带根号的函数最值问题
数学中，求函数最值本身是一块很难很重要的内容。

当函数解析式中出现根号的时候，难度会加大。

这里，就高中范围内出现的带根号的函数最值问题小小地总结一下。

1. 单调性一致情况
y x = （x ∈[1,2]）
分析：这个函数，分成两部分。

x 也是增的。

这个函数y x =+
于是，最大值最小值就在端点时取到。

min max y 12y ==
2.单调性不一致的根号中一次项情况
y x =+ (x ∈[0,1])
分析：单调性不一致，首先考虑换元法
2[0,1]),x=1-t ∈
max min 3,14
y y ==
3．根号中出现二次项情况
y x =（x ∈[-1,1]）
分析：单调性很难判断。

这时候首先考虑换元法
方法一：三角换元
我们知道，三角函数cos θ、sin θ的范围本身就是[-1,1]，代入以后可以一可以用三角公式进行运算，开阔思路，二则去掉根号，简化运算。

设x=cos θ,这里为了确定范围，不失一般性，设[0,]θπ∈,
利用1-2cos θ=sin 2θ,去掉根号很方便。

cos sin )4
y x θθπ
θ=+=+=+
值域就是[-
方法二：移项平方
这是我们自初中以来所谓的去根号的最“喜欢”的方法。

但有时候，它是那么的吃力不讨好。

y x y x =+-=两边平方 222y 21xy x x -+=-+注意到这里平方的条件是y ≥x
222x 210yx y -+-=
由于x 存在，判别式大于等于0
22248(1)
840
[y y y y =--=-≥∈V
但要注意到，y ≥x ，于是有y ≥-1
[y ∈-
方法三：求导
求导属于暴力流，但是往往是在你绝望的时候唯一能抓的稻草。

本文大部分题目可以用求导解决。

221'11y
x x y x =+-+=-
-+ 令y ’≥0
解得2[1,]2
x ∈-，不过这个过程颇为艰辛 于是易得[1,2]y ∈-
4.双根号明显数形结合的情况
221(4)16y x x =++-+求最小值
分析：明显可以看作两点间距离公式类型。

这类题难度不大。

但要注意，当括号内平方是展开状况的时候，要学会主动去配方发现。

看作点（x,0）到点（0,1）和(4,4)两点距离之和
如图，在AC 线段上显然最小。

即取x=1时，有
min 5y =
5.涉及圆锥曲线定义情况
6=
分析：这类题就是很典型的圆锥曲线定义
这里，双曲线22
1916
x y -=的右半支，即为题设。

那么这里y 的范围就很清晰 (,)y ∈-∞+∞
题目也可以考x 的范围，那就是[3,)+∞
6.较难的圆锥曲线思路。

y x =
分析：导数自然可以尝试，换元法是有些不方便。

这里介绍一种圆锥曲线数形结合的解法， 我们这里把坐标系看作 横轴x 轴，纵轴p 轴,，至于y 就看作常数。

y x -=
看成两个曲线的交点
第一个曲线是p=x y -+，第二条曲线是
第一条曲线就是斜率为-1的，纵截距为y 的一条直线
第二条曲线，进行一定化简
222243(2)1
p p x x p x ==-+--=-
即22
(2)1x p --=
这事实上就是一条双曲线，只是中心是（2，0）
那我们把渐近线也画出来。

这里渐近线的斜率也是-1，
-+,结合图像可知，纵截距y的范围是
那么对于直线p=x y
⋃+∞
[1,2)[3,)
7.三个根号构造向量情况
222222
=-+-+++-+-求最小值
(2)(1)(32)(23)(3)(32)
y a b a b a b
注意到2,32,3a a a -+-的和是定值8
1,23,32b b b -+-的和为6
那么，看作(2,1),(32,23),(3,32)a b a b a b --++--
三个向量，（或者是点），画个草图
最小值即为10
8.三个根号内部一次单调性不一致情况
2713y x x x =+-分析：这是一道数学竞赛题。

难度颇大。

首先，最大值是可以用柯西不等式求得,我们考虑消去x ，并且取到等号
211(273(13)2)(1)32
y x x x ≤++-+++ 11y ≤
max 11,y =当且仅当x=9时取等号
求最小值的历程比较痛苦，求导似乎可以一试这里考虑将后面两个根号合并
y
y
=
=
x=0时两个根号同时取到最小值
min
y=
9.总结
解决该类带根号的函数最值问题时，一般是按以下顺序考虑
（1）。

单调性
（2）。

数形结合
（3）。

换元（包括三角换元）
（4）。

求导
（5）。

移项平方判别式（少用！）
（6）。

创新思路：分母有理化/分子有理化/构造对偶式/合并根号
另外，一旦提到根式，一定不能忘记，定义域优先！
根号最值问题较为麻烦，上面所述的例题不多，同学们如果要想熟练掌握，就一定要做大量的练习。