m表示长度比， Vm表示长度变形
m ds '
ds
Vm m 1
= 0 不变 > 0 变大 < 0 变小
长度比是变量，随位置和方向的变化 而变化。
25
角度变形： 投影面上任意两方向线所夹之角与球面上
相应的两方向线夹角之差，称为角度变形。
以ω表示角度最大变形。
26
最大角度变形可用极值长度比a,b表示
B
c
a
A bC o
37
球面三角形的基本公式（基本定理）是：
（1）正弦公式：
sin a sin b sin c
sin A sin B sin C
B
（2）边的余弦公式：
cos a cos b cos c sin b sin c cos A cos b cos a cos c sin a sin c cos B cos c cos a cos b sin a sin b cos C
第2章 地图投影方法、变形和分类
2.1 地图投影的基本方法 2.2 地图投影的变形 2.3 球面极坐标及其换算 2.4 地图投影的分类
1
2.1 地图投影的基本方法
投影面：将地球表面的点、线、面投影于其上的承 受面
地图投影的原理是在原面与投影面之间建立点、线、 面的一一对应关系
地图投影的方法： 几何透视法 数学分析法
垂直于垂直圈的各圆，叫做等高圈， 其中通过球心的为大圆，其余为小圆。
✓方位角
过A点的垂直圈与过新极点的经线圈的交角， 为方位角。从意义上来看，方位角相当于。
球面极坐标系
✓天顶距
A点至新极点Q的垂直圈弧长，即天顶距。从形式上来看，
天顶距相当于。
34
于是，地球面上任一点A，它既可以 用地理坐标, 确定，也可以用球面 极坐标, Z来确定，而且两种坐标系 可以进行换算。
10
11
沿经线直接展开?
12
沿纬线直接展开?
13
沿经线直接展开?
14
沿经线直接展开?
15
§2.2 地图投影的变形
一、投影变形的概念 1. 投影变形产生原因——地球的形状
16
2. 投影变形的概念 地图投影不能保持平面与球面之间在
长度（距离）、角度（形状）、面积等方 面完全不变。
地球仪上经纬线网格和地图上比较:
特殊方向
长轴方向（极大值）a 主方向
短轴方向（极小值）b 经线方向 m ；纬线方向 n
据阿波隆尼定理，有 m2 + n2 = a2 + b2
m·n·sinq = a·b 22
结论：微分圆长、短半轴的大小，等于该点
主方向的长度比。也就是说，如果一 点上主方向的长度比（极值长度比）已经确 定，则微分圆的大小和形状即可确定。
sin a b
2 ab
实用上常以下公式求得：
tan(45 ) b
2
a
长度变形是各种变形的基础！
27
面积比和面积变形：
投影平面上微小面积（变形椭圆面积） dF′与球面上相应的微小面积（微小圆面积） dF之比。
P 表示面积比 Vp 表示面积变形
P dF ' πar *br a b
dF
B
c
a
A
bC
o
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（6）余切公式
ctga sin b cosb cosC sin CctgA ctga sin c cos c cos B sin BctgA ctgbsin c cos c cos A sin ActgB ctgbsin a cos a cos C sin CctgB ctgc sin a cos a cos B sin BctgC ctgc sin b cosb cos A sin ActgC
cos a ctgBctgC, cos B sin C cosb, cosC sin B cos c,
πr 2
Vp p 1
= 0 不变 > 0 变大 < 0 变小
P = a·b = m ·n (q = 90)（主方向和经向纬向一致） P = m ·n ·sin q (q≠ 90)（阿波隆尼定理）
面积比是变量，随位置的不同而变化。 28
2.3 球面坐标及其换算
球面坐标的意义和换算公式 地理坐标换算球面极坐标
为了简化投影公式的推导和计算工作，可以通过地理 坐标与球面极坐标的换算，仍然利用正轴投影公式， 就可以实现斜轴或横轴投影的计算以及经纬网的构成。
31
球面极坐标系的建立
通常根据制图区域的形状和地理位置，选择一个新极点
Q（0，0），球面上的各点便以新极点Q为原点，以方
位角和天顶距 Z 表示其位置，从而构成球面极坐标系。
B
c
a
A
bC
o
40
如果球面三角形中有一个角假设A是直角的话，它称为 直角球面三角形。用sinA=1，cosA=0和ctgA=0分别代入正 弦公式边的余弦公式，角的余弦公式和余切公式，则可以 依次得到：
sin b sin asin B, sin c sin asin C, cos a cos bcos C,
35
（2）由边正弦与邻角余弦之积的定理，有：
sin Z cos cos(90 ) sin(90 0 ) sin(90 ) cos(90 0 ) cos( 0 )
