2019-2020学年北京人大附中九年级（上）月考数学试卷（12月份）一、选择题（本题共16分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1．中国传统扇文化有着深厚的底蕴，下列扇面图形是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．方程x2﹣x＝0的解是（）A．x＝0B．x＝1C．x1＝0，x2＝﹣1D．x1＝0，x2＝13．有一个可以自由转动且质地均匀的转盘，被分成6 个大小相同的扇形．在转盘的适当地方涂上灰色，未涂色部分为白色．为了使转动的转盘停止时，指针指向灰色的概率为，则下列各图中涂色方案正确的是（）A．B．C．D．4．下列关于二次函数y＝2x2的说法正确的是（）A．它的图象经过点（﹣1，﹣2）B．当x＜0时，y随x的增大而减小C．它的图象的对称轴是直线x＝2D．当x＝0时，y有最大值为05．如图，△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'分别是△ABC和△A′B′C′的高，若AD＝2，A'D'＝3，则△ABC与△A'B'C'的面积的比为（）A．4：9B．9：4C．2：3D．3：26．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD．若点A（1，2），B （2，0），D（5，0），则点A的对应点C的坐标是（）A．（2，5）B．（，5）C．（3，5）D．（3，6）7．如图，数轴上有A、B、C三点，点A，C关于点B对称，以原点O为圆心作圆，若点A，B，C分别在⊙O外，⊙O内，⊙O上，则原点O的位置应该在（）A．点A与点B之间靠近A点B．点A与点B之间靠近B点C．点B与点C之间靠近B点D．点B与点C之间靠近C点8．如图，AB是半圆O的直径，按以下步骤作图：（1）分别以A，B为圆心，大于AO长为半径作弧，两弧交于点P，连接OP与半圆交于点C；（2）分别以A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于点Q，连接OQ与半圆交于点D；（3）连接AD，BD，BC，BD与OC交于点E．根据以上作图过程及所作图形，下列结论：①BD平分∠ABC；②BC∥OD；③CE＝OE；④AD2＝OD•CE；所有正确结论的序号是（）A ．①②B ．①④C ．②③D ．①②④二、填空题（本题共16分，每小题3分）9．如图，△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ，若AD ＝2，DB ＝3，DE ＝1，则BC 的长是 ．10．如图，点A 、B 、C 、D 、O 都在方格纸上，若△COD 是由△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为 ．11．已知反比例函数y ＝，当x ＞0时，y 随x 增大而减小，则m的取值范围是 ．12．若一个扇形的半径为3，圆心角是120°，则它的面积是 ．13．小宇调查了初一年级三个班学生的身高，并进行了统计，列出如频数分布表：若要从每个班级中选取10名身高在160cm 和170cm 之间同学参加学校的广播操展示，不考虑其他因素的影响，则 （填“1班”，“2班”或“3班”）的可供挑选的空间最大．身高/厘米 频数 班级150≤x ＜155155≤x ＜160160≤x ＜165165≤x ＜170170≤x ＜175合计1班 1 8 12 14 5 40 2班 10 15 10 3 2 40 3班51010874014．如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数y ＝（x ＞0）的图象经过点A ，B ，AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥y 轴于点D ，连接OA ，OB ，则△OAC 与△OBD 的面积之和为 ．15．为测量附中国旗杆的高度，小宇的测量方法如下：如图，将直角三角形硬纸板△DEF的斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上．测得DE＝0.5米，EF＝0.25米，目测点D到地面的距离DG＝1.6米，到旗杆的水平距离DC＝18米，按此方法，可计算出旗杆的高度为米．16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，记x＝AC，y＝BC﹣AC，在平面直角坐标系xOy中，定义（x，y）为这个直角三角形的坐标，Rt△ABC为点（x，y）对应的直角三角形．