2021年九年级数学中考复习专题之圆:切割线定理综合运用(一)一.选择题1.P是⊙O外一点,PA切⊙O于A,割线PBC交⊙O于点B、C,若PB=BC=3,则PA的长是()A.9 B.3 C.D.182.如图,PA切⊙O于点A,PBC是⊙O的一条割线,且PA=2,BC=2PB,那么PB 的长为()A.2 B.C.4 D.3.如图,⊙O的两条割线PAB,PCD分别交⊙O于点A,B和点C,D.已知PA=6,AB=4,PC=5,则CD=()A.B.C.7 D.244.如图,已知P为⊙O外一点,PO交⊙O于点A,割线PBC交⊙O于点B、C,且PB =BC,若OA=7,PA=4,则PB的长等于()A.B.C.6 D.5.如图,PA切⊙O于点A,PBC是⊙O的割线,如果PB=2,PC=8,那么PA的长为()A.2 B.4 C.6 D.6.如图,在▱ABCD中,过A、B、C三点的圆交AD于E,且与CD相切.若AB=4,BE =5,则DE的长为()A.3 B.4 C.D.7.如图,在以O为圆心的两个同心圆中,A为大圆上任意一点,过A作小圆的割线AXY,若AX•AY=4,则图中圆环的面积为()A.16πB.8πC.4πD.2π8.如图,A、B、C、D为⊙O上的点,直线BA与DC相交于点P,PA=2,PC=CD=3,则PB=()A.6 B.7 C.8 D.99.以半圆中的一条弦BC(非直径)为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D,若,且AB=10,则CB的长为()A.B.C.D.410.如图,从圆O外一点P引圆O的两条切线PA,PB,切点分别为A,B.如果∠APB =60°,PA=8,那么点P与O间的距离是()A.16 B.C.D.二.填空题11.如图,⊙O的半径为,A、B两点在⊙O上,切线AQ和BQ相交于Q,P是AB 延长线上任一点,QS⊥OP于S,则OP•OS=.12.如图,过点P引圆的两条割线PAB和PCD,分别交圆于点A,B和C,D,连接AC,BD,则在下列各比例式中,①;②;③,成立的有(把你认为成立的比例式的序号都填上).13.如图,割线PAB与⊙O交于点A、B,割线PCD与⊙O交于点C、D,PA=PC,PB=3cm,则PD=cm.14.如图,过⊙O外一点P作两条割线,分别交⊙O于A,B和C,D.已知PA=2,PB =5,PD=8,则PC的长是.15.如图,AC为⊙O的直径,PA是⊙O的切线,切点为A,PBC是⊙O的割线,∠BAC 的平分线交BC于D点,PF交AC于F点,交AB于E点,要使AE=AF,则PF应满足的条件是(只需填一个条件).三.解答题16.如图,AB是⊙O的直径,C是AB延长线上的一点,CD是⊙O的切线,D为切点,过点B作⊙O的切线交CD于点E.若AB=CD=2,求CE的长.17.如图所示,⊙O的内接△ABC的AB边过圆心O,CD切⊙O于C,BD⊥CD于D,交⊙O于F,CE⊥AB于点E,FE交⊙O于G.解答下列问题:(1)若BC=10,BE=8,求CD的值;(2)求证:DF•DB=EG•EF.18.如图1,已知Rt△ABC的直角边AC的长为2,以AC为直径的⊙O与斜边AB交于点D,过D点作⊙O的切线(1)求证:BE=DE;(2)延长DE与AC的延长线交于点F,若DF=,求△ABC的面积;(3)从图1中,显然可知BC<AC.试分别讨论在其它条件不变,当BC=AC(图2)和BC>AC(图3)时,直线DE与直线AC还会相交吗?若不能相交,请简要说明理由;若能相交,设交点为F'且DF'=,请再求出△ABC的面积.19.已知:如图,PF是⊙O的切线,PE=PF,A是⊙O上一点,直线AE、AP分别交⊙O 于B、D,直线DE交⊙O于C,连接BC,(1)求证:PE∥BC;(2)将PE绕点P顺时针旋转,使点E移到圆内,并在⊙O上另选一点A,如图2.其他条件不变,在图2中画出完整的图形.此时PE与BC是否仍然平行?证明你的结论.20.如图PAB、PCD是⊙O的两条割线,AB是⊙O的直径.(1)如图甲,若PA=8,PC=10,CD=6.①求sin∠APC的值;②sin∠BOD=;(2)如图乙,若AC∥OD.①求证:CD=BD;②若,试求cos∠BAD的值.参考答案一.选择题1.解:∵PB=BC=3,∴PC=6,∵PA2=PB•PC=18,∴PA=3,故选:C.2.解:设PB=x,则PC=3x,∵PA2=PB•PC,PA=2,BC=2PB,∴x•3x=12,∴x=2.故选:A.3.解:由于PAB、PCD都是⊙O的割线,根据切割线定理可得:PA•PB=PC•PD,即PA•(PA+PB)=PC•PD,∵PA=6,AB=4,PC=5,∴PD=12,即CD=PD﹣PC=7;故选:C.4.解:延长PO交圆于D;设PB=BC=x,∵PB•PC=PA•PD,PB=BC,OA=7,PA=4,∴x•2x=72,∴x=6.故选:C.5.