课堂上教师应如何发挥重要的指导作用----“平角、周角的认识”教学案例与反思执教：山东省宁阳县现代学校高智分析与反思：山东省宁阳县教科研中心柏义伟【案例背景】对课堂教学如何进行评价与研究，在中国教育学会小学数学教学专业委员会第十一届年会上，孔企平教授曾指出：“……学生的主体作用是否突出；教师的引导是否有效；教学过程是否合理并富有思考性……”（“发展小学数学教师的教学决策能力”，[1]）作为进一步的思考与研究，这事实上是教师课堂上应如何发挥重要指导作用的问题。
自新一轮课程改革以来，教学方式与学习方式的变革一直是教师努力追求的目标，它在一定程度上已经内化为教师自我评价的重要指标。
但随之而来暴露出的新问题，如学生两极分化现象的加剧，课堂教学效率的低下等等，长期以来制约着数学课堂教学向纵深方向发展，引发了广大教师对自身作用认识的思考。
在《义务教育课程标准实验教科书数学）》（青岛版）四年级（下）备课研讨会上，“平角与周角的认识”一课，为我们研究上述问题提供了一个交流的平台。
【案例描述】一、创设情境，提炼问题：同学们请看屏幕。
仔细观察，你能发现什么？生1：这是一片工地。
生2：有很多挖掘机在工作。
从图中我们可以看到，繁忙的工地上，挖掘机正在紧张地工作着。
谁知道挖掘机是怎样工作的？通过上面的观察，我们知道了铲斗臂是怎样工作的。
请小朋友再仔细观察，你能发现哪些数学信息？生1：挖掘机上有角。
生2：有的角大，有的角小。
正是因为铲斗臂能够自由地拉直与弯曲，所以也就能够形成各种各样大大小小的角，也就是说，“铲斗臂上的角能大能小”（在屏幕情境图中呈现）。
那么，小朋友能提出哪些关于角的数学问题呢？生1：它们都是什么角。
生2：为什么有的角大，有的角小。
生3：怎样画角小朋友提出的问题还真不少，今天我们首先来研究“挖掘机在工作时，铲斗臂可以形成什么样的角？”（屏幕上呈现问题，同时定格例题一中的四个铲斗臂模型图）二、学习例题1：1、指一指：请同学们伸出右手食指，试一试，能不能将铲斗臂形成的角指出来？哪位同学愿意到台上来指出这些角？大家可要看清楚了，看能有哪些发现！教师指名一位同学上台，他分别指出了前3个角所在的位置，既用“数”的方法指出了3个角，而非指出角的两条边；同时说明“第4个不是角”。
听听同学们怎么评价。
大家有什么不同意见？要指出一个角，正确的方法应该是：从顶点开始，分别指出两条边（教师同时利用动作语言说明）。
请同学们一起随老师指出这些角：第一个角（动作与语言描述相结合）——从顶点出发，先指出一条边，再指出另一条边，这是一个锐角。
第二、三个角——结合动作分别说明是“钝角”与“直角”。
第四个角——它的顶点在哪儿呀？原来藏在了“关节”处，这是一条边，这是另一条边；原来它也是一个角，谁知道这是什么角？这是一个“平角”（板书）。
2、做一做：上面呢我们分别指出了这些角。
请小朋友认真思考一下，想一个什么办法，能让我们进一步来研究角？生1：想一想生活中哪里有角。
生2：画角。
生3：用三角板画角。
这样好不好，我们先来做一个角，通过做一个活动角，来帮助我们进一步研究。
请大家想一想，通过做一个活动角，我们要研究什么数学问题？伴随学生回答，屏幕呈现活动要求——转动一下，可以形成什么样的角？那么，请同学们猜想一下，到底可以形成什么样的角？学生猜想“可以形成锐角、钝角、直角与平角”。
教师组织交流：哪个组的同学愿意告诉我们大家，通过做活动角，转动角的两条边，可以形成什么样的角？生：（结合动作描述自己的发现）用图钉将两根纸条的一端钉住，然后通过转动解释形成的分别是锐角、直角、钝角与平角。
