p2.例1 设x ,y 为实数，x y <.证明:存在有理数r 满足 x r y <<.证 由于x y <,故存在非负整数n ,使得n n x y <.令 ()12n n r x y =+ , 则r 为有理数，且有n n x x r y y ≤<<≤ ,即得x r y <<. p3.1.实数具有阿基米德性，即对任何,a b R ∈, 若0b a >>，则存在正整数n ，使得na b >. 证明:+,a b R ∀∈，n N +∃∈, 使得nb a >, 设012.n a a a a a = ,0a k N =∈ ,则1+110k a k +≤<，设012n b b b b b =，p b 为第一个不为0的正整数，令+110p k n +=，则+110k nb a >>，即nb a >.2.实数集R 具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数，且既有有理数，也有无理数。

证 若a b <，则存在n N +∈，使)(112b a n <- ，)(2b a n<- ， 设k 是满足k a n ≤ 的最大正整数，即+1k a n >，0ka n -≤ , 于是122k k k k ab a b n n n n n ++<<=+<+-≤ ，则1k n + ，2k n+ 是a 与b 之间的有理数，14k n nπ++ 是a 与b 之间的无理数。

.4P1.设a 为有理数，x 为无理数，证明：(1)a x +是无理数；(2)当a 0≠时，ax 是无理数.分析：根据有理数集对加、减、乘、除（除数不为0）四则运算的封闭性，用反证法证. 证明：(1)假设a x +是有理数，则()a x a x +-=是有理数，这与题设x 是无理数相矛盾，故a x +是无理数.(2)假设ax 是有理数，则当0a ≠时，axx a=是有理数，这与题设x 为无理数相矛盾，故ax 是无理数.8.设p 为正整数.证明：若p .分析：本题采用反证法，联想到互质、最大公约数以及辗转相除法的有关知识点，可得结论.证明：用反证法.为有理数，则存在正整数m 、n mn=，且m 与n 互质.于是2m 22,(),pn m n pn ==⋅可见n 能整除2m ，由于m 与n 互质，从而它们的最大公约数为1，由辗转相除法知：存在整数u 、v 使1mu mv +=，则2m u mnv m +=.因n 既能整除2m u 又能整除mnv ，故能整除其和，于是n 能整除m ，这样1n =，所以2p m =.这与p 不是完全平方数相矛盾.小结：本题证明过程比较独特，先假设有理数为互质的两个数的商，利用这两个数与p 之间的关系，运用辗转相除法得出结论，注意知识点之间的内在联系.P7定理1.1（确界原理） 设s 为非空数集.若s 有上界,则s 必有上确界;若s 有下界,则s 必有下确界.证 我们只证明关于上确界的结论,后一结论可类似地证明.为叙述的方便起见,不妨设s 含有非负数.由于s 有上界,故可找到非负整数n ,使得 1） 对于任何x S ∈有1x n <+； 2） 存在0a S ∈,使0a n ≥.再对半开区间[),1n n +作10等分,分点为.1,.2,.9n n n ,则存在0,1,2,…,9中的一个数1n ,使得1） 对于任何x S ∈有1110.n x n <+； 2） 存在1a S ∈,使11.a n n ≥. 再对半开区间111.10,.n n n n ⎡⎫⎪⎢⎣⎭+作10 等分,则存在0,1,2,…,9中的一个数2n ,使得 1） 对于任何x S ∈有1221.10n n n x +<； 2） 存在2a S ∈,使212.a n n n ≥.继续不断地10等分在前一步骤所得到的半开区间,可知对任何1,2,k =,存在0,1,2,…,9中的一个数k n ,使得1） 对于任何x S ∈有121.10k kx n n n n <+； （1） 2） 存在k a S ∈,使12.k k a n n n n ≥.将上述步骤无限地进行下去,得到实数12.kn n n n η=.以下证明sup S η=.为此只需证明：（i ）对一切x S ∈有x η≤；（ii ）对任何αη<,存在a S '∈使a α<'.倘若结论（i ）不成立,即存在x S ∈使x η>,则可找到x 的k 位不足近似k x ,使121.10k k k kx n n n n η>=+,从而得121.10k kx n n n n >+, 但这与不等式（1）相矛盾.于是（i ）得证.现设αη<,则存在k 使η的k 位不足近似k k ηα>,即12.k k n n n n α>.根据数η的构造,存在a S '∈使k a η'≥，从而有k k >a ηαα≥≥'即得到<a α'. 这说明（ii ）成立 P.130例3 用数列的柯西收敛准则证明确界原理.证 设S 为非空有上界数集，由实数的阿基米德性，对任何正数α,存在整数k α，使得k ααλα=为S 的上界，而(1)k ααλαα-=-不是S 的上界，即存在'αS ∈,使得'(1).k ααα>-分别取1,1,2,,n nα==则对每一个正整数n ，存在相应的,n λ使得n λ为S 的上界，而1n nλ-不是S 的上界，故存在',S α∈使得 1'n nαλ>- （6）又对正整数,m m λ是S 的上界，故有'm λα≥.结合（6）式得1n m nλλ-<；同理有1m n mλλ-<.从而得 11||max{,}.m n m nλλ-<于是，对任给的0,ε>存在0N >，使得当,m n N >时有||m n λλε-<由柯西收敛准则，数列{}n λ收敛.记lim n n λλ→∞=. （7）现在证明λ就是S 的上确界，首先，对任何S α∈和正整数n 有n αλ≤，由（7）式得,αλ≤即λ是S 的一个上界.其次，对任何0,δ>由1n→∞()n →∞及（7）式，对充分大的n 的同时有 1,.22n n δδλλ<>- 又因1n n λ-不是S 的上界。

