立体几何解答题的建系设点问题一、基础知识：（一）建立直角坐标系的原则：如何选取坐标轴1、z 轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即z 轴要与坐标平面xOy 垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即为z 轴与底面的交点2、,x y 轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考： （1）尽可能的让底面上更多的点位于,x y 轴上（2）找角：,x y 轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件 （3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直+底面两条线垂直），这个过程不能省略。

3、与垂直相关的定理与结论： （1）线面垂直：① 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直 ② 两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直 ③ 两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直 ④ 直棱柱：侧棱与底面垂直 （2）线线垂直（相交垂直）：① 正方形，矩形，直角梯形② 等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一） ③ 菱形的对角线相互垂直④ 勾股定理逆定理：若222AB AC BC +=，则AB AC ⊥ （二）坐标的书写：建系之后要能够快速准确的写出点的坐标，按照特点可以分为3类 1、能够直接写出坐标的点（1） 坐标轴上的点，规律：在哪个轴上，那个位置就有坐标，其余均为0（2）底面上的点：坐标均为(),,0x y ，即竖坐标0z =，由于底面在作立体图时往往失真，所以要快速正确写出坐标，强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考 2、空间中在底面投影为特殊位置的点：如果()'11,,A x y z 在底面的投影为()22,,0A x y ，那么1212,x x y y ==（即点与投影点的横纵坐标相同）由这条规律出发，在写空间中的点时，可看下在底面的投影点，坐标是否好写。

如果可以则直接确定了横纵坐标，而竖坐标为该点到底面的距离。

以上两个类型已经可以囊括大多数几何体中的点，但总还有一些特殊点，那么就要用到第三个方法： 3、需要计算的点① 中点坐标公式：()()111222,,,,,A x y z B x y z ，则AB 中点121212,,222x x y y z z M +++⎛⎫⎪⎝⎭，图中的,,,H I E F 等中点坐标均可计算② 利用向量关系进行计算（先设再求）：向量坐标化后，向量的关系也可转化为坐标的关系，进而可以求出一些位置不好的点的坐标，方法通常是先设出所求点的坐标，再选取向量，利用向量关系解出变量的值. 1. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥，1,60AD DC CB ABC ===∠=，AB=2，CF ⊥ 平面ABCD ，且1CF =，建立适当的直角坐标系并确定各点坐标。

(两种方法)思路：本题直接有一个线面垂直，所以只需在平面ABCD 找过C 的相互垂直的直线即可。

由题意，BCD ∠不是直角。

所以可以以其中一条边为轴，在底面上作垂线即可构造出两两垂直的条件，进而可以建立坐标系 方案一：（选择BC 为轴），连结AC可知120ADC ∠= ∴在ADC 中2222cos 3AC AD DC AD DC ADC =+-=AC ∴=由1,60AC BC ABC ==∠=可解得2,90AB ACB =∠=AC BC ∴⊥ CF ⊥平面ABCD ,CF AC CF BC ∴⊥⊥以,,AC CF BC 为坐标轴如图建系：())()10,1,0,,,0,0,0,122B AD F ⎛⎫- ⎪⎝⎭方案二（以CD 为轴） 过C 作CD 的垂线CMCF ⊥平面ABCD,CF CD CF CM ∴⊥⊥∴以,,CD CF CM 为坐标轴如图建系：（同方案一）计算可得：22CM AB ==()()31,0,,0,0,1,0,0,0,122A B D F ⎫⎫∴--⎪⎪⎝⎭⎝⎭DAD2.已知四边形ABCD 满足1,2AD BC BA AD DC BC a ====∥，E 是BC 中点，将BAE 翻折成1B AE ，使得平面1B AE ⊥平面AECD ，F 为1B D 中点思路：在处理翻折问题时，首先要确定在翻折的过程中哪些量与位置关系不变，这些都是作为已知条件使用的。

本题在翻折时，BAE 是等边三角形，四边形AECD 为60的菱形是不变的，寻找线面垂直时，根据平面'B AE ⊥平面AECD ，结合'B AE 是等边三角形，可取AE 中点M ，则可证'B M ⊥平面AECD ，再在四边形AECD 找一组过M 的垂线即可建系 解：取AE 中点M ，连结'B M'B AE 是等边三角形 'B M AE ∴⊥平面'B AE ⊥平面AECD'B M ∴⊥平面AECD ，连结DM '',B M ME B M∴⊥⊥ 四边形AECD 为60的菱形 ADE ∴为等边三角形DM AE ∴⊥',,B M MD ME ∴两两垂直如图建系，设AB 为单位长度'11,0,0,,0,0,0,,1,,0,0,22222A E D C B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭F 为'B D 中点 44F ⎛∴ ⎝⎭B3.如图，在四棱柱1111ABCDA B C D 中，侧棱1A A ABCD ⊥底面,AB AC ⊥,1AB ,12,5ACAA AD CD,且点M 和N 分别为11C D B D 和的中点。

