中国人民大学附属中学2016届12月月考数学试题（理科）一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请把所选答案前的字母按规定要求涂抹在“答题纸”第1—8题的相应位置上．） （1）定积分121x dx -=⎰（ B ）（A ）0 （B ）23（C ）1 （D ）2（2）已知全集U R =，集合M={|R}y y x ∈，1{21,}x N x x R -=≥∈，则()U M N ⋂=ð（ B ）（A ）[2,2]- （B ）[)0,1 （C ）[)2,1- （D ）[1,4] （3）抛物线22x y =-的准线方程为（ B ）（A ）12x =（B ）18x = （C ）18x =- （D ）12x =- （4）已知正项数列{}n a 中，11=a ，22=a ，222112(2)n n n a a a n +-=+≥，则6a 等于（D ）（A ）16 （B ）8 （C ）22 （D ）4 （5）若将函数()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称， 则ϕ的最小正值是（ C ）.（A ）8π （B ）4π（C ）38π （D ）2π（6）已知()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x <时，31()(1)e x f x x e +=+-.那么函数()f x 的极值点的个数是（ A ）（A ）2（B ）3（C ）4（D ）5（7）某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝. 甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷. 根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是（A ）（A ）甲 （B ） 乙 （C ）丙 （D ）丁（8）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，若点P 是棱上一点（含顶点），则满足11PA PC u u u r u u u u r?-的点P 的个数为（ C ）（A ）6 （B ）8 （C ）12 （D ）241C 1A 1B 1DCAP21111+2412=4PA PC PO PO PA PC PA PC C Au u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r ìï=-ï拮íï-=ïïî 二、填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分，请将填空题的答案写在答题纸上相应位置．)（9）函数12y x x=+的值域为_______________。
(),22,⎤⎡-∞-⋃+∞⎦⎣（10）已知点(,)P x y 的坐标满足4160404x y x y x +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，O 为坐标原点，记PO 的最大值为m ，最小值为n ，则双曲线22221x y m n-=的离心率为 335 . （11）设正数a ，b 满足23log log a b =，给出下列五个结论，其中不可能．．．成立的结论的序号是______． ①1a b <<； ②01b a <<<； ③a b =； ④1b a <<； ⑤01a b <<<． ④⑤；（12）已知两点(10)A ，，(0)B b ，，若抛物线24y x =上存在点C 使ABC ∆为 等边三角形，则b =_________ . 5或13-（13）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图， 则截去部分体积与剩余部分体积的比值为______.51 【解析】由三视图得，在正方体1111ABCD A B C D -中，截去四面体111A A B D -，如图所示，，设正方体棱长为a ，则11133111326A A B D V a a-=⨯=，故剩余几何体体积为3331566a a a -=，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为51，（14）记11210011......n n n n n n n ma a a a a a a m a m a m ----=+⨯++⨯+⨯，其中n≤m ，m 、n 均为正整数，{0,1,2,...,1}(0,1,2,...,)k a m k n ∈-=且0n a ≠；O 1C 1A 1B 1DCP 正视图 左视图俯视图AD1C 1B 11（1）计算72016= ________________；699（2）设集合{}1210(,)...n n n mA m n x x a a a a a --==，则(,)A m n 中所有元素之和为________.()()1112n n n n mm m m +++--三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.（15）（本小题满分13分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且b 2+c 2-a 2=bc ． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）已知a=2，设函数，当x B =时，()f x 取最大值，求△ABC的面积．解：（Ⅰ）在△ABC 中，因为b 2+c 2-a 2=bc ，由余弦定理 a 2= b 2+c 2-2bc cos A 可得cos A =．(余弦定理或公式必须有一个，否则扣1分) ……3分 ∵ 0<A <π ， （或写成A 是三角形内角） …………4分 ∴． ……………………5分 （Ⅱ） ………7分 ， ……………………9分∵ ∴…………10分 …………11分又∵， ∴∴△ABC 为等边三角形． …………12分 ∴S=21sin 23a π= …………13分 （16）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。
某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。
该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：C(x )=若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。