sin cos0 cos sin0 cos( 0 )
（3）由正弦定理，有：
化简得，
sin Z sin(90 )
sin( 0 )
（5）第二五元素公式：
sin Acos b cos B sin C sin B cos C cos a sin Acos c cos C sin B sin C cos B cos a sin B cos c cos C sin A sin C cos Acos b sin B cos a cos Asin C sin Acos C cos b sin C cos a cos Asin B sin Acos B cos c sin C cos b cos B sin A sin B cos Acos c
X
Y
代入： X2 + Y2 = R2，令R=1，得
X '2 m2
Y '2 n2
1
微小圆→变形椭圆
该方程证明: 地球面上的微小 圆，投影后通常会变为椭圆，即
以O'为原点，以相交成q角的两共
轭直径的坐标轴的椭圆方程式。 21
主方向（底索定律）：无论采用何种转换方法，球面
上每一点至少有一对正交方向线，在投影平面上仍 然保持其正交关系”。在投影后仍保持正交的一对 线的方向成为主方向。取主方向为作为微分椭圆的 坐标轴
（3）角的余弦公式：
cos A cos B cos C sin B sin C cos a cos B cos Acos C sin Asin C cos b cos C cos Acos B sin Asin B cos c
c
a
A
bC
o
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（4）第一五元素公式：
sin a cos B cos b sin c sin b cos c cos A sin a cos C cos c sin b sin c cos b cos A sin b cos C cos c sin a sin c cos a cos B sin b cos A cos a sin c sin a cos c cos B sin c cos A cos a sin b sin a cos b cos C sin c cos B cos b sin a sin b cos a cos C
x f1 (, )
y f 2 (, )
就是将参考椭球面上的元素（大地坐标、角度和 边长）按一定的数学法则化算到平面上的过程。
7
2.2 地图投影的变形
椭球面上的各点的大地坐标，按照一定的数学法 则，变换为平面上相应点的平面直角坐标，通常 称为地图投影。 ✓地理坐标为球面坐标，不方便进行距离、方位、 面积等参数的量算 ✓地球椭球体为不可展曲面 ✓地图为平面，符合视觉心理，并易于进行距离、 方位、面积等量算和各种空间分析
长度变 形
角度变 形
面积变形和 长度变形
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二、变形椭圆
取地面上一个微分圆（小到可忽略地球曲面 的影响，把它当作平面看待），它投影到平面上通 常会变为椭圆，通过对这个椭圆的研究，分析地图 投影的变形状况。这种图解方法就叫变形椭圆。
X ' m 为经线长度比 Y ' n 为纬线长度比
X
Y
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X'm Y'n
地球曲面转换成地图平面，不仅仅存在着比例尺变换，而且还存在着投影转换的问题
8
地图投影，简单的说就是将参考椭球面上的元素 （大地坐标、角度和边长）按一定的数学法则化 算到平面上的过程。
x y
ff12((LL,,BB))
9
地图投影的基本思想是，先将参考椭球面上的点 化算到投影面上（可展曲面），再将投影面沿母 线切开展为平面。 从本质上讲，地图投影就是按一定的条件确定大 地坐标和直角坐标之间的一一对应关系。
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球面经纬网经过投影之后，其几何特征 受到扭曲——地图投影变形：长度（距离）、 角度（形状）、面积。
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地图投影的变形
地图投影中不可避免地存在着变形，建立一个投影时 不仅要建立（x,y)与( ,)之间的关系，而且要研究投 影变形的分布与大小。地图投影的变形主要体现在：
长度变形 面积变形 角度变形
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球面坐标系的意义
正轴投影以地理坐标，为参数，投影经纬网形状比较 简单，计算方便。但在使用上受到地理位置的限制。例 如，正轴方位投影只适用于两极地区，正轴圆柱投影适 用于赤道附近地区，正轴圆锥投影适用于沿纬线延伸的 中纬度地区。