再转动将两根纸条重合在一起，学生解释“这就不是一个角了”。
下面请同学们做好准备，随屏幕上的演示，分别做出几种角：固定一条边不动，转动角的另一条边，分别得到锐角、直角、钝角、平角；继续转动，最后角的两条边重合在一起，这是不是角？是什么角？生1：直线角。
生2：线段角。
生3：射线角。
在数学上，我们把这样的角叫做“周角”。
伴随着计算机演示与学生的同步活动，屏幕分别定格呈现用纸条做成的锐角、直角、钝角、平角、周角象形图与数学图，并同时呈现每种角的名称。
3、画一画：上面我们通过做活动角，发现了两种新的角——平角和周角。
如果我们再进一步研究角，接下来该干什么了？有的同学在前面已经想到了----是不是应该画角？下面请小朋友试一试，先画出锐角、直角和钝角。
再请同学们试一试，看能不能画出平角和周角。
指名学生上台展示，交流画法：生1：先画一条直线，然后在中间点上一个“点”，就画出了一个平角。
生2：我觉得周角只画一条射线就可以了。
我们听听其他同学的意见。
你们觉得这样画角有什么问题没有？生1：在直线中间点上一个“点”，它还是一条直线，我觉得不像是平角，只是平角的两条边成了一条直线。
生2：射线就是射线，怎么会是周角呢？那么，想一个什么办法，能使它们看起来像平角与周角？（学生表情告诉老师“他们没能想到办法”）还记得我们是用什么方法得到平角与周角的吗？生1：是用转动的方法。
生2：当角的两条边成一条直线时，就成了一个平角；当角的另一条边转动一周，两条边重合时，就成了一个周角。
看来，只有在图中把“旋转”表示出来，看起来才像是平角与周角。
那么，用什么符号来表示“旋转”呢？生1：用箭头。
生2：画阴影。
教师演示：一般情况下，是在角的两条边之间画一条“弧线”来表示旋转所成的角。
同时让学生修改图形，既在自己画的平角与周角图上添加“弧线”。
4、说一说：通过上面的学习，我们知道了除锐角、直角、钝角以外，还有另外两个新的角——平角和周角。
请同学们仔细观察，这几种角有什么相同的地方？生1：都是旋转得到的。
生2：都有顶点。
生3：还有两条边。
请同学们想一想，能不能把角的两条边延长与缩短？（计算机动态演示）也就是说，“从一点起，画两条射线，就组成一个角”（屏幕呈现）。
请小朋友用动作告诉老师，角可以用哪一个符号来表示？不管是哪种角，都可以用符号“”来表示（教师板书）。
为了能区别每一个角，通常我们要用数字给每个角作编号，像屏幕上的5个角，每个角分别记作——1……（在教师分别板书的同时，学生随教师一起写出每个角的记法）。
它们分别读作——角一……（学生随教师读）。
5、练一练：（1）三角板上有几个角？分别是什么角？提出问题——交流认识——呈现结论：三角板上有三个角，其中有一个直角，两个锐角。
（2）连线：呈现五种角的图形，与它们各自的名称连一连。
（3）呈现5个钟表图：说一说分针与时针所成的角分别是什么角。
三、学习例题2：1、比一比：呈现例题2：请大家猜想一下，角1和角2到底哪个大？说一下你是怎么想的？生：角2大。
因为要是把两个角重合起来，好象是角2要大。
要知道角1和角2哪个大，光凭猜想还不行，接下来还应该怎么办？是不是要验证我们的猜想了？请小朋友认真思考一下，想一个什么办法，能验证我们的猜想？学生想到“用三角板比一比”。
请小朋友拿出练习纸（将例题二呈现在纸上，角1和角2分别为60度和70度），下面呢我们就利用三角板试一试，看是不是角2比角1大。
学生尝试后，积极要求发言，教师指名学生交流认识：生1：（先用三角板上60度的角测量角1）角1和三角板上的这个角一样大；（再用三角板上60度的角测量角2）角2比三角板上的这个角要大。
