数列求和
特殊数列求和
1.可化为等差数列等比数列自然数列的求和
1）{}12+n 的前100项和为_____________, 2) =++++n
a a a 21__________ 3) 求9，99，999，9999，….的前100项和 4）求{
}
12-+n n
的前2m 的和
5）已知}{n a ，601-=a ，31+=+n n a a ，求数列}{n a 的前30项的绝对值的和 6）在数列{
}
)12()1(+-n n
中，求301713S S S -+ 7）求{
}
)34()1(--n n
的前n 项和
8）已知[]
n
n n a )1(2---=，求n S
9）一个数列}{n a ，当n 为奇数时15+=n a n ，当n 为偶数时n
n a 2=，求这个数列的前
2n 项的和。

（二）裂项求和
1) 求)
1(1431,321,211+⨯⨯⨯n n 的前n 项和 2) 求)
12)(12(1751531311+-++⨯+⨯+⨯n n 3) )
23)(13(11071741411+-++⨯+⨯+⨯n n
4) 1
1
23(31)(31)i
n
i i i +=--∑ 5) {}n a 是正项的等差数列，
1
3
22
1111+++
+++
+n n a a a a a a
6)
11!22!33!!n n ++++
(三)错位相减法
1．求数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧-n
n 212的前n 项和
2．已知n n x a x a x a x a x f ++++= 33221)(（*
N n ∈），且n a a a a 321,,构成一个
数列，又2
)(n x f =
求数列}{n a 的通项公式；证明：1)3
1(<f 。

3．1
n
i n
i i C
=∑
4．1
2
n
i
i n i C =∑
练习：1。

将数列})
2
1{(1
-n 按如下分组： （1）；（41,21）；（32
1
,161,81）；…….....
问：（1）第一组到第k 组共有几个数？ （2）第k 组中的首数和尾数各为多少？ （3）求第k 组各数之和及前k 组各数之和？
2．设}{n a 首项为11=a ，且)2,0(3)32(31≥>=+--n t t S t tS n n （1）求证：}{n a 为等比数列
（2）设数列}{n a 公比为)(t f ，作数列}{n b ；11=b ，)1(
1
-=n n b f b 求：n b
（3）求和11
433221)1(+--+-+-n n n b b b b b b b b
3已知等比数列{}n a 的各项均为正数，q ≠1,数列{}n b 满足7120,5,b b ==且
351
1221()log ()log ()log 0a a a n n m n n m n n m b b b b b b ++++-+-+-=
（1）求数列的通项
（2）12......N n S b b b =+++求n S
（4）等比数列{}n a 中，211,0,0+++=>>n n n a a b q a ，{}n a }{n b 前n 项和分别为n n B A ,，比较n n B A ,的大小。

（5）数列}{n a 为等差数列0≠d ，{}n a 中的部分项组成数列
n k k k k a a a a ,,,,321 ，恰为等比数列，其中17,5,1321===k k k ，求n k k k ++21
（6）设*,N b a ∈，{}n a 是首项为a ,}{n b 为首项为b ，公比为a 的等比数列，
且满足11b a <32a b << ①求a 的值， ②对于某项m a 存在n b ，使n m b a =+1成立，求b 及 m 与n 的关系。

③在}{n a 中，对满足②的项,求前k 项的和.
（7）四个正数，前三个数等差，其和为48，后三个数等比，最后一个数为25，求此四个数
（8）已知二次函数()y f x =的图象经过坐标原点，其导函数为/()62f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)n n S *()n N ∈均在函数()y f x =的图象上。

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设13n n n b a a +=
，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20
n m
T <对所有*()n N ∈都成立的最小正整数m
（9）{a n }为等差数列， 则有n
a a a
b n
n +++=
21也为等差，类比上述性质，
相应地若}{n c 是等比且0>n c ，则有=n d ______________也为等比数列。

1．在数列}{n a 中，9,1
1=++=n n S n n n a 项和若其前，则项数n 为
（ ） A ．9
B ．10
C ．99
D ．100
2．数列1，（1+2），（1+2+22），…，（1+2+22+…+2
n －1
），…的前n 项和等于（ ）
A ．n n -+1
2
B ．22
1
--+n n C ．12--n n D ．22--n n
3．设5033171
,)1(4321S S S n S n n ++⋅-++-+-=-则 =
（ ）
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
4．数列1，
项和为的前n n
+++++++ 3211
,,3211,211
（ ） A ．
1+n n B ．
1
2+n n
C ．
)
1(2
+n n
D ．
)
1(4
+n n
5．数列{n a }的前n 项和=+++-=2
2221,12n n n a a a S 则( ）
A ．2
)12(-n B ．)12(3
1-n C ．14-n
D ．)14(3
1-n
6．数列{n a }的通项公式为,,1421n
a a a
b n a n
n n +++=-= 令则数列{n b }的前n 项
和为（ ）
A ．2
n B ．)2(+n n C ．)1(+n n D ．)12(+n n
7．数列 ,32
1
6,1615
,814,413,212,1的前10项之和为
8．若==+++-+++n n n 则,2219)
2(42)12(312
22222 9．已知{n a }的前n 项和||||||,1410212
a a a n n S n ++++-= 则的值为。