解:∵PA切⊙O于点A,PBC是⊙O的割线,∴PA2=PB•PC=16,即PA=4;故选:B.6.解:连接CE;∵,∴∠BAE=∠EBC+∠BEC;∵∠DCB=∠DCE+∠BCE,由弦切角定理知:∠DCE=∠EBC,由平行四边形的性质知:∠DCB=∠BAE,∴∠BEC=∠BCE,即BC=BE=5,∴AD=5;由切割线定理知:DE=DC2÷DA=,故选:D.7.解:过点A作圆的切线AD,切点是D,∵AD2=AX•AY,AX•AY=4,∴AD=2,∴圆环的面积=πAD2=4π.故选:C.8.解:∵PB,PD是⊙O的割线,∴PA•PB=PC•PD,∵PA=2,PC=CD=3,∴2PB=3×6解得:PB=9.故选:D.9.解:如图,若,且AB=10,∴AD=4,BD=6,作AB关于直线BC的对称线段A′B,交半圆于D′,连接AC、CA′,可得A、C、A′三点共线,∵线段A′B与线段AB关于直线BC对称,∴AB=A′B,∴AC=A′C,AD=A′D′=4,A′B=AB=10.而A′C•A′A=A′D′•A′B,即A′C•2A′C=4×10=40.则A′C2=20,又∵A′C2=A′B2﹣CB2,∴20=100﹣CB2,∴CB=4.故选:A.10.解:连接OA,OP∵PA,PB是⊙O的切线,∠APB=60°,∴∠OPA=∠APB=30°,OA⊥OP,∴OP===,∴点P与O间的距离是.故选:B.二.填空题(共5小题)11.解:连接OQ交AB于M,则OQ⊥AB,连接OA,则OA⊥AQ.∵∠QMP=∠QSP=90°,∴S,P,Q,M四点共圆,故OS•OP=OM•OQ.又∵OM•OQ=OA2=2,∴OS•OP=2.故答案为:2.12.解:∵四边形ABCD是圆内接四边形∴∠PAD=∠C,∠PAD=∠B∴△PAD∽△PCB根据相似三角形的对应边的比相等,得到②③是正确的.13.解:∵PA•PB=PC•PD,PA=PC,PB=3cm∴PB=PD=3cm.14.解:∵PA•PB=PC•PD,PA=2,PB=5,PD=8∴PC==.15.解:∵∠PAC=90°,∠ABC=90°,∴90°﹣∠AFP=90°﹣∠BEP,∴∠APF=∠CPF,∴PF平分∠APC.三.解答题(共5小题)16.解:如图,由切割线定理,得CD2=CB•CA,(2分)CD2=CB(AB+CB),CB2+2CB﹣4=0,解得CB=(负数舍去)连接OD,则OD⊥CD,又EB与⊙O相切,∴EB⊥OC,∴Rt△ODC∽Rt△EBC,(6分)于是,即∴CE=.17.(1)解:∵AB为直径,BD⊥CD∴∠ABC+∠A=90°,∠CBD+∠BCD=90°∵CD为⊙O切线∴∠BCD=∠A∴∠ABC=∠BCD∵CD⊥BD,CE⊥BE∴CE=CD∴CE==6∴CD=6(2)证明:∵CD为切线,BD为割线∴CD2=DF•DB①∵∠ACB=90°,CE⊥AB∴RT△ACE∽RT△CBE∴CE2=EA•EB②∵EG•EF=EA•EB③由①②③及CD=CE得DF•DB=EG•EF.18.(1)证明:连接OD,∴OD⊥DE,∴∠ADO+∠BDE=90°,∵OA=OD,∴∠A=∠ADO,∵∠ACB=90°,∴∠B+∠A=90°,∴∠B=∠BDE,∴BE=DE;(2)解:在直角三角形ODF中,OD=1,DF=,∴∠OFD=30°,∴OF=2,AF=3.∴tan∠A=,∴BC=AC•tan∠A=2×tan30°=.S△ABC=AC•BC=×2×=;(3)解:如图,当BC=AC时,直线DE与直线AC平行;当BC>AC时,在直角三角形ODF′中,OD=1,DF′=,∴∠OF′D=30°,∴OF′=2,AF=1,∴CF′=3,∠BAC=60°,∴tan∠BAC=,∴BC=AC•tan∠BAC=2×tan60°=2.S△ABC=AC•BC=×2×2=2.19.(1)证明:∵PF与⊙O相切,∴PF2=PD•PA.∵PE=PF,∴PE2=PD•PA.∴PE:PD=PA:PE.∵∠APE=∠APE,∴△EPD∽△APE.∴∠PED=∠A.∵∠ECB=∠A,∴∠PED=∠ECB.∴PE∥BC.(2)解:PE与BC仍然平行.证明:画图如图,∵△EPD∽△APE,∴∠PEA=∠D.∵∠B=∠D,∴∠PEA=∠B.∴PE∥BC.20.解:(1)作OE⊥CD于E,连接OC,作DF⊥PB于F.①根据垂径定理,得CE=3.设圆的半径是r.根据勾股定理,得OP2﹣PE2=OC2﹣CE2,(8+r)2﹣169=r2﹣9,解得r=6.则OE=3.则sin∠APC==;②设OF=x.根据勾股定理,得PD2﹣PF2=OD2﹣OF2,256﹣(14+x)2=36﹣x2,解得x=.所以DF=.所以sin∠BOD===.(2)①∵AC∥OD,∴∠1=∠2.又OA=OD,∴∠2=∠3.∴∠1=∠3.所以弧CD=弧BD,所以CD=BD;②∵AC∥OD,∴=.又CD=BD,AB=2OA,∴=.∴cos∠BAD==.。