有下列结论：①在x轴正半轴上的任意点（x，y）对应的直角三角形均满足AB＝BC；②在函数y＝（x＞0）的图象上存在两点边P，Q，使得它们对应的直角三角形相似；③对于函y＝（x﹣2020）2﹣1（x＞0）的图象上的任意一点P，都存在该函数图象上的另一点Q，使得这两个点对应的直角三角形相似；④在函数y＝﹣2x+2020（x＞0）的图象上存在无数对点P，Q（P与Q不重合），使得它们对应的直角三角形全等．所有正确结论的序号是．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题0分，第23-26题，每小题0分，第27、28题，每小题0分）17．解方程：x2﹣2x＝2（x+1）．18．如图，已知∠B＝∠C＝90°，点E在BC上，且满足AB＝4，BE＝2，CE＝6，CD＝3，求证：AE⊥DE．19．已知二次函数y＝x2﹣4x+3．（1）用配方法将y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）在平面直角坐标系xOy中画出该函数的图象；（3）当0≤x≤3时，y的取值范围是．20．如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC＝2，AC＝2（1）求点O到AC的距离；（2）求∠ADC的度数．21．某市计划建设一项水利工程，运输公司接到任务后，计划每天运输土方2000m3，共计50天运完，但由于受到各种因素的影响，实际平均每天运输土方vm3，共计t天运输完成．（1）请直接写出v关于t的函数关系式；（2）为了给后续工程节省出时间，这批土方需要在40天内运输完成，求实际平均每天至少需要比原计划增加多少土方运输量？22．已知关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0（1）c＝2b﹣1时，求证：方程一定有两个实数根．（2）有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个除数字外完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，乙袋中装有4个除数字外完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为b，从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为c，利用列表法或者树状图，求b、c的值使方程x2+bx+c ＝0两个相等的实数根的概率．23．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx﹣1（k≠0）与函数y＝（x＞0）的图象交于点A（3，2）．（1）求k，m的值；（2）将直线l沿y轴向上平移t（t＞0）个单位后，所得直线与x轴，y轴分别交于点P，Q，与函数y＝（x ＞0）的图象交于点C．①当t＝2时，求线段QC的长．②若2＜＜3，结合函数图象，直接写出t的取值范围．24．如图，在弧AB和弦AB所组成的图形中，P是弦AB上一动点，过点P作弦AB的垂线，交弧AB于点C，连接AC．已知AB＝6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为y1cm，A，C两点间的距离为y2cm．小宇根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小宇的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cmx/cm0123456y1/cm0 2.24 2.83 3.00 2.83 2.240y2/cm0 2.45 3.46 4.24 5.486（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△APC有一个角是60°时，AP的长度约为25．如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径BD与AC交于点E，过点D作⊙O的切线，与BC的延长线交于点F．（1）求证：∠F＝∠BAC；（2）若DF∥AC，若AB＝8，CF＝2，求AC的长．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣a+4的顶点为A，点B，C为直线y＝3上的两个动点（点B 在点C的左侧），且BC＝3．