设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。
（Ⅰ）求k 的值及f (x )的表达式。
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值。
2cos 2cos 2sin 3)(2xx x x f +=123A π=2cos 2cos 2sin 3)(2xx x x f +=11cos 22x x =++1sin()62x π=++A π=2(0,)B π∈62323A =3C =(010),35kx x ≤≤+（17）（本小题共14分）如图1，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，36BC AC ==，．D 、E 分别是AC AB 、上的点，且//DE BC ，将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A D CD ⊥，如图2． （Ⅰ）求证： BC ⊥平面1A DC ；（Ⅱ）若2CD =，求BE 与平面1A BC 所成角的正弦值；（Ⅲ） 当D 点在何处时，1A B 的长度最小，并求出最小值． （Ⅰ）证明： 在△ABC 中，90,//,C DE BC AD DE ∠=︒∴⊥1A D DE ∴⊥.又11,,A D CD CD DE D A D BCDE ⊥⋂=∴⊥面.由1,.BC BCDE A D BC ⊂∴⊥面1,,BC CD CD BC C BC A DC ⊥⋂=∴⊥面. …………………………4分（Ⅱ）如图,1BC A DC ⊥∆ 90C ∠=︒以C 为原点，建立空间直角坐标系． ……………………5分1(2,0,0),(2,2,0),(0,3,0),(2,0,4)D E B A ．设(,,)x y z =n 为平面1A BC 的一个法向量，因为(0,3,0),CB =u u u r1(2,0,4)CA =u u u r所以30240y x z =⎧⎨+=⎩，令2x =，得=0,=1y z -.ABCDE图1图2A 1B CDEA 1BCD Exzy所以(2,0,1)=-n 为平面1A BC 的一个法向量． ……………………7分 设BE 与平面1A BC 所成角为θ．则4sin =cos 5BE θ<⋅>==u u u rn ． 所以BE 与平面1A BC 所成角的正弦值为45． …………………9分 （Ⅲ）设(,0,0)D x ,则1(,0,6)A x x -，1A B == …………………12分当=3x 时,1A B的最小值是即D 为AC 中点时, 1A B 的长度最小,最小值为 …………………14分 （18）（本小题满分13分）已知函数(),(0)1xxe f x x e =>-； （1）求函数()y f x =的图象在点(ln 2,(ln 2))f 处的切线方程；（2）函数(),(0,*)1kg x x k x =>∈N +，若()()f x g x >在定义域内恒成立，求k 的最大值。
解：（1）222(1)'()(1)(1)x x x x x x e e e e f x e e ---==--；22'(ln 2)2(21)f -==--，2(ln 2)2,21f ==-所以切线方程为22(ln 2),y x -=--即222ln 2y x =-++。
（5分）（2）,11x xe k e x >-+等价于(1),1x x e x k e +<-（6分）设(1)(),1x xe x g x e +=-2(2)'(),(1)x x x e e x g x e --=-（7分）考察函数()2x h x e x =--，由'()10xh x e =->得()2x h x e x =--在()0,+∞单调递增，（8分） 又1(1)120h e =--<，2(2)220h e =-->，存在()01,2x ∈使得0()0h x =，即0'()0g x =（10分）()g x↓ 极小 ↑故()g x 极小=()00000000(1)(1)()23,411x x x x x e x e e g x x e e +-===+∈--，（12分） 所以k 的最大值为3.（13分）（19）（本小题满分14分）已知椭圆的长轴长为6，离心率为13，2F 为椭圆的右焦点． （I ）求椭圆的标准方程；（II ）点M 在圆228x y +=上，且M 在第一象限，过M 作圆228x y +=的切线交椭圆于P ,Q 两点，判断△2PF Q 的周长是否为定值并说明理由．解：（I ）根据已知，设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，∴26a =，3a =，13c e a ==，1c =；2228b a c =-=，22198x y +=（4分） （II ）△2PF Q 的周长是定值方法1：设()1122,,(,)P x y Q x y ，则2211198x y +=， ()()22222112111118(1)(3)93x xPF x y x =-+=-+-=-，∵103x <<，∴1233x PF =-，（7分） 在圆中，M 是切点，∴222222111111||||88(1)893x PM OP OM x y x x =-=+-=+--=，（11分）∴211113333PF PM x x +=-+=， 同理23QF QM +=，（13分）∴22336F P F Q PQ ++=+=， 因此△2PF Q 的周长是定值6．…………（14分）方法2：设PQ 的方程为(0,0)y kx m k m =+<>，由⎪⎩⎪⎨⎧=++=18922x x m kx y ，得072918)98(222=-+++m kmx x k （5分）设),(),,(2211y x Q y x P ，则2219818k kmx x +-=+，222198729k m x x +-=，∴||1||212x x k PQ -+=2122124)(1x x x x k --+===（8分） ∵PQ 与圆822=+y x=，即2122k m +=，∴26||89kmPQ k=-+，（9分） ∵2PF ===∵103x <<，∴1233x PF =-，（12分） 同理2221(9)333x QF x =-=-，（13分）∴12222226666663898989x x km km kmF P F Q PQ k k k +++=--=+-=+++，因此△2PF Q 的周长是定值6．…………（14分）20、（13分）设有穷数列{a m }（m =1,2,3,4，…,n ；n =2,3,4,…,）满足以下两个条件：①10n i i a ==∑；②11ni i a ==∑；称{a m }为n 阶“单位数列”。