0
x0
（3）自由端：弯矩和剪力为0，即
2u(x,t)
2u(x,t)
EI x2
x00,xEI x2
0 x0
其它边界条件用类似的方法给出。
弹性体的振动
2、梁弯曲自由振动的解
令振动方程中的干扰力为0，得到
2 x2
EI
2u
x2
A2u
t2
对于均匀梁，振动方程为
a2
4u x4
2u t2
0
其中
a EI A
弹性体的振动
解：左端的边界条件为挠度和转角为0 Φ (0)0,Φ (0)0
弹性体的振动
右端的边界条件：弯矩为0，剪力等于弹性力
Φ(l) 0
QdMEIqd3Φ
dx
dx3
qkΦ(l)
xl
弹性体的振动
Φ(l) 0
dM d3Φ
Q EIq
qkΦ(l)
dx
dx3
xl
代入特征方程的解
Φ ( x ) C 1 s i n x C 2 c o s x C 3 s h x C 4 c h x
dx4
（称为特征方程）
其中
4
2 a2
弹性体的振动
方程的通解为
Φ ( x ) C 1 s i n x C 2 c o s x C 3 s h x C 4 c h x
q (t) C 5sin t C 6c o s t
由特征方程，利用边界条件即可求出振型函数 F ( x ) 和频率方程，进一步确定系统的固有频率 w i 。用 四个边界条件只能确定四个积分常数之间的比值。
弹性体的振动
取微段梁 d x ，截 面上的弯矩与剪力为 M 和 Q ，其正负号的 规定和材料力学一样 。
则微段梁dx沿z方向的运动方程为：
QQ Q xdxfdxAdx 2 tu 2
弹性体的振动
即
Q x
A2tu2
f
利用材料力学中的关系
Q M x
M
EI
2u x2
得到梁的弯曲振动方程
2 x2
EIx2u2A2tu2 f
第 i 阶振型有 i － 1 个节点。节点坐标
1
2 l2
EI A
i
l
xk
k
即
xk
kl , i
(k 1, 2 L i 1)
2
4 2
l2
EI
A
3
9 2
l2
EI
A
弹性体的振动
【例2】求两端固定梁弯曲振动的固有频率与固有振型。
解：边界条件为挠度和转角为0，即
Φ (0)0,Φ (0)0 Φ(l)0,Φ(l)0 代入特征方程的解得到
以及 Φ(x)C1cosxC2sinx C4shxC3chx
Φ (x)C12sinxC22cosx C32shxC42chx
弹性体的振动
进一步化E k简I 后 得到3c频h率lcs方h in程llco scosl l1shl
求出后得i 到固i2a有频i2率 EA I, (i1,2L)
Φ 振( x 型) 为 C 1 s i n x C 2 c o s x C 3 s h x C 4 c h x
弹性体的振动
边界条件
和一维波动方程一样，要使弯曲振动微分方程 成为定解问题，必需给出边界条件和初始条件。
梁的每一端必须给出两个边界条件(以左端为例) 。 （1）固定端：挠度和转角为0，即
u(x,t)
u(0,t)0,
0
x x0
弹性体的振动
（2）简支端：挠度和弯矩为0，即
u(0,t)0,EI
2u(x,t) x2
弹性体的振动
假定有分离变量形式的解存在，令
u(x,t)Φ (x)q(t)
代入方程得到
a2x22q(t)d2d Φ x(2x)Φ(x)dd 2qt2 (t)
写为
a2
2 x2
d2Φ(x)
dx2
dd2qt2(t)
2
Φ(x)
q(t)
弹性体的振动
则有
d2q(t) dt2
2q(t)
0
d4Φ(x) 4Φ(x)
C s in x s h x c s h in ll c s o h s ll(c o sx c h x )
弹性体的振动
Φ (x)C13cosxC23sinx C33chxC43shx
将边界条件代入得到
弹性体的振动
振动力学
------弹性体的振动
弹性体的振动
梁的横向振动
仅讨论梁在主平面内的平面弯曲振动。这种振 动只有当梁存在主平面的情形才能发生，并符合材 料力学中梁弯曲的小变形假设和平面假设。
弹性体的振动
1、运动微分方程
在梁的主平面上取坐标 x o z ，原点位于梁的左端截 面的形心， x 轴与梁平衡时的轴线重合。假设梁在振 动过程中，轴线上任一点的位移u(x,t)均沿z轴方向。
弹性体的振动
得到
C2 C4 0, 2(C2C4)0
则
C2 C4 0
以及
C 1sinlC 3shl0
C 1 2sin l C 3 2sh l 0
则
C3 0
以及频率方程
sinl 0
由此解得
i
i,
l
(i1,2L)
弹性体的振动
所以固有频率 振型为
i i2ai2l22 EA I, (i1,2L)
Φ (i)(x)CsinixCsini l x
化简后得到频率方程
coslchl1
求出后得到固有频率
i i2ai2 EA I, (i1,2L)
弹性体的振动
振型为
Φ ( x ) C 1 s i n x C 2 c o s x C 3 s h x C 4 c h x
C1
sinx
sinl shl chl cosl
C1
cosx
C1
shxsinl chl
C2 C4 0, 以及
(C1C3)0
C 1 s i n l C 2 c o sl C 3 s h l C 4 c h l 0
C 1 c o s l C 2 s i n l C 4 s h l C 3 c h l 0
弹性体的振动
求得 C3 C1
C2C4cshinllcsohsllC1
弹性体的振动
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【例1】 求简支梁弯曲振动的固有频率与固有振型。
解：边界条件为挠度和弯矩为0。
Φ(0)
0,
d2Φ dx2
0
x0
Φ(l)
0,
d2Φ dx2
0
xl
代入特征方程的解
( x ) C 1 s i n x C 2 c o s x C 3 s h x C 4 c h x
以及
Φ (x)C12sinxC22cosx C32shxC42chx
sinhl cosl
C1
chx
C s in x s h x c s h in ll c s o h s ll(c o sx c h x )
弹性体的振动
【例3】求左端固定、右端用刚度为k的弹簧支承的 均匀梁弯曲振动的频率方程。
解：左端的边界条件为挠度和转角为0 Φ (0)0,Φ (0)0