（1）求点A的坐标（用含a的代数式表示）；（2）若△ABC是以BC为直角边的等腰直角三角形，求抛物线的解析式；（3）过点A作x轴的垂线，交直线y＝3于点D，点D恰好是线段BC三等分点且满足BC＝3BD，若抛物线与线段BC只有一个公共点，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点C关于直线AB的对称点为D，连接BD，CD，过点B作BE∥AC交直线AD于点E．（1）依题意补全图形；（2）找出一个图中与△CDB相似的三角形，并证明；（3）延长BD交直线AC于点F，过点F作FH∥AE交直线BE于点H，请补全图形，猜想BC，CF，BH之间的数量关系并证明．28．新定义：在平面直角坐标系xOy中，若几何图形G与⊙A有公共点，则称几何图形G的叫⊙A的关联图形，特别地，若⊙A的关联图形G为直线，则称该直线为⊙A的关联直线．如图，∠M为⊙A的关联图形，直线l为⊙A 的关联直线．（1）已知⊙O是以原点为圆心，2为半径的圆，下列图形：①直线y＝2x+2；②直线y＝﹣x+3；③双曲线y＝，是⊙O的关联图形的是（请直接写出正确的序号）．（2）如图1，⊙T的圆心为T（1，0），半径为1，直线l：y＝﹣x+b与x轴交于点N，若直线l是⊙T的关联直线，求点N的横坐标的取值范围．（3）如图2，已知点B（0，2），C（2，0），D（0，﹣2），⊙I经过点C，⊙I的关联直线HB经过点B，与⊙I 的一个交点为P；⊙I的关联直线HD经过点D，与⊙I的一个交点为Q；直线HB，HD交于点H，若线段PQ在直线x＝6上且恰为⊙I的直径，请直接写出点H横坐标h的取值范围．2019-2020学年北京人大附中九年级（上）月考数学试卷（12月份）参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1．【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C、是中心对称图形，故此选项正确；D、不是中心对称图形，故此选项错误；故选：C．2．【解答】解：x（x﹣1）＝0，x＝0或x﹣1＝0，所以x1＝0，x2＝1．故选：D．3．【解答】解：A、指针指向灰色的概率为2÷6＝，故选项错误；B、指针指向灰色的概率为3÷6＝，故选项错误；C、指针指向灰色的概率为4÷6＝，故选项正确；D、指针指向灰色的概率为5÷6＝，故选项错误．故选：C．4．【解答】解：二次函数y＝2x2，当x＝﹣1时，y＝2，故它的图象不经过点（﹣1，﹣2），故A选项不合题意；当x＜0时，y随x的增大而减小，故选项B正确；它的图象的对称轴是直线y轴，故C选项不合题意；当x＝0时，y有最小值为0，故D选项不合题意；故选：B．5．【解答】解：∵△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'分别是△ABC和△A′B′C′的高，AD＝2，A'D'＝3，∴＝＝，∴△ABC与△A'B'C'的面积的比＝（）2＝，故选：A．6．【解答】解：∵以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD，且B（2，0），D（5，0），∴＝，∵A（1，2），∴C（，5）．故选：B．7．【解答】解：如图，观察图象可知，原点O的位置应该在点B与点C之间靠近B点，故选：C．8．【解答】解：由作图可知，OP垂直平分线段AB，OQ平分∠AOC，故①正确，∴OP⊥AB，∴∠AOC＝∠BOC＝90°，∴∠AOD＝∠AOC＝45°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝45°，∴∠AOD＝∠OBC＝45°，∴OD∥BC，故②正确，∴＝＜1，∴OE＜EC，故③错误，连接CD．∵∠DCE＝∠DCO，∠CDE＝∠COD＝45°，∴△DCE∽△OCD，∴＝，∴CD2＝OD•CE，∵∠AOD＝∠DOC，∴＝，∴AD＝CD，∴AD2＝OD•CE，故④正确，故选：D．二、填空题（本题共16分，每小题3分）9．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴DE：BC＝AD：AB，∵AD＝2，DB＝3，∴AB＝AD+BD＝5，∴1：BC＝2：5，∴BC＝2.5，故答案为：2.5．10．【解答】解：∵△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，∴∠AOC为旋转角，∵∠AOB＝45°，∴∠AOC＝135°，即旋转角为135°．故答案为：135°．11．【解答】解：∵反比例函数y＝，当x＞0时，y随x增大而减小，∴m﹣2＞0，解得：m＞2．故答案为：m＞2．12．【解答】解：扇形的面积＝＝3π，故答案为3π．13．