0
mgx k x
1 2
kx
2

1 2
kx
2
0 (m x kx ) x
x
kx 0 m x
d dt
不可能恒为 0
T V 0
28
单自由度系统自由振动
如果将坐标原点不是取在系统的静平衡 位置，而是取在弹簧为自由长时的位置 动能：
T 1 2
mg k
m
k
0

静平衡位置
x
固有振动或自由振动微分方程 ：
k
弹簧原长位置
kx 0 m x
m
0

静平衡位置 3
x
单自由度系统自由振动
固有振动或自由振动微分方程 ： 令：
0
k m
2
kx 0 m x
单位：弧度/秒（rad/s）
固有频率
则有 ：
0 x 0 x
解：
以静平衡位置为坐标原点 建立坐标系 振动固有频率：
0
k /m 49 10
2
k
0
x
/1
300
70 ( rad / s )
振动初始条件：
kx 0 mg sin 30
0
考虑方向
x 0 0 . 1 ( cm ) 0 0 x
初始速度：
运动方程：
x(t ) 0.1cos(70t ) (cm)
2
0
k m
x(t ) c1 cos(0t ) c2 sin( 0t ) A sin( 0t )
A c1 c 2
2 2
tg
1
c1 c2
0：
系统固有的数值特征，与系统是否正在振动着以及如 何进行振动的方式都毫无关系
A,： 不是系统的固有属性的数字特征，与系统过去所受到
kx 0 m x
在静平衡位置： 则有：
0
0
k m
弹簧原长位置
m
k
0

静平衡位置
mg k
x
k m

g

对于不易得到 m 和 k 的系统，若能测出静变形 ，则用 该式计算是较为方便的 。
11
单自由度系统自由振动
例： 提升机系统
重物重 量
W 1 . 47 10 N
单自由度系统自由振动
x
48 EJ
自由振动频率为 ： 0

g


48 EJ ml
3
16
单自由度系统自由振动
撞击时刻为零时刻，则 t=0 时，有：
x0
m h

l/2
0
0 x
2 gh
l/2
静平衡位置
则自由振动振幅为 ：
A x0
2
x 0 0

2
x

2h
2
梁的最大扰度：
无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以 0 为振动频率的简谐振动，并且永无休止。
x
T 2 /
0
初始条件的说明： 初始条件是外界能量转入的一 种方式，有初始位移即转入了 弹性势能，有初始速度即转入 了动能。
x0

0
A
0
t
9
单自由度系统自由振动
零初始条件下的自由振动：
x(t ) x0 cos(0t ) 0 x
由牛顿第二定律：
k 0 I
2 0 0
扭振固有频率
0
k / I
18
单自由度系统自由振动
由上例可看出，除了选择了坐标不同之外，角振动与直线振 动的数学描述是完全相同的。如果在弹簧质量系统中将 m、 k 称为广义质量及广义刚度，则弹簧质量系统的有关结论完 全适用于角振动。以后不加特别声明时，弹簧质量系统是广 义的 。
x(t ) x0 cos(0t )
0 x
0
sin( 0t24 )
钱学森 人 眼球
25
单自由度系统自由振动
教学内容
• 无阻尼自由振动 • 能量法 • 瑞利法 • 等效质量和等效刚度 • 阻尼自由振动
• 等效粘性阻尼
26
单自由度系统自由振动
• 能量法
对于不计阻尼即认为没有能量损失的单自由度系统，也可以 利用能量守恒原理建立自由振动的微分方程，或直接求出系 统的固有频率。 无阻尼系统为保守系统，其机械能守恒，即动能 T 和势能 V 之和保持不变 ，即：
0
静平衡位置
mx
2
m
势能：
V mgx

