理论力学题库第一部分：概念题 理论力学的研究对象和研究方法内力的特点柯尼希(König)定理质心运动定理的物理意义地球自转对物体运动的影响实例如何处理可变质量物体的运动刚体的平动平面平行运动瞬心，瞬心的特点空间极迹, 本体极迹惯量椭球，惯量主轴刚体一般运动的动能回转效应表观重力平面平行运动的定义, 特点及自由度非惯性系中质点运动微分方程及各项的意义。
正则变换泊松定理拉格朗日力自由度，广义坐标约束，约束的类型，完整约束，理想约束循环坐标，循环动量，循环积分哈密顿函数的物理意义位形空间广义能量积分虚位移，虚功拉格朗日变量正则变量泊松括号的作用正则变换的目的，正则变换的条件，正则变换的关键广义势带电粒子在电磁场中的拉格朗日方程平面刚体, 定轴转动刚体, 定点运动刚体, 一般运动刚体, 平动刚体的自由度 面积常数的物理意义第二部分：证明题1 试导出可变质量物体的运动微分方程2 试导出有心运动的轨道微分方程3 证明在重力作用下火箭运动的速度为V=V 0 - gt+Vr ln(m 0/m), 其中V 0和m 0为火箭的初速度和初质量, Vr 为喷气速度(令为常数), g 是重力加速度, t 为时间.4 原始总质量为M 0的火箭, 发射时单位时间内消耗的燃料与M 0成正比, 即αM 0(α为比例常数), 并以相对速度Vr 喷射. 已知火箭本身质量为M, 求证只有当αVr > g 时火箭才能上升, 并证其最大速度为: Vr ln(M 0/M) – g(1– M/M 0)/α5 质点组对某点O 的总角动量等于其质心(质量为M)对点O 的角动量与整个质点组相对质心的角动量之和, 试证之.6 试导出Euler 动力学方程7 试导出质点组关于质心的动能定理8 试证面积常数.2θr h =9 导出两体问题的结论.10. 若x i =x I (q 1,q 2,…,q S , t), 试证: ααq x q x i &&∂∂=∂∂//; ααq x q x dtd i ∂∂=∂∂/)/(& 11 证明 ααpH p &=],[, ααq H q &=],[12 证明X y Z P P G −=],[, Z X y P P G −=],[13 若f=f (q,p,t), 一般tf dt df ∂∂≠, 有无特例? 若有, 试证之. 14 已知质点组点的动量P 和角动量G 的笛卡儿分量所组成的泊松括号Y X Z P P G =],[, 0],[=y Y P G , Y Z X P P G −=],[, 请直接写出以下结果=],[X Y P G ？ =],[y X P G ？ =],[X X P G ？ =],[Z Y P G ？15 αββαδ=],[p q第三部分：运算题1. 如向互相垂直的均匀电磁场E , H 中发射一电量为e 的电子, 设电子的初速度V 0与E 及H 垂直, 试求电子的运动规律 (已知电子受力F =e E + e/c V × H , 其中V 为任一瞬时电子的速度, c 为光速)2. 一质量为m 的质点受引力的作用在一直线上运动, 引力值为m µ a 2 / x 2, 其中x 是相对于线上某一固定点(取为原点)的距离. 如质点在离原点2a 处静止出发, 求到达 a 处所需的时间.3. 已知一点作平面运动时, 其速度的大小为常数C, 矢径的角速度大小为常数ω. 求点的运动方程及其轨迹. 设t=0时, r=0, θ=0.4. 海防炮的炮弹质量为m, 自离海平面高h 处以初速V 0水平射出. 空气阻力可视为与速 度的一次方成正比, 即R = - km V , 其中k 为常数, 试求炮弹的运动方程.5. 任意二维光滑曲线y = y(x), 为保证质点在运动中不会脱离曲线的约束, 要求曲线段是向上凹的. 质点从y=y 0 ( y 0任意)高度静止下滑.