【解答】解：身高在160cm和170cm之间同学人数：一班26人，二班13人，三班18人，因此可挑选空间最大的是一班，故答案为：1班．14．【解答】解：∵函数y＝（x＞0）的图象经过点A，B，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，∴S△OAC＝S△OBD＝×2＝1，∴S△OAC+S△OBD＝1+1＝2．故答案为2．15．【解答】解：∵CD⊥AB，△DEF为直角三角形，∴∠DEF＝∠ACD，∵∠ADC＝∠FDE，∴△ACD∽△FED，∴＝，∵DE＝0.5米，EF＝0.25米，DC＝18米，∴＝，∴AC＝9米，∵DG＝1.6米，∴BC＝1.6米，∴AB＝10.6米，故答案为：10.6．16．【解答】解：①∵在x轴正半轴上的任意点（x，y），∴y＝0，∴AC＝BC，∴AB＝BC；②设P（{x 1，），Q（，），则对应的直角三角形的直角边分别为x 1，x1+；，+，若两个三角形相似，则有＝，∴＝，∵x＞0，∴x 1＝，∴不存在两点边P，Q，使得它们对应的直角三角形相似；③设P（x 1，（x1﹣2020）2﹣1），Q（，（﹣2020）2﹣1），则对应的直角三角形的直角边分别为x 1+（x1﹣2020）2﹣1，x1；，+（﹣2020）2﹣1，若两个三角形相似，则有＝，∴（x 1﹣）（x1+1﹣20202）＝0，∵x＞0，∴x 1+1＝20202，∴图象上的任意一点P，都存在该函数图象上的另一点Q，使得这两个点对应的直角三角形相似；④设P（x 1，﹣2x1+2020），Q（，﹣2+2020），则对应的直角三角形的直角边分别为x 1，﹣x1+2020；，﹣+2020，若两个三角形全等，则有x 1＝﹣+2020，＝﹣x1+2020，∴+x 1＝2020，∵x＞0，∴图象上存在无数对点P，Q，使得它们对应的直角三角形全等；故答案为①③④．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题0分，第23-26题，每小题0分，第27、28题，每小题0分）17．【解答】解：整理得x2﹣4x＝2，x2﹣4x+4＝2+4，即（x﹣2）2＝6，∴x﹣2＝，∴x1＝2+，x2＝2﹣．18．【解答】证明：∵AB＝4，BE＝2，CE＝6，CD＝3，∴，∵∠B＝∠C＝90°，∴△ABE∽△ECD，∴∠A＝∠CED，∵∠B＝90°，∴∠A+∠AEB＝90°，∴∠CED+∠AEB＝90°，∴∠AED＝180°﹣∠AEB﹣∠CED＝90°，∴AE⊥DE．19．【解答】解：（1）y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1；（2）这个二次函数的图象如图：（3）当0≤x≤3时，﹣1≤y≤3．故答案为﹣1≤y≤3．20．【解答】解：（1）连接OA，作OH⊥AC于H，OA2+OC2＝8，AC2＝8，∴OA2+OC2＝AC2，∴△AOC为等腰直角三角形，∴OH＝AC＝，即点O到AC的距离为；（2）由圆周角定理得，∠B＝∠AOC＝45°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC＝180°﹣45°＝135°．21．【解答】解：（1）由题意得：v＝＝；（2）当t＝40时，v＝＝2500，2500﹣2000＝500（m3），答：实际平均每天至少需要比原计划增加500m3土方运输量．22．【解答】（1）证明：∵△＝b2﹣4•c＝b2﹣c＝0，∴将c＝2b﹣1代入得：△＝b2﹣（2b﹣1）＝b2﹣2b+1＝（b﹣1）2≥0，∴方程一定有两个实数根．（2）解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，若方程有两个相等的实数根，△＝b2﹣4•c＝b2﹣c＝0，∴b2＝c，满足条件的结果有（1，1）和（2，4），共2种，∴P（b、c的值使方程x2+bx+c＝0两个相等的实数根的概率）＝．23．【解答】解：（1）将点A（3，2）的坐标分别代入y＝kx﹣1（k≠0）与y＝（x＞0）中，得2＝3k﹣1，2＝，∴k＝1，m＝6；（2）①∵直线y＝kx﹣1与y轴交于点（0，﹣1），∴当t＝2时，Q（0，1）．此时直线解析式为y＝x+1，代入函数y＝中，整理得，x（x+1）＝6，解得x1＝﹣3（舍去），x2＝2，∴C（2，3），∴QC＝＝2．②如图，作CD⊥x轴于D，若＝2时，则＝2，＝3，∵直线解析式系数k＝1，∴OP＝OQ，设OP＝OQ＝a，∴OD＝2a，CD＝3a，∴CD＝＝，∴3a＝，解得a＝1，∴此时t＝1+1＝2，若＝3时，则＝3，＝4，∵直线解析式系数k＝1，∴OP＝OQ，设OP＝OQ＝a，∴OD＝3a，CD＝4a，∴CD＝＝，∴4a＝，解得a＝，∴此时t＝1+，∴若2＜＜3，结合函数图象，得出t的取值范围是1+＜t＜2．