山东省潍坊市2019-2020学年第二学期高二期末考试数学试
题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．已知复数z 满足z (
)2i i -=，则z =（ ）
A ．
4255
i + B ．
4255i - C ．
4233
i + D ．
4233
i - 2．下列求导运算正确的是（ ） A ．()cos sin x x '=
B
．
'=C ．()ln 1ln x x x =+'
D ．211x x e e x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝
⎭ 3．已知平面α，β，则//αβ的一个充分条件是（ ） A ．平面α内有无数条直线与β平行 B ．平面α内有两条相交的直线与β平行 C ．平面α，β平行于同一条直线
D ．平面α，β垂直于同一平面
4．已知x m =时，函数()3
12f x x x =-取得极大值，则m =（ ） A ．4-
B ．2-
C ．4
D ．2
5．老师想要了解全班50位同学的成绩状况，为此随机抽查了10位学生某次考试的数学与物理成绩，结果列表如下：
若这10位同学的成绩能反映全班的成绩状况，且全班成绩服从正态分布，用实线表示全班数学成绩分布曲线，虚线表示全班物理成绩分布曲线，则下列正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．欧拉是一位杰出的数学家，为数学发展作出了巨大贡献，著名的欧拉公式：
cos sin i e i θθθ=+，将三角函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数
的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.结合欧拉公式，
复数4121i i z e i
π
-=+在复平面内对应的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二条限
C ．第三象限
D ．第四象限
7．已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的侧棱长为4，底面为矩形且面积为4，一小虫从C 点出发沿直棱柱侧面绕行一周后到达1C 点，则小虫爬行的最短路程为（ ）
A ．8
B ．
C ．
D ．8．在桌面上有一个正四面体D ABC -.任意选取和桌面接触的平面的三边的其中一条边，以此边为轴将正四面体翻转至另一个平面，称为一次操作.如图，现底面为ABC ，且每次翻转后正四面体均在桌面上，则操作3次后，平面ABC 再度与桌面接触的概率为（ ）
A ．
2
3
B ．
13
C ．
29
D ．
227
9．已知复数z 的共轭复数为z ，且1zi i =+，则下列结论正确的是（ ）
A ．1z +=
B ．z 虚部为i -
C ．202010102z =-
D ．2z z z +=
10．掷一个均匀的硬币6次，每次掷出正面的概率均为2
3
，恰好出现k 次正面的概率记为k P ，则下列说法正确的是（ ） A ．15P P =
B ．15P P <
C ．
6
1
1k
k P
==∑
D ．0P ，1P ，2P ，
，6P 中最大值为4P
11．给出定义：若函数()f x 在D 上可导，即()f x '存在，且导函数()f x '在D 上也可导，则称()f x 在D 上存在二阶导函数，记()()()
f x f x '''=，若()0f x ''<在D 上
恒成立，则称()f x 在D 上为凸函数.以下四个函数在0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
上是凸函数的是（ ）
A ．() sin cos f x x x =+
B ．()ln 2f x x x =-
C ．()3
21f x x x =-+-
D ．()x
f x xe =
12．已知直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，1AB BC BB ==，D 是AC 的中点，
O 为1A C 的中点.点P 是1BC 上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A ．当点P 运动到1BC 中点时，直线1A P 与平面111A
B C
B ．无论点P 在1B
C 上怎么运动，都有11A P OB ⊥
C ．当点P 运动到1BC 中点时，才有1A P 与1OB 相交于一点，记为Q ，且
11
3
PQ QA = D ．无论点P 在1BC 上怎么运动，直线1A P 与AB 所成角都不可能是30°
13
．6
x ⎛ ⎝
的展开式的常数项是________（用数字作答）
14．若函数()ln f x ax x =-在区间()0,1上是减函数，则实数a 的取值范围是________. 15．一个家庭中有三个小孩，假定生男、生女是等可能的.已知这个家庭中有一个是男孩，则至少有一个女孩的概率是________.
16．在棱长为6的正方体空盒内，有四个半径为r 的小球在盒底四角，分别与正方体底面处交于某一顶点的三个面相切，另有一个半径为R 的大球放在四个小球之上，与四个小球相切，并与正方体盒盖相切，无论怎样翻转盒子，五球相切不松动，则小球半径
r
的最大值为________；大球半径R 的最小值为________.
17．在①z 为实数，②z 为虚数，③z 为纯虚数，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.
已知复数：(
)(
)
2
2
21z m m m i =--+- （1）若________，求实数m 的值；
（2）当z 在复平面内对应的点位于第三象限时，求m 的取值范围.
18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，E ，F 分别为AD ，
PB 的中点.
（1）求证：//EF 平面PCD ；
（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，90APD ∠=︒，1PA PD AB BD ====，求四棱锥P ABCD -的体积.
19．已知函数()(
)()2
2
23x
f x x ax a a e
x R =+-+∈，其中23
<a . （1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间与极值.
20．根据国家质量监督检验检疫局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》（GB 19522—醉酒驾车的测试2004）中规定，饮酒驾车是指车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或着等者20mg/100ml ，小于80mg/100ml 的驾驶行为；醉酒驾车是指车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于80mg/100ml 的驾驶行为，两者都属于酒驾行为.为将酒驾危害降至最低，某市交警支队决定采用不定时查车的办法来减少酒驾的发生，下表是该交警支队5个月内检查到酒驾的人数统计表:
（1）请利用所给数据求酒驾人数y 与月份x 之间的回归直线方程y bx a =+； （2）预测该市7月份的酒驾人数.
参考公式：11
2
22
1
1
()()
()n
n
i i
i
i i i n
n
i
i
i i x y
nx y x
x y y b x
nx
x
x ====---=
=
--∑∑∑∑，a y bx =-.
21．已知三棱台111A B C ABC -，111224AB AC AA A B ====，160A AB ∠=︒，
90CAB ∠=︒，1BB AC ⊥，E 为线段AB 的中点.
（1）证明：1AC B E ⊥；
（2）求直线CE 与平面1
1AC E 所成角的正弦值；
（3）试判断在线段BC 上是否存在一点F （点F 不与B 、C 重合），使二面角
11F AC E --为30°
？若存在，求出CF
CB
的值；若不存在，说明理由.
22．受新冠肺炎疫情影响，本学期同学们在家上网课时间达三个多月，电脑屏幕代替了黑板，对同学们的视力造成了很大的损伤.某学校为了了解同学们现阶段的视力情况，对全校高三1000名学生的视力情况进行了调查，从中随机抽取了100名学生的体检表，绘制了频率分布直方图如图：
（1）求a的值，并估计这1000名学生视力的中位数（精确到0.01）；
（2）为了进一步了解视力与学生成绩是否有关，对本年级名次在前50名与后50名的学生进行了调查，得到如下数据：
根据表中数据，能否有95%把握认为视力与学习成绩有关？
（3）若报考某高校某专业的资格为：视力不低于5.0，以该样本数据来估计全市高三学生的视力，现从全市视力在4.8以上的同学中随机抽取4名同学，这4名同学中有资格报该校该专业的人数为X，求X的分布列及数学期望.。