2.用列举法求概率： (1)直接法：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且每 种结 果发生 的可能 性都相 等 ，其 中事件 A 发生的 结果共 有 m 种 m (m≤n)，那么事件A发生的概率P(A)＝__ n.
(2)列表法：当一次试验涉及两个因素，且可能出现的结果数目较多时， m 可采用列表法列出所有可能的结果，再根据P(A)＝ 计算概率． n (3)画树状图法：当一次试验涉及两个或两个以上因素时，可采用画树
稳定性，在某个特定数值左右摆动的幅度越来越小，我们就用这
个常数来表示事件发生的概率．
类型三
求简单事件的概率
(2017· 通辽)小兰和小颖用下面两个可以自由转动的转盘做游戏，
【例3】
每个转盘被分成面积相等的几个扇形，转动两个转盘各一次，若两 次指针所指数字之和小于4，则小兰胜，否则小颖胜(指针指在分界线 时重转)，这个游戏对双方公平吗？请用树状图或列表法说明理由．
第二单元
统计与概率
第 45 讲 事件与概率
内容 索引
备考基础 重点突破
温故知新，明确考向 分类讲练，以例求法
易错防范
辨析错因，提升考能
备考基础
返回
考点梳理
事件的分类
一定会 发生的事件叫做必然事件． 1.必然事件：在特定条件下_______
一定不会 发生的事件叫做不可能事件． 2.不可能事件：在特定条件下，_________ 不会发生 的事件叫 会发生 ，也有可能 ________ 3.随机事件：在特定条件下有可能_______
反映的规律并非在每一次试验中一定存在 .也就是说，即使某个事件发 生的概率非常大，但在一次试验中也有可能不发生；即使某个事件发生 的概率非常小，但在一次试验中也有可能发生.
概率的计算
1.用频率估计概率：一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频 率逐渐稳定在某一数值附近，那么把这一频率的稳定值作为该事件发 生的概率的估计值． 特别提醒 频率是通过多次试验得到的数据，而概率是理论上事件发 生的可能性；在计算一个事件发生的概率时，必须有足够的大量重复 试验，才可以用频率作为事件发生概率的估计值.
计了如图所示的两个转盘做游戏 (每个转盘被分成面积相等的几个扇形， 乙转盘，转盘停止后，若指针所指区域内两数和小于12，则李燕获胜；
若指针所指区域内两数和等于12，则为平局；若指针所指区域内两数和 大于12，则刘凯获胜(若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向 某一区域内为止)． (1)请用列表或画树状图的方法表示出上述游戏中两数和的所有可能的 结果； 点拨 根据题意列出表格，得出游戏中两数和的所有可能的结果数；
根据概率公式即可得出答案． 解 由(1)可知，两数和共有12种等可能的情况，其中和小于12的
情况有6种，和大于12的情况有3种， ∴P(李燕获胜)＝ 6 ＝1 ，P(刘凯获胜)＝ 3 ＝1 . 12 2 12 4
点拨 解
【变式4】 (2017· 温州)为培养学生数学学习兴趣，某校七年级准备开 设“神奇魔方”、“魅力数独”、“数学故事”、“趣题巧解”四 门选修课(每位学生必须且只选其中一门)． (1)学校对七年级部分学生进行选课调查， 得到如图所示的统计
解
解题要领
用列表法或画树状图法的关键是不重复、不遗漏地列出
所有可能的结果，一般情况下，列表法适合于两步完成的事件，画 树状图法适合于两步或两步以上完成的事件 .解题时，要注意是放回 试验还是不放回试验.