24．【解答】解：（1）利用测量法可知：当x＝4时，y2＝4.90．故答案为4.90．（2）函数图象如图所示：（3）函数y1与直线y＝x的交点的横坐标为1.50，函数y1与直线y＝x的交点的横坐标为4.50，故当△APC有一个角是60°时，AP的长度约为1.50或4.50．故答案为1.50或4.50．25．【解答】（1）证明：∵DF是⊙O的切线，∴OD⊥DF，∴∠ODF＝90°，∴∠F+∠DBC＝90°，∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∴∠BAC+∠DAC＝90°，∵∠DBC＝∠DAC，∴∠BAC＝∠F（2）解：连接CD，∵DF∥AC，∠ODF＝90°，∴∠BEC＝∠ODF＝90°，∴直径BD⊥AC于E，∴AE＝CE＝AC，∴AB＝BC，∵AB＝8，∴BC＝8，∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∴∠DBC+∠BDC＝90°，∵∠DBC+∠F＝90°，∴∠BDC＝∠F，∵∠BCD＝∠FCD＝90°，∴△BCD∽△DCF，∴，∵BC＝8，CF＝2，∴DC＝4，∴＝4．∵在△BCD中，，∴，∴AC＝2CE＝．26．【解答】解：（1）y＝x2﹣2ax+a2﹣a+4＝（x﹣a）2+4﹣a，故点A（a，4﹣a）；（2）点A所在的直线为：y＝4﹣x，联立y＝4﹣x与y＝﹣x并解得：x＝1，故两个直线的交点为（1，3）；①当点C的坐标为：（1，3）时，则点B（﹣2，3），点A（﹣2，6），a＝﹣2，故抛物线的表达式为：y＝（x+2）2+6；②当点B的坐标为：（1，3）时，则点A（4，0），则a＝4，故抛物线的表达式为：y＝（x﹣4）2；综上，抛物线的表达式为：y＝（x+2）2+6或y＝（x﹣4）2；（3）点A（a，4﹣a），则点D（a，3），BC＝3BD，则点B、C的坐标分别为：（a﹣1，3）、（a+2，3），将抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣a+4与直线y＝3联立并解得：x＝a±，故点E、F的坐标分别为：（a﹣，3）、（a+，3），①当a＝1时，点E、B、C、F的坐标分别为：（1，3）、（0，3）、（2，3）、（1，3），而点A（1，3），此时，抛物线于BC只有一个公共点；②当a＞1时，当点C、F重合时，则a+＝a+2，解得：a＝5；当点B、E重合时，a﹣＝a﹣1，解得：a＝2，故2＜a≤5；综上，a＝1或2＜a≤5．27．【解答】解：（1）如图1所示：（2）与△CDB相似的三角形是△ABE，理由如下：∵点C关于直线AB的对称点为D，∴CH＝DH，AB⊥CD，∴AB是CD的垂直平分线，∴AD＝AC，BC＝BD，且AB⊥CD，∴∠ACD＝∠ADC，∠CAB＝∠DAB，∠BCD＝∠BDC，∠DBA＝∠CBA，∵∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠CAB＝90°，且∠ABC+∠BCH＝90°，∠BAC+∠ACD＝90°，∴∠BCD＝∠BAC，∠ACD＝∠ABC，∴∠DAB＝∠BCD＝∠BAC＝∠BDC，∵AC∥BE，∴∠CAB＝∠ABE，∴∠CDB＝∠ABE，且∠DAB＝∠BCD，∴△BCD∽△EAB；（3）BH•FC＝BC2+CF2，理由如下：如图2，∵∠ACB＝90°，∴BC2+CF2＝BF2，∵△BCD∽△EAB，∴∠AEB＝∠CBD，∵AE∥FH，∴∠H＝∠AEB＝∠CBD，∵AC∥BE，∴∠CFB＝∠FBH，∴△FCB∽△BFH，∴，∴BF2＝BH•FC，∴BH•FC＝BC2+CF2．28．【解答】解：（1）由题意①③是⊙O的关联图形，故答案为①③．（2）如图1中，∵直线l1y＝﹣x+b是⊙T的关联直线，∴直线l的临界状态是和⊙T相切的两条直线l1和l2，当临界状态为l1时，连接TM（M为切点），∴TM＝1，TM⊥MB，且∠MNO＝45°，∴△TMN是等腰直角三角形，∴TN＝，OT＝1，∴N（1+，0），把N（1+，0）代入y＝﹣x+b中，得到b＝1+，同法可得当直线l2是临界状态时，b＝﹣+1，∴点N的横坐标的取值范围为﹣+1≤≤+1．（3）如图3﹣1中，当点Q在点P是上方时，连接BQ，PD交于点H，当圆心I在x轴上时，点H与点C重合，此时H（2，0），得到h的最大值为2，如图3﹣2中，当点P在点Q是上方时，连接BQ，PD交于点H，当圆心I在x轴上时，点H（﹣6，0）得到h 的最小值为﹣6，综上所述，﹣6≤h＜0，0＜h≤2．。