题型三 正、余弦定理在实际问题中的应用 【例 3】如图，A、B、C、D 都在同一个与水平面 垂直的平面内，B、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶. 测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75°、30°，于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60°，AC＝0.1 km. 试探究图中 B、D 间距离与另外哪两点间距相等， 然后求 B、D 的距离(计算结果精确到 0.01 km，
4.面积公式
S△＝ 1 aha；(ha 表示 a 边上的高) 2
S△＝ 1 absin C； 2
S△＝ a b c ·r；(r 为内切圆半径) 2
S△＝ abc .(R 为外接圆半径) 4R
典例精析 题型一 利用正、余弦定理解三角形 【例 1】在△ ABC 中，AB＝ 2 ，BC＝1，cos C＝ 3 .
4 (1)求 sin A 的值；(2)求 BC · CA 的值.
【解析】
(1)由 cos C＝ 3 得 sin C＝ 7 .
4
4
所以 sin A＝ BC sinC ＝ 1
7 4＝
14 .
AB
2
8
(2)由(1)知，cos A＝ 5 2 . 8
所以 cos B＝－cos(A＋C) ＝－cos Acos C＋sin Asin C
5 所以 sin∠PAC＝sin(60°－∠CAB) ＝sin 60°cos∠CAB－cos 60°sin∠CAB
＝ 3413 2 5 25
＝ 1 (4 3 3) ， 10
连接 PB，在 Rt△APB 中，
AP＝AB·cos∠PAB＝5，
所以四边形 ABCP 的面积为
Hale Waihona Puke S 四边形 ABCP＝S△ACB＋S△PAC
且满足 cos A ＝ 2 5 ， AB · AC ＝3. 25
(1)求△ ABC 的面积； (2)若 c＝1，求 a 的值.
【解析】(1)因为 cos A ＝ 2 5 ，所以 cos A＝ 3 .
25
5
又 AB · AC ＝3，bccos A＝3，故 bc＝5.
所以 S△ABC＝ 1 bcsin A 2
所以 AB＝ AC sin 60 3 2 6 .
sin15
20
同理，BD＝ 3 2 6 ≈0.33 (km). 20
故 B、D 的距离约为 0.33 km.
【点拨】 应用解三角形知识解决实际问题的基本步骤是： (1)根据题意，抽象地构造出三角形； (2)确定实际问题所涉及的数据以及要求解的结论 与所构造的三角形的边和角的对应关系； (3)选用正弦定理或余弦定理或者二者相结合求解； (4)给出结论.
＝－ 15 2 ＋ 7 2 ＝－ 2 .
32 32
4
所以 BC · CA ＝ BC ·( CB ＋ BA )
＝ BC · CB ＋ BC · BA ＝－1＋1× 2 ×cos B ＝－1－ 1
2 ＝－ 3 .
2
【点拨】在解三角形时，要注意灵活应用三角函数公 式及正弦定理、余弦定理等有关知识.
【变式训练 1】 在△ ABC 中，角 A、B、C 所对边分别为 a、b、c，
知识要点
1.角的关系 A＋B＋C＝π； sin(A＋B)＝sin C； cos(A＋B)＝－cos C. 2.边的关系 a＋b＞c；b＋c＞a；c＋a＞b.
3.边和角的关系 (1)正弦定理：
a b c ＝2R. sin A sin B sin C (2R 为△ ABC 外接圆的直径)
2R
(2)余弦定理： a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝a2＋c2－2accos B； c2＝a2＋b2－2abcos C. (3)射影定理： a＝bcos C＋ccos B； b＝acos C＋ccos A； c＝acos B＋bcos A.
2 ≈1.414， 6 ≈2.449).
【解析】在△ACD 中，∠DAC＝30°， ∠ADC＝60°－∠DAC＝30°， 所以 CD＝AC＝0.1. 又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°， 故 CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线， 所以 BD＝BA.
在△ABC 中， AB AC ， sin ACB sin ABC
＝ 1 ×5×4 ＝2. 25
(2)因为 c＝1，所以 b＝5， 所以 a2＝b2＋c2－2bccos A
＝25＋1－2×5×1×3 ＝20. 5
所以 a＝2 5 .
题型二 判断三角形的形状 【例 2】在△ ABC 中，三个内角 A、B、C 的对边分 别为 a、b、c，其中 c＝10，且 cos A b 4 .
＝ 1 ab＋ 1 AP·AC·sin∠PAC
2
2
＝24＋ 1 ×5×8× 1 (4 3 －3)
2
10
＝18＋8 3 .
【点拨】判断三角形的形状要围绕三角形的边角关 系进行思考，利用正、余弦定理，将含有边、角的 三角函数的式子化为只含有边或只含有角的三角函 数的式子，再通过恒等变形得出结果，注意求解时， 公因式不要约掉，否则会漏解.
cos B a 3 (1)求证：△ ABC 是直角三角形；
(2)设圆 O 过 A、B、C 三点，点 P 位于劣弧 上， ∠PAB＝60°，求四边形 ABCP 的面积.
【解析】
(1)证明：根据正弦定理得 cos A sin B ， cos B sin A
整理得 sin Acos A＝sin Bcos B， 即 sin 2A＝sin 2B.
因为 b 4 ，所以 0＜A＜B＜π， a3
所以 0＜2A＜2B＜2π， 所以 2A＝2B(舍去)或 2A＝π－2B，
即 A＋B＝ π . 所以 C＝ π ，
2
2
故△ABC 是直角三角形.
(2)由(1)可得 a＝6，b＝8. 在 Rt△ABC 中，sin∠CAB＝ BC ＝ 3 ，
AB 5 cos∠CAB＝ 4 ，
总结提高 1.正弦定理、余弦定理体现了三角形中角与边存在 一种内在联系，如证明两内角 A＞B 与 sin A＞sin B 是一种等价关系. 2.在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边 角关系转化，统一转化为边的关系或统一转化为角
的关系，再用恒等变形(如因式分解、配方)求解， 注意等式两边的公因式不要随意约掉，否则会漏解. 3.用正弦定理求角的大小一定要根据题中所给的条 件判断角的范围，以免增解或漏解.