类型四
概率在生活实际中的应用
【例4】 (2017· 白银)在一次数学兴趣小组活动中，李燕和刘凯两位同学设
随机 事件(从“必然”、“随机”、“不可能”中选一个)． _____ 点拨 根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型．
解 “抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上”是随机事件．
点拨
解
答案
【变式1】 (2017· 自贡)下列成语描述的事件为随机事件的是( B )
A.水涨船高
C.水中捞月 解
B.守株待兔
D.缘木求鱼
点拨 解
并在每个扇形区域内标上数字 )．游戏规则如下：两人分别同时转动甲、
解
根据题意列表或画树状图如下： 甲 3 乙
6
9
7
10
8
11
9
12
4
5
10
11
11
12
12
13
13
14
则两数和共有12种等可能结果．
(2)分别求出李燕和刘凯获胜的概率．
点拨
根据(1)得出两数和小于12的情况数及和大于12的情况数，再
解
解
方法一：根据题意画树状图如下：
则所有可能出现的结果共有9种．
方法二：根据题意列表如下： 第二次 第一次
6 (6，6)
(－2，6) (7，6)
－2 (6，－2)
(－2，－2) (7，－2)
7 (6，7)
(－2，7) (7，7)
6
－2 7
则所有可能出现的结果共有9种．
(2)求两次取出的小球上的数字相同的概率P. 解 ∵共有9种情况，两次取出小球上的数字相同的有3种情况， 3 1 ∴两次取出小球上的数字相同的概率P＝ ＝ . 9 3
图．根据该统计图，请估计该校七年级480
名学生选“数学故事”
的人数；
解
18 (1)480× ＝90(人)． 15＋27＋18＋36
答：估计该校七年级 480 名学生选“数学故事”的人数为 90 人．
解答
(2)学校将选“数学故事”的学生分成人数相等的A，B，C三个班，小聪、 小慧都选择了“数学故事”，已知小聪不在A班，求他和小慧被分到同 一个班的概率．(要求列表或画树状图)
【例2】 在一个不透明的布袋中，装有红、黑、白大量摸球实验后，小明发现其中摸出
的红球的频率稳定于 20% ，由此可以估计布袋中的黑色小球有
__个． 点拨 根据多次试验发现摸到红球的频率是20%，则可以得出摸
到红球的概率的估计值为20%，再利用红色小球有 4个，黑、白
1 A. 7
3 B. 7
4 C. 7
5.经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或者右转，如果这三种 可能性大小相同，则经过这个十字路口的两辆汽车一辆左转，一辆右转
的概率是(
A. 4 7
)
4 B. 9
C. 2 9
1 D. 9
解
解 画“树状图”列举这两辆汽车行驶方向所有可能的结果如图所示：
则这两辆汽车行驶方向共有9种可能的结果． ∵由“树状图”知，两辆汽车一辆左转，一辆右转的结果有2种，且所有 结果的可能性相等，
3.在一个不透明的袋子中装有4个红球和3个黑球，它们除颜色外其它均相
同，从中任意摸出一个球，则摸出黑球的概率是( B )
D. 5 7 4.一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字 1,2,3,4,5,6 ，投掷一次，
朝上一面的数字是偶数的概率为( C ) 1 2 A. B. 1 C. 1 D. 6 3 2 3
【变式3】 (2017· 云南)在一个不透明的盒子中，装有3个分别写有数字 6，－ 2,7的小球，他们的形状、大小、质地完全相同，搅拌均匀后， 先从盒子里随机抽取1个小球，记下小球上的数字后放回盒子，搅拌 均匀后再随机取出1个小球，再记下小球上的数字． (1)用列表法或树状图法(树状图也称树形图)中的一种方法，写出所 有可能出现的结果；
特别提醒
n个人玩一种游戏，对所有人是否公平，主要从两个方面来
考虑：一是判断游戏双方操纵的是不是同类事件；二是看两个事件发生
的可能性是否相等.
基础诊断
1.下列事件中，属于必然事件的是( D )
A.明天我市下雨
B.抛一枚硬币，正面朝下
C.购买一张福利彩票中奖了
D.掷一枚骰子，向上一面的数字一定大于零
2.下列说法正确的是( D ) A.袋中有形状、大小、质地完全一样的5个红球和1个白球，从中随机抽 出一个球，一定是红球 B.天气预报“明天降水概率10%”，是指明天有10%的时间会下雨 C.某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票1000 张，一定会中奖 D.连续掷一枚均匀硬币，若5次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面 朝上
解
解 画树状图如下：
则共有6种等可能的结果数，其中小聪和小慧被分到同一个班的 2 1 结果数为2，所以小聪和小慧被分到同一个班的概率P＝ ＝ . 6 3
做随机事件或不确定事件．
特别提醒 各类事件都是在一定条件下进行的，脱离一定条件，事件的
可能性会发生变化.
概率的概念 可能性 大小叫做该事件发生的概率． 1.定义：一个事件发生的_______
2.各类事件的概率：必然事件发生的概率为__ 1 ，不可能事件发生的概率
为__ 0 ，随机事件发生的概率介于__ 0 与__ 1 之间． 特别提醒 随机事件的概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验
抽样方法从该地这个季度中抽取30天，对每天的最高气温x(单位：℃)
进行调查，并将所得的数据按照 12 ≤ x ＜ 16,16 ≤ x ＜ 20,20 ≤ x ＜ 24,
24≤x＜28,28≤x＜32分成五组，得到如图频数直方图．
(1)求这30天最高气温的平均数和中位数(各组的实际数据用该组的组中
值代表)；
解
解
这 30 天最高气温的平均数为：
14×8＋18×6＋22×10＋26×2＋30×4 ＝20.4(℃)， 30 ∵中位数落在第三组内， ∴中位数为 22℃.
(2)每月按30天计算，各组的实际数据用该组的组中值代表，估计该地这个 季度中最高气温超过(1)中平均数的天数； 解 ∵30天中，最高气温超过(1)中平均数的天数为16天， ∴该地这个季度中最高气温超过(1)中平均数的天数为16×90＝48(天)． 30