所以角2比角1大。
生2：角2的边离三角板要远一些，而角1的边正好靠近三角板，所以角2比角1大。
（计算机动态演示上述学生想到的测量方法，同时将角2比角1大的部分呈现为阴影）角2的边离三角板要远一些，而角1的边正好与三角板上的边重合，这说明，两个角相比较，角2两条边张开的要大一些，而角1两条边张开的要小一些，所以角2比角1大。
看来，要比较角的大小，就要看角的两条边张开的大小——角的两条边张开的越大，这个角就越大。
2、想一想：（屏幕呈现3行×3列角的图形案例：3行角的大小分别是30度、60度和90度，每行中三个角的边长不同，每一列角的边长相同而角的大小不同）仔细观察，你能发现什么？为什么？生1：横着看，角一样大。
因为角的两边张开的同样大。
生2：竖着看，角越来越大。
因为角的两边张开的越来越大。
（计算机演示：每列3个角不能完全重合）角的两条边张开的大小不同，所以纵向看3个角大小不同。
（计算机演示：每行3个角能够完全重合）角的两条边张开的大小是一样的，所以3个角同样大。
再仔细观察边的长短，有没有新的发现？生1：边长不同。
生2：边越来越长。
每一行3个角同样大，但是它们的边长不同，这说明角的大小与边的长短有没有关系？那么，角的大小与边的长短为什么没有关系？学生表情告诉教师“不能回答”。
想像一下，如果将角的两条边无限延长，两边张开的大小变了没有？再想像一下，如果将角的两条边缩短，两边张开的大小变了没有？正是因为不能改变角的两边张开的大小，所以不论将边延长还是缩短，都不会改变角的大小。
（屏幕呈现）角的大小要看两条边张开的大小，张开的越大，角越大。
角的大小与角的两边画出的长短没有关系。
通过上面的学习，我们知道了角2比角1大。
那么，角2和角1分别有多大？角2比角1大多少？这就是我们下节课将要研究的内容。
【分析与反思】一个优秀的教学案例，带给我们的不仅仅是视觉上的享受，更重要的是它能够触动我们的心灵，这是案例值得反思的基础。
当然，对案例进行反思，目的不是对教师的教学做出优劣评价，更重要的是将案例中的有效要素提炼出来，使广大教师能够从“为什么”的角度理解案例，也即“用别人这面镜子反射自己的教学认识与教学行为”，使之在更大范围内产生广泛而深远的影响。
就课堂上教师应如何发挥重要的指导作用而言，本案例能够带给我们以下几个方面的启迪：一、以实践活动为主线突出学生学习的主体作用。
指一指、做一做、画一画、说一说、练一练、比一比、想一想等构成了学生学习的课堂活动基本柜架，改变了学生仅凭眼看耳听获取知识的学习方式，真正实现了“在游泳中学习游泳”的学习要求。
二、以提出启发性的问题为手段突出教师的引导作用。
在角的认识阶段，启发学生想到“做一个活动的角、画角能帮助我们进一步研究”，并且不要忘记“我们要研究的数学问题----转动一下，可以形成什么样的角”；在角的大小比较学习中，启发学生想到“用三角板比一比，能验证我们的猜想”。
正如美国学者巴拉布与达菲所指出的，“教师的工作是通过向学生问他们应当自己问自己的问题来对学习和问题解决进行指导。
这是参与性的，不是指示性的；其基础不是要寻找正确答案，而是针对专业的问题解决者当时会向自己提出的那些问题。
”（“从实习场到实践共同体”，[2]第31页）三、以理论为指导设计符合儿童认知规律的教学过程。
从学生现有的发展水平（锐角、直角与钝角是学生已有的认识）到潜在的发展水平（用图形表征平角与周角）之间，是学生的最近发展区；指一指、做一做、画一画三步曲，是为帮助学生达到潜在的发展水平所架设的“脚手架”，同样也遵循了布鲁纳关于儿童智力发展从动作水平，到表象水平，到分析水平的心理过程。