关于x的二次函数y2mx2(8m1)x 8m 的图像与 x 轴有交点，则m 的范围是（）Ａ． m1Ｂ． m≥1且 m 0 Ｃ． m1Ｄ． m1且 m 016161616练习1.一元二次方程 ax2＋bx＋ c＝0（a≠0）的两根为 x1和 x2．求：（1） | x－x| 和x1x23＋ x3122122. 如图所示，函数y(k2) x27 x ( k 5)的图像与 x 轴只有一个交点，则交点的横坐标x0．3. 已知抛物线y ax2bx c 与 y 轴交于C点，与 x 轴交于 A( x1，0) ， B(x2，0)( x1 x2 ) 两点，顶点 M 的纵坐标为4 ，若x1，x2是方程x22(m 1)x m27 0的两根，且 x12x2210 ．（1）求A，B两点坐标；（2）求抛物线表达式及点C坐标；4. 若二次函数y ax2 c ，当 x 取 x、 x（ x x ）时，函数值相等，则当x 取 x x 时，函数值为121212（）Ａ．a cＢ． a cＣ．cＤ． c5、已知二次函数y 1 x2bx c ，关于x 的一元二次方程 1 x2bx c0 的两个实根是1和 5，22则这个二次函数的解析式为第三讲一元二次不等式的解法1、定义：形如ax 2+ + ＞0（＞ 0）（或ax2+ + ＜0（＞ 0））的不等式bx ca bx ca做关于 x 的一元二次不等式。

2、一元二次不等式的一般形式：ax2+bx+c＞0（ a＞0）或 ax2+bx+c＜0（ a＞0）3、一元二次不等式的解集：=b2 -4 ac＞ 0=0＜ 0y y y =2+ +＞ 0y ax bx c（ a＞0）的图象x1 Oxx2O x1 (x2)xOxax2+bx+c=0（ a＞0）的根ax2+bx+c＞0（ a＞0）的解集ax2+bx+c＜0（ a＞0）的解集b b24acx =12ax2=bb24ac2ax＜ x1或 x＞ x2（x1＜ x2）x1＜ x＜ x2（x1＜ x2）x1= x 2=-b没有实数根2ax≠-b全体实数2a无解无解4、解一元二次不等式的一般步骤：（ 1）将原不等式化成一般形式ax 2+ + ＞0（＞0）（或ax2+ +＜ 0（＞ 0））；bx ca bx c a（2）计算=b2-4 ac；（3）如果≥ 0，求方程ax2+bx+c=0（a＞ 0）的根；若＜0，方程ax2+bx+c=0（a＞ 0）没有实数根；（4）根据上表，确定已经化成一般形式的不等式的解集，即为原不等式的解集。

例 1. 解下列不等式：（1） 4x2-4 x＞ 15；（2）-x2-2x+3＞0；（3）4x2-4x+1＜0例 2. 自变量 x 在什么范围取值时，函数y=-3 x2+12x-12的值等于0？大于0？小于0？例 3. 若关于x的方程x2- （m+1）x- m=0 有两个不相等的实数根，求m的取值范围。

练习1.解下列不等式：（1） 4x2-4 x＜ 15；（ 2） - x2-2 x+3＜ 0；（ 3） 4x2-4 x+1＞ 0（3） 4x 22＞ 0；（ 5）x（ 1- x）＞x（2x-3 ） +10 -20 x＜ 25；（ 4） -3 x +5x-42. 是什么实数时，关于x 的方程2- （1-） + =0 没有实数根？m mx m x m3. 已知函数y=12－ 3－3，求使函数值大于0 的x的取值范围。

42含参数的一元二次不等式的解法含参数的一元二次不等式的解法与具体的一元二次不等式的解法在本质上是一致的，这类不等式可从分析两个根的大小及二次系数的正负入手去解答.1.二次项系数含参数 a（按 a 的符号分类）例 1. 解关于x的不等式：ax2(a 2)x 10.例 2. 解关于x的不等式：ax25ax 6a 0(a0)2. 按判别式的符号分类例 3. 解关于x的不等式：x2ax 4 0.例 4. 解关于x的不等式：( m21)x24x 1 0.(m为任意实数 )3. 按方程ax2bx c0 的根x1, x2的大小分类。

例 5. 解关于x的不等式：x2(a1) x 1 0(a 0)a例 6. 解关于x的不等式：x25ax 6a20(a0)练习1. 解关于x的不等式：x 2(a 2) x a0.2.解关于 x 的不等式： ax2( a1) x 1 0.3.解关于 x 的不等式：ax2ax10.4.解关于 x 的不等式：(21)23 3 0a x ax第四讲一元高次不等式及分式不等式的解法1.一元高次不等式的解法1.可解的一元高次不等式的标准形式(x x1)( x x2 ) (x x n ) 0(0)（1）左边是关于x的一次因式的积；（2）右边是 0；（3）各因式最高次项系数为正。