1
x
x
kxdx
k
0
mgx
2
kx
2
x mg x kx x 0 m x
kx mg m x
ky 0 m y
d dt
设新坐标
y x
mg k
x
T V 0
29
单自由度系统自由振动
如果重力的影响仅是改变了惯性元件的静 平衡位置，那么将坐标原点取在静平衡位 置上，方程中就不会出现重力项 。
30
单自由度系统自由振动
考虑两个特殊位置上系统的能量
静平衡位置上，系统势 能为零，动能达到最大
T m ax 1 2 m ax mx
k
2
m
0
静平衡位置
V m ax 0
x
最大位移位置，系统动 能为零，势能达到最大
通解 ： x(t ) c1 cos(0t ) c2 sin( 0t ) A sin( 0t )
c 1 , c 2： 任意常数，由初始条件决定
振幅 ：
A
c1 c 2
2
2
初相位 ： tg
1
c1 c2
4
单自由度系统自由振动
kx 0 m x
0 x 0 x
c 1 b 1 cos( 0 ) b 2 sin( 0 )
c 2 b1 sin( 0 ) b 2 cos( 0 )
有：
x ( t ) b1 cos 0 ( t ) b 2 sin 0 ( t )
b1 x
b2
x
0
单自由度系统自由振动
单自由度系统自由振动
教学内容
• 无阻尼自由振动 • 能量法 • 瑞利法 • 等效质量和等效刚度 • 阻尼自由振动
• 等效粘性阻尼
2
单自由度系统自由振动
• 无阻尼自由振动
令 x 为位移，以质量块的静平衡位置 为坐标原点，λ为静变形。
弹簧原长位置
当系统受到初始扰动时，由牛顿第 二定律，得： mg k ( x ) m x 在静平衡位置：
弹簧原长位置
m
k
0

静平衡位置
k
x
I

kx 0 m x
0
k /m
k 0 I
0
k / I
19
单自由度系统自由振动
从前面两种形式的振动看到，单自由度无阻尼系统总包含着 惯性元件和弹性元件两种基本元件，惯性元件是感受加速度 的元件，它表现为系统的质量或转动惯量，而弹性元件是产 生使系统恢复原来状态的恢复力的元件，它表现为具有刚度 或扭转刚度度的弹性体。同一个系统中，若惯性增加，则使 固有频率降低，而若刚度增加，则固有频率增大。
弹簧原长位置
m
k
0

静平衡位置
k
x
I

kx 0 m x
0
k /m
k 0 I
0
k / I
20
单自由度系统自由振动
例：复摆（物理摆）
a
刚体质量 m 重心 C 对悬点的转动惯量 I 0
C
mg
0
I0
求： 复摆在平衡位置附近做微振动时的微分方程和固有频率
m ax A
x(t ) x0 cos(0t ) 0 x
0
sin( 0t )
17
单自由度系统自由振动
例：圆盘转动
圆盘转动惯量 I
k
k 为轴的扭转刚度，定义为使得圆盘 产生单位转角所需的力矩 ( N m / rad )
I

在圆盘的静平衡位置上任意选一根 半径作为角位移的起点位置
21
单自由度系统自由振动
解：
由动量矩定律 ：
mga sin 0 I 0
a
0

因为微振动： 则有 ：
sin
C
mg
I0
mga 0 I 0
固有频率 ： 0

mga / I 0
若已测出物体的固有频率 0 ，则可求出 I 0 ，再由移轴定 理，可得物质绕质心的转动惯量：
14
单自由度系统自由振动
例： 重物落下，与简支梁做完全非弹性碰撞
梁长 L，抗弯刚度 EJ
m
h
l/2
0
l/2
求： 梁的自由振动频率和最大挠度
15
单自由度系统自由振动
解：
取平衡位置
以梁承受重物时的静平 衡位置为坐标原点建立 坐标系 静变形 由材料力学 ：
mgl
3
m h

l/2
0
l/2
静平衡位置
I c I 0 ma
2
实验确定复杂形状物体的转动惯量的一个方法
22
单自由度系统自由振动
例：弹簧－质量系统沿光滑斜面做自由振动