故存在',S α∈使得1'.n nαλ>-结合上式得 '.22δδαλλδ>--=-这说明λ为S 的上确界.同理可证：若S 为非空有下界数集，则必存在下确界.P .8例4 设,A B 为非空数集，满足：对一切x A ∈和y B ∈有x y ≤.证明：数集A 有上确界，数集B 有下确界，且sup inf A B ≤证 由假设，数集B 任一数y 都是数集A 的上界，A 中任一数x 都是B 的下界，故由确界原理推知数集A 有上确界，数集B 有下确界.现证不等式（2）.对任何y B ∈，y 是数集A 的一个上界，而由上确界的定义知，sup A 是数集A 的最小上界，故有sup A y ≤.而此式又表明数sup A 是数集B 的一个下界，故由下确界定义证得sup inf A B ≤.例5 设,A B 为非空有界数集，=S A B ，证明：（i ）{}sup max sup ,sup S A B =； （ii ）{}inf min inf ,inf S A B =. 证 由于=S AB 显然也是非空有界数集，因此S 的上、下确界都存在.（i ）对任何x S ∈，有x A ∈或x B ∈sup x A ⇒≤或sup x B ≤,从而有{}max sup ,sup x A B ≤，故得{}sup max sup ,sup S A B ≤.另一方面，对任何x A ∈，有sup sup sup x S x S A S ∈⇒≤⇒≤；同理又有sup sup B S ≤,所以{}sup max sup ,sup S A B ≥.综上，即证得{}sup max sup ,sup S A B =.（ii ）可类似地证明.若把+∞和-∞补充到实数集中，并规定任一实数a 与+∞，-∞的大小关系为：,,a a <+∞>-∞-∞<+∞，则确界概念可扩充为：若数集S 无上界，则定义+∞为S 的非正常上确界，记作sup S =+∞；若S 无下界，则定义-∞为S 的非正常下确界，记作inf S =-∞.相应地，前面定义2和定义3中所定义的确界分别称为正常上、下确界.在上述扩充意义下，我们有推广的确界原理 任一非空数集上必有上、下确界（正常的或非正常的）.例如，对于正整数集N +,有+inf =1sup N N +=+∞，；对于数集 {}22,S y y x x R ==-∈有inf ,sup 2S S =-∞=.P .9 习题7设,A B 皆为非空有界数集，定义数集{},,A B z z x y x A y B +==+∈∈. 证明：（1）()sup sup sup ;A B A B +=+ （2）()inf inf inf A B A B +=+.证明（1）设12sup ,sup A B ηη==.对任意的z A B ∈+，存在,x A y B ∈∈，使z x y =+. 于是12,x y ηη≤≤.从而12z ηη≤+.对任意的0ε>，必存在00,x A y B ∈∈，使0102,22x y εεηη>->-，则存在000z x y A B =+∈+，使()012z ηηε>+-.所以()12sup sup sup A B A B ηη+=+=+.同理可证（2）成立.p.154. 确定下列初等函数的存在域：（1）()sin sin y x = （2） ()lg lg y x = （3）arcsin lg10x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭ （4）lg arcsin 10x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭解 （1）因为sin x 的存在域为R ,所以()sin sin y x =的存在域为R .（2）因lg 0x >等价于1x >，所以()lg lg y x =的存在域是1+∞（，）.（3）因为arcsin y u =的存在域是[]1,1-，而-1lg110x≤≤等价于1x 100≤≤，所以arcsin lg 10x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭的存在域是[]1,100.（4）因lg y u =的存在域是()0,+∞，而sin10x u arc =的值域为,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，由02u π≤≤有0110x <≤，即010x <≤，所以）lg arcsin 10x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭的存在域是](0,10.P.1612.证明关于函数[]y x =的如下不等式： （1）当0x >时，111x x x ⎡⎤-<≤⎢⎥⎣⎦；（2）当0x <时， 111x x x ⎡⎤≤<-⎢⎥⎣⎦.证 由定义1x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦知是不超过1x 的最大整数，故有1101x x ⎡⎤≤-<⎢⎥⎣⎦所以1111x x x⎡⎤-<≤⎢⎥⎣⎦ ①（1）当0x >时，给①两端同乘以x 得 111x x x ⎡⎤-<≤⎢⎥⎣⎦（2）当0x <时，给①两端同乘以x 得 111x x x ⎡⎤≤<-⎢⎥⎣⎦.17P例2 设f ，g 为D 上的有界函数，证明：（i ）x x x inf x inf g x inf{x g x }DDDf f ∈∈∈+≤+（）（）（）（） （ii ）x x x sup{x g x }sup x supg x DDDf f ∈∈∈+≤（）（）（）+（）证：（i ）对任何x D ∈有x inf x x Df f ∈≤（）（），x infg x g x D∈≤（）（）x x inf x inf g x x g x DDf f ∈∈⇒≤（）+（）（）+（）上式表明，数x x inf x inf g x DDf ∈∈（）+（）是函数g f +在D 上的一个下界，从而x x x inf x inf g x inf{x g x }DDDf f ∈∈∈≤+（）+（）（）（）。