建立合适的空间直角坐标系并写出各点坐标思路：由1A A ABCD ⊥底面，AB AC ⊥可得1,,AA AB AC 两两垂直，进而以它们为轴建立坐标系，本题中1111,,,A B C D 均可通过投影到底面得到横纵坐标，图中D 点坐标相对麻烦，可作出底面的平面图再根据平面几何知识进行计算。

解：侧棱1A A ABCD ⊥底面∴ 11,A A AB A A AC ⊥⊥AB AC ⊥ 1,,AB AC AA ∴两两垂直以1,,AB AC AA 为轴建立直角坐标系 底面上的点：()()0,1,0,2,0,0B C 由5ADCD 可得ADC 为等腰三角形，若P 为AC 中点，则DP AC ⊥222DP AD AP =-=()1,2,0D ∴-可投影到底面上的点：()()()()11110,0,2,0,1,2,2,0,2,1,2,2A B C D -因为M 和N 分别为11C D B D 和的中点()11,,1,1,2,12M N ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭综上所述：()()()()()()()11110,1,0,2,0,0,1,2,0,0,0,2,0,1,2,2,0,2,1,2,2B C D A B C D -- ()11,,1,1,2,12M N ⎛⎫- ⎪⎝⎭PAD4.已知斜三棱柱1111,90,2,ABC A B C BCA AC BC A -∠===在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又知11BA AC ⊥，E 为1BB 靠近点B 的三等分点，建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标思路：本题建系方案比较简单，1A D ⊥平面ABC ，进而1A D 作z 轴，再过D 引AC 垂线即可。

难点有二：一是三棱柱的高未知，进而无法写出上底面点的竖坐标；二是1B 的投影不易在图中作出（需要扩展平面ABC ），第一个问题可先将高设为h ，再利用条件11BA AC ⊥解：过D 作AC 的垂线DM ，1A D ⊥平面ABC11,A D DC A D DM ∴⊥⊥，而DM DC ⊥ ∴以1,,A D DC DM 为轴建立直角坐标系()()()0,1,0,0,1,0,2,1,0A C B -，设高为h则()10,0,A h ，设()1,,C x y z 则()()110,2,0,,,AC AC x y z h ==-由11AC AC =可得：00220x x y y z h z h ==⎧⎧⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪-==⎩⎩()10,2,C h ∴()()112,1,,0,3,BA h AC h =--=21111030BA AC BA AC h ∴⊥⇒⋅=⇒-+=，解得h =((11,A C ∴设(1,B x y ()11,,0A B x y ∴=而()2,2,0AB =且11A B AB = 22x y =⎧∴⎨=⎩(1B ∴综上所述：()()()(((1110,1,0,0,1,0,2,1,0,,,A C B A C B -15.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，H 是正方形11AA B B的中心，11AA C H =⊥平面11AA B B，1C H =建立适当的坐标系并确定各点坐标思路：1C H ⊥平面11AA B B ，从而1C H 可作z 轴，只需在平面11AA B B 找到过H 的两条垂线即可建系（两种方案），对于坐标只有C 坐标相对麻烦，但由11C C A A =可以利用向量进行计算。

解：方案一：（利用正方形相邻边垂直关系建系） 如图建系：则))()11,,A A B()(1,B C设(),,C x y z，则(1,,C C x y z =- (10,A A =-由11C C A A =可得：000x x y y z z ==⎧⎧⎪⎪=-⇒=-⎨⎨⎪⎪-==⎩⎩(0,C ∴-综上所述：))()()11,,,,A A B B((1,0,C C -方案二：（利用正方形对角线相互垂直建系）如图建系：由1AA =计算可得112A H B H == ()()()112,0,0,0,2,0,0,2,0A A B -()(12,0,0,B C -设(),,C x y z ，则(1,,C C x y z =- ()12,2,0A A =--由11C C A A =可得：22220x x y y z z ⎧⎧=-=-⎪⎪=-⇒=-⎨⎨⎪⎪-==⎩⎩ (2,C ∴--综上所述：()()()()112,0,0,0,2,0,0,2,0,2,0,0,A A B B --((1,2,C C --。