(1) 试证曲线对质点的约束力2/32''02)'1/(])(2'1[y y y y y mg N +−++=(2) 由此推出椭圆 (x 2/a 2+y 2/b 2 = 1) 在≤y 0曲线段的约束力2/322242224])(/[])(3[y b a b y b a b mgay N −+−+−=6. 如果单摆在有阻力的媒质中振动, 并假定振幅很小, 故阻力与.θ 成正比, 且可写为 .2θmkl R =, 式中m 为摆锤质量, l 为摆长, k 为比例系数, .θ为角速度. 试写出下列 几种情况下单摆的运动微分方程.7.一质点沿着抛物线y2=2px运动, 其切向加速度为法向加速度的2k倍. 如质点从正焦弦(p/2, p)的一端以速度u出发, 试求其到达正焦弦另一端时的速率.8.一均匀圆盘, 质量为M, 半径为R, 静止地放在一光滑平面上, 圆盘中心固定. 质量为m的甲虫, 原先静止于圆盘边缘上, 尔后甲虫沿圆盘边缘爬动.(1)用三大守恒定律分析系统的守恒情况.(2)求盘心和甲虫的轨迹.9.在光滑的水平面上, 一个质量为m的小球以速度V0与一根长度为2a, 质量为M的静止均质杆碰撞(如图示). 试求碰后杆的质心C的速度(要求理论分析, 列出有关方程, 不必求解).10.一均匀圆盘, 质量为M, 半径为R, 静止地放在一光滑的平面上, 圆盘中心不固定. 质量为m的甲虫, 原先静止于圆盘边缘上, 尔后甲虫以匀相对速率u沿圆盘边缘爬动,(1)求质心C与盘心和甲虫间的距离(2)用三大守恒定律分析系统的守恒情况.(3)求盘心的平动速率和相对盘心的转动角速度.11.质量为m1和m2的两自由质点互相以力吸引, 引力与其质量成正比, 与距离平方成反比, 比例系数为k. 开始时, 两质点皆处于静止状态, 其间距离为a. 试求两质点的距离为a/2时它们的速度.12.一等腰直角三角形OAB在其自身平面内以匀角速度ω绕顶点O转动, 某一点P以匀相对速度沿AB边运动. 当三角形转了一周时, P点走过了AB. 如已知AB=b, 试求P 点在A时的绝对速度和绝对加速度.13.质量为m的质点位于一光滑水平面上, 此平面以等角速度ω通过平面上某一点O的铅直轴转动. 若质点受O吸引, 引力为F= －mω2r (r为质点相对于O的矢径). 试证在任何起始条件下, 质点以角速度2ω走一圆周轨迹.ω(方向铅直向上)转动, 管内有一弹性系数为14.一光滑管子在光滑水平面上以等角速度Ol的弹簧, 其一端联于转轴的O点, 另一端联一质点m. 开始时, 质点k, 自然长度为ol处, 且x&=0. 求质点的运动及它对管壁的压力(在整个运动过程中, 不超过弹位于x=o簧弹性限度)15.椭球状的杯子内放一重mg的小球, 杯子以等角速度ω绕其自身铅直轴转动, 小球与椭球杯处于相对静止状态, 求距离h16. 一直线以等角速度ω在一固定平面内绕其O端转动。
当直线位于oξ的位置时，有一点M开始从O点沿该直线运动，如要使此点的绝对速度V的大小为常数，问该点应按何种规律沿此直线运动，并求点的轨迹及加速度。
17.设一长L的杆AB作平面运动. 已知V A的大小和方向和V B的方向, 如图示. 求杆上某点C 的位置( V C 的方向正好沿杆的方向), 瞬时角速度及Vc18. 半径R=34厘米之圆盘OA 在绕固定点O 转动时, 并在顶角为60度的固定圆锥上滚 动. 如圆盘A 点的加速度之值为常数并等于48厘米/秒2, 求圆盘绕其对称轴转动的角 速度.19. 曲柄OA 长为L 0, 以等角速度ω转动并带动长为L 的连杆AB, 滑块B 沿垂线运动. 求 连杆的角速度, 角加速度及滑块B 的加速度20. 质量为m 的小环, 套在半径为a 的光滑圆圈上, 并可沿着圆圈滑动. 若圆圈在水平面 内以等角速度ω绕圈上某点O 转动(如图示). 试求小环的运动微分方程.21. 雨滴下落时, 其质量增加率与雨滴的表面积成正比, 求雨滴速度与时间的关系22. 原始总质量为m 0的火箭, 发射时单位时间内消耗的燃料与m 0成正比, 即αm 0(α为比 例常数), 并以相对速度Vr 喷射. 