基于直接线性变换算法的普通数码相机检校的应用研究孔 建 黄建魏 沈 周(西南交通大学 四川成都 610031 中铁十局 山东济南 520000) 摘要：本文采用直接线性变换（DLT ）算法，完成了普通数码相机检校的应用研究。

通过编程实验，解算普通数码相机在不同焦距情况下内方位元素（00,x y ,f ）以及畸变参数（径向畸变系数1k ，2k 、偏心畸变系数1p ，2p ），同时对直接线性变换方法中l 初值的问题给出解决方案。

提出了解决控制点布设在一个近似平面上解算l 系数初始值的方法，并且依据实验数据分析了在不同焦距下，相机内方位元素和光学畸变参数的变化情况。

关键字：直接线性变换；相机检校；径向畸变；偏心畸变AbstractIn this paper, to complete a common application of digital camera calibration by using the direct linear transformation algorithm. This paper have solved different elements of interior orientation （00,x y ,f ）and distortion parameters （Radinal Distortion 1k ，2k ,Decentering Distortion 1p ，2p ）of ordinary digital camera focal length by theprogramming experiments and meanwhile, put forward the solutions of the initial value problem in the direct linear transformation method. Proposed a solution in an approximate control points for solving plane initial value coefficient method, and analyzed the changes of the camera orientation elements and optical distortion parameters in the base of experimental data at different focal lengths.1 概述在数字摄影测量中，数字影像的获取，通常采用的是专业的摄影设备。

这些专业设备的价格昂贵，对非专业部门是无法应用的。

随着数码相机技术的发展与进步，普通数码相机在数字摄影测量领域中得到了广泛的应用，尤其是在近景数字摄影测量、无人机低空摄影测量的应用中，表现出了巨大的优势。

普通数码相机不仅价格便宜，且操作方便，是专业摄影机不能比拟的。

随着数码相机技术的不断进步，其像幅、分辨率不断提高，数码相机相对于专业摄影机的优势更加凸显。

数码相机是非量测相机，应用到数字摄影测量中有其自身的缺陷，例如其像主点位置是未知的；相机镜头存在较大的光学畸变等。

因此，为了保证影像的精度，获得可靠的测量结果，必须对数码相机的内方位元素及相关参数进行精确的检校确定。

非量测数码相机的内方位元素及相关参数检校的算法有很多，其中一种常用的方法是直接线性变换（DLT ）法。

该方法解算过程中无需内、外方位元素的初始值，故特别适用于非量测相机的检校。

其基本思想是在空间设置足够数量（大于等于6个）的控制点，用相机对控制点所在的目标进行摄影，最后将像点坐标和空间坐标代人直接线性变换的方程，引入光学畸变误差进行整体评差，即可解算出该相机的内外方位元素及相关参数。

2 非量测相机检校的内容和原理2.1 相机检校内容非量测像机检校的主要内容有：（1） 像主点位置（00,x y ）与主距f 的测定；（2） 光学畸变系数的测定，包括径向畸变系数（1k ，2k ）和偏心畸变系数（1p ，2p ）的测定；（3） 变焦后畸变差变化的测定； （4） 变焦后主距变化的测定； （5） 摄影机偏心常数的测定。

本文对摄影机检校研究的内容主要是内方位元素的检校和光学畸变参数的解算。

2.2非量测相机检校原理2.2.1 内方位元素的确定像片的内方位元素是恢复摄影时光束状态的要素；内方位元素确定了摄影中心S 与所摄像片P 相对位置关系，依据相对位置关系可以恢复摄影时光束的形状。

借助内方位元素可以确定摄影中心与所摄像片间的位置关系，即恢复光束（光线a S ，b S ，c S ）在摄影时候的形状。

由此可见，确定内方位元素对摄影测量来说是重要的一步。

理论上，像主点在底片（模拟影像）或者CCD （数字影像）的中心，但由于相机设计制造时的偏差，因此无论是量测相机还是非量测相机，像主点通常不与框标的连线或者像片中心重合，因此需要解算出像主点的偏差值（00,x y ）。

如图2—1。

若像主点在框标坐标系中的原点坐标为00,x y ，量测出来的像点坐标化算到以像主点为原点的像平面坐标系的坐标为（00,x x y y --）。

图2—1 内方位元素2.2.2 非量测相机的光学畸变差 （1） 径向畸变差（Radial Distortion ）径向畸变差使得构像点a 沿向径方向偏离其准确理想位置0a 。

设在主距为f 的标准像片0P 上，物方点A 的标准位置为0a ，实际构像于点a ，而且像方构像角'α与物方角α不等，如图2—3。

由图可知，径向畸变差与物方点的入射角α有关，影像上不同点位的畸变差，因其α角度的不一样而不同。

图2—2 径向畸变像点的径向畸变可以用如下奇次多项式来表达：2401224012......x k x k xr k xr y k y k yr k yr =+++=+++ （2—1）其中，x 和y 是以像主点为原点的像片面坐标。

