, 故 lim Sn 不存在.
n
a 综上所述: 当公比 | r | < 1 时, 等比级数收敛；S 。 1 q 当公比 | r | 1 时, 等比级数发散.
该结论需要记忆，用于判定各种等比数列是否 收敛
基本性质
性质 1 若级数

un 收敛，其和为 s，则 n 1


级数 kun 亦收敛，且其和为 ks.
如果部分和数列 sn 有极限 s , 即 lim sn s 则
n
称无穷级 数

un 收敛,这时极限 s 叫做级数 n 1


un 的和，并记作 s un n 1 n 1
如果sn 没有极限,则称无穷级数
u
n 1

n 发散.
即 常数项级数收敛(发散) lim sn 存在(不存在)
ln(n 1) ln1 ln(n 1)
lim S n lim ln( n 1)
n n

上级数发散
例
aqn 1 的敛散性. 讨论等比级数
n 1

解
等比级数的部分和为：
a(1 q n ) S n aqk 1 1 q k 1
n
a a (1 q n ) , 当公比 | r | < 1 时, nlim S n nlim 1 r q 1 q
收敛的必要条件
级数
u 收敛 lim un 0. n
n 1 n

证明 设
n
n1
un s 则 un sn sn1 ,
n n

lim un lim sn lim sn1 s s 0.
逆否命题成立：
lim un 0
上级数收敛
例：判断级数 2 3 ... n ...是否收敛 1
n( n 1) (等差数列求和公式 ) 解：部分和 n S 2
n n lim S n lim n n 2
2
上级数发散
1 1 1 1 例：判断级数 ... ...是否收敛 1 2 2 3 3 4 n (n 1)

上述级数发散
解：上述数列的通项有 规律可循
1 1 1 an n(n 1) n n 1
1 1 1 1 1 1 1 1 部分和 S n ( ) ( ) ( ) ... ( ) 1 1 1 2 2 3 3 4 n n 1 n 1
1 关系 lim S n lim(1 ) 1 (无穷小与无穷大的互逆 ) n n n 1
上级数收敛
2 3 4 n 1 例：判断级数 ln ln ln ... ln ...是否收敛 1 2 3 n A 解：上述数列的通项可 用公式 ln ln A ln B化简 B
n 1 an ln ln( n 1) ln n n
部分和Sn (ln 2 ln1) (ln 3 ln 2) (ln 4 ln 3) ... (ln(n 1) ln n)
n 1
性质 2 设两收敛级数 s

un , vn ,则级数 n 1 n 1
(un vn )收敛,其和为 s . n 1
2 (1) 例：判断级数 3n n 1

n 1
是否收敛

2 (1) n1 解：上述级数可以分为 两个部分 n 和 3 n1 3n n 1 2 1 3n 是公比为3 的等比数列; n 1

n 1 2 n ; n 1

cos n cos1 cos 2 cos n . n 1
例
sin x sin 2 x sin 3x ... sin nx ... 通项是收敛与发散:
(1) n1 1 3n 是公比为 3 的等比数列; n 1

1 1 5 3 3 上级数收敛 和为 1 1 4 11 - (- ) 3 3
性质： 在一个级数的前面加上或者去掉有限项后,
所得到的新的级数与原级数的敛散性相同.
性质： 对收敛的级数加括号后所得到的新级数仍
然收敛, 且其和不变.
a 。 此时等比级数收敛, 其和为： S 1 q
a (1 q n ) . 当公比 | r | > 1 时, nlim Sn nlim 1 q
当公比 r =1时,
n
lim Sn lim na .
n
当公比 r = 1时, S = n
a, n为奇数 0, n为偶数
9.1 级数的概念与性质
级数的基本概念 级数的收敛和发散 级数的基本性质 收敛的必要条件
无穷级数的定义
设有数列 {un}: 则称表达式

u1 , u2 , …, un , …
un u1 u2 un n 1
简称为级数.
为一个无穷级数,
称
un 为级数的一般项或通项.
n
级数
u 发散
n 1 n

n 例：判断级数 (1) 的敛散性。 2n 1 1 2 , n 2k n n 0 解： (1) lim n 2n 1 1 , n 2k 1 2
n
由 lim un 0
n
级数
u 发散
n 1 n
n
1 1 1 例：判断级数 1 ... n ...是否收敛 2 4 2
分析：判断收敛即指是 否有和
1 n 1[1 ( ) ] 1 n 2 解：S n 2[1 ( ) ] 1 2 1 2 1 上式中n lim S n lim 2 n 1 ） 2 （ n n 2
注：和以前学习的数列区别在于项数。
若级数 un 的每一项un 均为常数,
n 1

则称该级数为常数项级 . 数
若级数的每一项均为同 一个变量的 函数 : un un ( x), 则称级数 un ( x) 为函
n 1
数项级数.
例

下列各式均为常数项级数
1 1 1 1 2n 2 4 2n ; n 1