已知火箭本身质量为m, 求证只有当αVr > g 时火箭 才能上升, 并证其喷射行程的最大高度)1ln ()1(200002max m m m m m m V m m gh S S S r S −++−−=αα 23. 试证在有心力场中, 位矢在相同时间间隔内扫过的面积相等, 并证明面积常数矢量的大小等于θ&2r .24. 试证有心运动一般特性之一---------掠面速度守恒25. 据汤川核力理论, 中子与质子间的引力具有如下形式的势能: V( r )= k e -αr /r, 其中k<0. 试求:(a) 中子与质子间的引力表达式.(b) 求质量为m 粒子作半径为a 的园运动的角动量及能量.26. 质量为m 的质点在有心 力场mc/r 3中运动, 式中r 为质点到力心O 的距离, C 为常数.当质点离O 很远时, 质点的速度为V ∞, 而其渐近线与O 的距离则为ρ(即瞄准距离). 试求质点与O 的最近距离.(93J)27. 重P 之均匀棒AB 搁在两固定平面上,此两平面与水平面成α及β角,求平衡时角ϕ.28. 相同的两个光滑球悬在结于定点O 的两条绳子上, 此两球同时又支持一个等重的第三球. 求α及β间的关系.29. 两根长2l ,重P 的均质棒以绞链C 互相连结并靠在一个半径为r, 其轴为水平的光滑固定圆柱上. 求系统平衡时的角度ϕ2=∠ACB .30. 重P, 固有长度为l ,弹性模量为λ的弹性圈放在顶角为2α的光滑竖直圆锥体上. 求平衡时圈面离圆锥体顶点的距离h.31. 一弹性绳圈(自然长度为l O , 弹性系数为k, 单位长度质量为σ)水平地套在一固定的光滑球面(半径为R, 且R π2>l O )上, 它因自重而下滑. 试用虚功原理求其平衡条件.32. 均匀杆OA, 重P 1 ,长1l ,能在竖直平面内绕固定铰链O 转动, 此杆的A 端用铰链连另一重P 2 , 长2l 的均匀杆AB.在AB 杆的B 端加一水平力F, 求平衡条件33. 一水平的固定光滑钉子M 与光滑铅直墙面的距离为d, 一长为l 的均匀棒AB 搁在钉子上，下端靠在墙上，求平衡时棒与墙所夹的角度φ。
34. 长为2L 的均匀杆AB,一端靠在光滑的竖直墙上，另一端搁在光滑的固定曲面上，曲面方程为x2+(2y-a)2=a2, a 为常数，求杆的平衡位置35. 半径为r 的均匀重球可以无滑动地沿一具有水平轴的半径为R 的固定圆柱之内表面而滚动. 求与圆球绕平衡位置作微振动的周期相同的数学摆之摆长.36. 一光滑管OA, 其O 端固定于球绞链O, A 端以绳子固结于铅垂轴ςO 于B 点(倾角α不变), 并以匀角速度ω绕铅垂轴ςO 转动, 质点m 沿管移动, 离a 点距离为ρ, 运动开始时, m 在ρO 处, 且初速为0. 求质点对管OA 的相对运动37. 一质点的质量为m ,受重力的作用, 在旋轮线的导轨上运动. 旋轮线的方程为 S=4asin φ,其中S 是自O 点起算的弧长, φ是旋轮线的切线与水平轴的交角.试以两种广义坐标写出系统的拉格朗日函数,并以一种情况求质点的运动.38. 两皮带轮M 1与M 2, 质量为m 1与m 2, 半径为r 1与r 2, 其上缠有绳子, 此绳绕过一质量为m 3, 半径为r 3的滑轮M 3; 滑轮M 3可以无摩擦地绕定轴O 转动. 假定绳子与滑轮之间没有滑动而皮带轮中心皆沿铅垂直线运动, 求系统的运动微分方程.39. 一珠子无摩擦在一摆线形状之金属线上运动, 摆线方程为:)cos 1(),sin (θθθ+=−=a y a x 式中πθ20≤≤.试用哈密顿正则方程求珠子的运动规律(设0,0===θθ&t ). 40. 试用哈密顿正则方程求行星的运动微分方程.41. 在光滑直管中有一质量为m 的小球, 此管以等角速度ω绕通过其一端的水平轴转动,在起始瞬时, 球距转动轴的距离为a, 球相对于管的速度为g/(2ω), 试用哈密顿正则方 程求小球沿管的运动规律42. 试写出带电粒子在电磁场中的哈密顿函数。