本文进行径向畸变改正时候只考虑了1k ，2k ，因为0k 与焦距具有相同的影响，因此不能与焦距校准同时发生[1]。

1k ，2k 的精度取决于控制点的精度。

控制点像素坐标的量测精度应该高于0.2个像素才能用于相机校准[1]。

（2） 偏心畸变差（Decentering Distortion ）物镜系统的各单元透镜，因装配和震动偏离了轴线或者歪斜，从而引起像点偏离其理想位置。

如图2—4，当轴线偏离其设计轴线12o o 或者旋转了一个角度，影响将会产生变形。

图2—3 引起偏心误差的原因在近景数字摄影测量应用中，偏心畸变会随着焦距D 的变化而变化；而且不在焦距D 上的物点也存在偏心畸变差。

一般情况下，偏心畸变比径向畸变小，但是这样的畸变仍然不能忽视。

偏心畸变差的表达式如下：22102002220100[2()]2()()[2()]2()()D D x p r x x p x x y y y p r y y p x x y y ∆=+-+--∆=+-+-- （2—2）式中：,D D x y ∆∆——焦距为D 时的偏心畸变差分量；f ——焦距为D 时的摄影时的主距； 12,p p ——偏心畸变系数；r ——像点向径；00,x y ——是像主点坐标；图2—4即为径向畸变差r ∆和偏心畸变差t ∆对像点的共同影响。

图2—4 径向畸变和偏心畸变[1]2.2.3 不垂直性误差d β和比例尺不一误差ds当对数码相机进行量测时，像点坐标的改正数（,x y ∆∆）中还包含了坐标轴不垂直性误差d β和比例尺不一误差ds 。

如图2—5，像素坐标系c xy -是非直角坐标系，其两坐标轴之间的不垂直度为d β。

以像主点o 为原点有两个坐标系，分别是直角坐标系o x y -和非直角坐标系o xy -。

像主点的坐标为（0,0x y ）。

像点'p 在像素坐标系中的坐标是（,x y ），在非直角坐标系o xy -中的坐标为（'21,om om ）。

由于受d β和ds 的影响，此坐标包含线性误差。

点p 是点'p 的理想位置，它在o x y -中的坐标是（,x y ）；其中2x on =，1y on =。

假设x 向无比例误差，而y 方向比例尺规划系数为1+ds 。

此时x 向的主距为x f ，y 方向的主距y f 为：1xy f f ds=+ （2—3）图2—5 坐标不垂直性误差和比例误差比例尺误差ds 可以认为是所用的像素坐标系x 轴和y 轴的单位长度不一致及摄影材料的不均匀变形引起的。

不正交性误差d β认为像素坐标x 轴和y 轴的不垂直性引起的。

因此x ∆和y ∆的改正应为：00()sin ()x y y d y y y dsβ∆≈-∆≈- （2—4）3 直接线性变换解法非量测相机检校，常用的方法有光学实验室检校法，试验场检校法和在任检校法。

其中后面两种方法皆是依据物方空间分布一群合理的高质量控制点，并依据单片空间后方交会解法或者多片空间后方交会解法，解求像片内外方位元素及各类光学畸变系数。

本文所采用的方法是试验场检校法。

单片后方交会的解法主要有：基于共线条件方程式的单像空间后方交会、基于共面条件方程的空间后方交会解法、直接线性变化解法和基于角锥原理的空间后方交会解法。

基于共线条件方程式的单像空间后方交会解法缺点为解算前必须知道外方位元素的初始值，因而较适用于量测相机；基于共面条件方程的后方交会解法利用了像片间内在的几何关系，因而对控制点的要求比较少，但是这种解法精度稍低[2]。

基于角锥原理的空间后方交会，能够很好的避免控制点的构想范围较小时候，外方位元素的不稳定，但是这种解法比较复杂。

综合上述考虑，本文采用直接线性变（DLT ）的解法，该方法建立了像平面坐标和空间坐标之间的关系，计算中无需内外方位元素的初始值，因此特别适用于非量测相机的检校。

直接线性变换的模型如下：123491011567891011011l X l Y l Z l x l X l Y l Z l X l Y l Z l y l X l Y l Z ++++=+++++++=+++ （3—1）引入径向畸变差、偏心畸变差、坐标轴不垂直误差和比例尺误差并线性化后，其误差方程为：212349101110422201020025678910111042220100201[(()()[2()]2()())1[(()()2()()[2()])x y v l X l Y l Z l l Xx l Yx l Zx A k x x r Ak x x r p r x x p x x y y x v l X l Y l Z l l Xy l Yy l Zy A k y y r Ak y y r p x x y y p r y y y=-+++++++-+-++-+--+=-+++++++-+-+--++-+ （3—2）根据间接平差的原理，此误差方程式及其相应的法方程式可以写成：1()T T V ML W L M M M W-=-= （3—3）这个运算过程是一个迭代的过程，以x f 相邻两次迭代运算的差值是否小于0.01mm 作为判断。